第3章 矩阵的标准形-2

第三章矩阵对角化、若当标准型

第三章 矩阵的对角化、若当标准型 §3.1 矩阵对角化 线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。 一、特征值、特征向量性质 定义1 设n n A ?∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。 下面定理1是显然的。 定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。 由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。 定理2 设n n A ?∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。 定义2设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值， 称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为i λ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。 由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关 特征向量的个数。 定理3 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则 rank()i i n n I A αλ=-- 证明 特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以 dim dim ()i i i n V N I A λαλ==- dim ()i n n R I A λ=-- rank()i n n I A λ=-- 例1 求123323001A ?? ??=?? ??-?? 的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。

解 1 23det()3 2 30 1 I A λλλλ----=---+ 2(1)(4)λλ=+- 所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。 1λ的几何重复度113rank()I A αλ=-- 2233rank 3331000---?? ??=----=?? ???? 2λ的几何重复度223rank()I A αλ=-- 3233rank 3231005--?? ??=---=?? ???? 定理4 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何 重复度，则i i m α≤。 证明 因为i α为i λ的几何重复度，所以A 对应于i λ有i α个线性无关的特征向 量12,, ,i αεεε是特征子空间i V λ的基，将12,,,i αεεε扩充为n C 的基 121,,,,,i i n ααεεεεε+ 设121 []i i n P ααεεεεε+=，则 121 []i i n AP A ααεεεεε+= 121[,]i i i i i n A A ααλελελεεε+= 121 *[]i i i i n i O ααλλεεεεελ +????????=???????? ? PB =

矩阵函数的求法

二、利用零化多项式求解矩阵函数. 利用Jordan 标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求J 和P 。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。 定律：n 阶方阵A 的最小多项式等于它的特征矩阵的第n 个（也就 是最后一个）不变因子n d ()λ。（可参见张远达《线性代数原理》P215） 设n 阶方阵A 的不变因子反向依次为n d (),λn 11d (),,d ()-λλ ，由它们给出的初等因子分别为 12r m m m 12r (),(),,()λ-λλ-λλ-λ ；s r 1m m r 1s (),,()++λ-λλ-λ ； ，s i i 1 m n ==∑ 由于1223n 1n d ()|d (),d ()|d (),,d ()|d ()-λλλλλλ ，故 1o r 1s ~+λλ必定出现在1r ~λλ中； 2o 若i j (i r)(j r)λ>=λ≤则i j m m ≤ 根据上述定理，A 的最小多项式 12r m m m 012r ()()()()?λ=λ-λλ-λλ-λ 即 12r m m m 12r (I A)(I A)(I A)O λ-λ-λ-= 令r i i 1m m ==∑，则可见m A 可以由02m 1A I,A,A ,,A -= 线性表示，从 而m i A (0)+λ>亦可由02m 1A I,A,A ,,A -= 线性表示。所以，矩阵函数f(A)若存在，也必定可由0m 1A ~A -线性表示。 因此，我们定义一个系数待定的(m -1)次多项式m 1 i i i 0g()c -=λ=λ∑，根据 以上论述，适当选择系数0m 1c ~c -，就可以使f (A )=g (A )

矩阵的若尔当标准型及简单应用

哈尔滨师范大学 学年论文 题目矩阵的若尔当标准型及简单应用 学生李小琴 指导老师穆强 年级 2005级 专业数学与应用数学 系别数学系 学院数学与计算机科学学院 哈尔滨师范大学 07年6月

矩阵的及若尔当标准型及简单应用 李小琴 摘 要：复数域上的每一n 阶矩阵都与若尔当标准形式相似，本文论证了矩阵的若尔当标准型及简单应用. 关键词：若尔当 线性变换 矩阵 标准 定义1 设λ是一个复数，矩阵????? ?? ? ??λλλλ1 ..................00 (10) 00 0 1 00 (00) （ 1 ） 其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 λ的一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状 ???? ?? ? ??k B B B 002 1 （ 2 ） 这里i B =???? ?? ? ? ?i is i i J J J 002 1 ，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约 的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的本征值，k r r r ,...,,21是正整数，又设 i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{) (｜0)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解 V =....1k V V ⊕⊕ 对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：i is i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间

复矩阵若当标准形的性质与应用

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文 题目：复矩阵若当标准形的性质与应用 姓名：廉换霞 学号：410401143 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6 月 25 日

复矩阵若当标准形的性质与应用 数本041 廉换霞 410401143 摘要：若当标准形有广泛的应用。本文首先给出了若当形矩阵的定义和若当标准形的一些 性质及相关例题。然后讲到其应用。若当标准形在“矩阵分解论”、“矩阵方程论”，在解线性递推关系式等等中都有它的应用，我们通过一些例题来说明。最后，利用若当标准形的性质给出了哈密尔顿——凯莱定理的另一种证法。 关键词：若当形矩阵 若当标准形 初等因子 可逆阵 哈密尔顿——凯莱定理 一、 定义及性质 1、若当形矩阵的定义 形式为 1(,)1t t J t λλλλ??? ? ?= ? ? ?? 的矩阵称为若当块，其中λ是复数。由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。 特别地一级若当块就是一级矩阵，因此若当形矩阵包括对角矩阵。 2、若当标准形的性质 性质一 若当形矩阵除去其中若当块排列次序外，被它的初等因子惟一决定。 此性质可用于求矩阵的若当标准形。 例1 求矩阵 126103114A --?? ?=- ? ?--?? 的若当标准形 解：首先求E A λ-的初等因子 22212601321001301101111411401321001 00011010002100(1)E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ??+--+-+-???? ? ? ? -=-→--+→--+ ? ? ? ? ? ?---+-+-?????????? ? ?→--+→- ? ? ? ?-+--???? 因此，A 的初等因子是1λ-，2(1)λ-，A 的若当标准形是

第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数

上页下页返回结束 1 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 全国工程硕士专业学位教育指导委员会推荐教材： 矩阵论与数值分析----理论及其工程应用 上页下页返回结束 2 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 邱启荣 华北电力大学数理系QQIR@https://www.360docs.net/doc/297441771.html, 第三章矩阵的Jordan 标准型 与矩阵函数 上页下页返回结束 3 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 4 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 5 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 6 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数

上页下页返回结束7 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束8 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束9 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 10 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 11 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 12 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数

上页下页返回结束13 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束14 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束15 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 16 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 17 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 18 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数

第5讲 λ矩阵与标准形

第5讲 λ-矩阵与标准形 内容：1. 矩阵的Jordan 标准形 2. 矩阵的最小多项式 3. λ-矩阵与Smith 标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解 λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容， 在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan 标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan 标准形 1.1 矩阵相似 定义 1.1 设A 和B 是矩阵，C 和D 是非奇异矩阵，若DAC B =,则称A 和B 相抵；若AC C B T =,则称A 和B 相合（或合同）；若AC C B 1-=,则称A 和B 相似，即若n n C B A ?∈,，存在n n n C P ?∈,使得B AP P =-1，则称A 与B 相似，并称P 为把A 变成B 的相似变换矩阵.特别，当1-=P P H ,称A 与B 酉相似，当1-=P P T ,称A 与B 正交相似. 相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：

定理1.1 设n n C B C A ?∈,,, )(λf 是一个多项式，则 （1） 反身性：A 与A 相似； （2） 对称性：若A 与B 相似，则B 与A 也相似； （3） 传递性：若A 相似于B ，B 相似于C ，则A 与C 相似； （4） 若A 与B 相似，则B A det det =,rankB rankA =； （5） 若A 与B 相似，则)(A f 与)(B f 相似； （6） 若A 与B 相似，则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式，从而特征值相同. 对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A 能否相似于一个对角矩阵？ 定义1.2 设n n C A ?∈，若A 相似于一个对角矩阵，则称A 可对角化. 定理 1.2 设n n C A ?∈，则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中 ),,,(21n p p p P =，则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =，可见i λ是A 的特征值，P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量， 再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关. 必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ，即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =，记),,,(21n p p p P =，则P 可逆，且有 ),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==

第八章λ矩阵与若尔当标准形复习指导

第八章 λ-矩阵与若尔当标准形复习指导 （一）基本内容 1.-λ矩阵，可逆的-λ矩阵，-λ矩阵的秩. 2.-λ矩阵的初等变换及标准形，-λ矩阵的等价. 3.行列式因子，不变因子，初等因子. 4.若尔当标准形，最小多项式，矩阵的有理标准形. （二）主要方法 1.-λ矩阵的逆矩阵的求法. 2.化-λ矩阵为标准形的方法. 3.-λ矩阵的不变因子与初等因子的求法. 4.矩阵相似的判别. 5.矩阵与对角矩阵相似的判别. 6.复系数矩阵的若尔当标准形的求法. 7.矩阵的最小多项式的求法. （三）重要习题 例1：求可逆-λ矩阵的逆矩阵. 【①伴随矩阵法：)() (1)(1λλλ?-=A A A , ②初等变换法:()???→?初等行变换E A )(λ() )(1λ-A E 】 例2：化-λ矩阵为标准形. 如：课本P334例. 类似题有：课本P355习题1. 例3：求-λ矩阵的不变因子与初等因子. 如：课本P342例. 类似题有：课本P356习题2、习题3. 例4：求复系数矩阵A 的若尔当标准形. 【这是重点！①先求初等因子，②写出初等因子对应的若尔当块，③得到A 的若尔当标准形.】 如：课本P349例1、例2. 类似题有：课本P357习题6. 例5：判别矩阵相似. 【两矩阵相似的充分必要条件是它们的不变因子或初等因子相等】 见：课本P341推论、P343定理8. 方法：求出它们对应的特征多项式的行列式因子或不变因子或初等因子. 如：课本P357习题5. 例6：判别矩阵与对角矩阵相似. 【矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是初等因子全为一次因子或其不变因子都没有重根】 见：课本P351定理12、13. 方法：求出对应的特征多项式的不变因子或初等因子. 例7：求矩阵的最小多项式. 【最小多项式是特征多项式的因式】 方法：先求出特征多项式，再找满足条件的因式. 如：课本P317例1、2. 类似题有：课本P326习题27.

利用若当标准型讨论矩阵的秩

利用若当标准型讨论矩阵的秩 首先， 对于如下r ?r 的若当块矩阵 J =100100λλ?? ? ? ? ??? 任给η∈C ，考虑矩阵 Q(η)= η?E r ?r - J , 那么我们如下简单性质： 性质1. 如果η≠λ, 那么Q(η)为可逆矩阵. 性质2. 当1≤ m ≤ r 时，rank(Q(λ)m )= r -m . 性质3. 当m ≥ r 时Q(λ)m = 0. 设矩阵A 为n ?n 的矩阵，它的若当标准型J =diag(J 1,J 2,…,J K ),即存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1 成立，其中J i =100100i i λλ?? ? ? ? ??? , 并且J i 的阶数为r i , i =1,2,…,K . 很明显，对于不同的i ，相应的若当块的对角元素可能是相同的。 很自然，我们有如下的简单关系： r 1+r 2+…+r K = n 下面我们讨论一下矩阵(λ?E n ?n - A )m 的秩。由于存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1成立，我们只需要分析矩阵(λ?E n ?n - J )m 的秩就可以了。 当λ 不为A 的特征值时，(λ?E n ?n - J )m 为可逆矩阵，这对于我们进一步的讨论没有任何意义。因此，我们只考虑λ 是A 特征值的情形, 并且不妨设在A 的若当标准型中λ=λi =λi +1=…=λi +s -1所对应的若当块为J i , J i +1,…, J i +s -1共s 个，那么 rank((λ?E n ?n - A )m )=rank ((λ?E n ?n - J )m )= 1rank(())i i K m r r i i λ?=?-∑E J 很明显，当j < i 或者j ≥ i +s 时rank((λ?j j r r ?E - J j )m )= r j ; 对于i ≤j ≤i +s -1 的情形，我们需要区分1≤m ≤ r j 和m >r j 的情况。 根据性质2，当i ≤j ≤i +s -1 且1≤ m ≤ r j 时，rank((λ?j j r r ?E - J j )m )= r j -m ; 根据性质3，当i ≤j ≤i +s -1且m ≥ r j 时, rank((λ?j j r r ?E - J j )m )= 0; 如果对于x ∈R 引入记号 (x )+= max{x ,0}, 那么我们有: 当i ≤j ≤i +s -1 时，rank((λ?j j r r ?E - J j )m )= (r j -m )+ . 因此 rank((λ?E n ?n - A )m )=1rank(())i i K m r r i i λ?=?-∑E J =1 11()i K i s j j j j j i s j i r r r m -+-+==+=++-∑∑∑

求矩阵的Jordan标准形的两种方法

求矩阵的Jordan 标准形的两种方法 方法1. 利用矩阵的初等因子 原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形. 方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 例. 设??? ? ? ?? -----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形. 解: 方法1. .)1(0 001000 1120011000123101100 014111102310411316212222 )1(232132???? ? ??-- →????? ??-+---??→?????? ??-+----→?? ? ? ? ??----+--???→?????? ??---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλ λλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为 . 1100 1000121??? ? ? ??=???? ??=J J J 方法2. (1) 首先求A 的特征值. 3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1. (2) 求出相应的特征向量. 求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解: .000000311311311622???? ? ??-→????? ?? ---=-A E 相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基. (3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.

二次型化为标准形的几种方法

2015届本科毕业论文 题目：二次型化为标准型方法 所在学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-2班学生姓名：赵江南 指导教师：艾合买提 答辩日期：2015年5月5日

目录 1 引言 (1) 2 关于二次型定义 (1) 3 二次型化为标准型的方法 (3) 3.1 正交变换法 (3) 3.2. 配方法 (5) 3.3. 初等变换法 (7) 3.4. 雅可比方法 (8) 3.5. 偏导数法 (10) 4. 小结 (14) 参考文献 (15) 致谢 (16)

二次型化为标准形的几种方法 摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。 关键词：正交变换法；配方法；初等变换法；雅可比方法；偏导数法 Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Key words: orthogonal transform method ; match method ;elementary transformation; jacobian method ;partial derivative method

矩阵的若尔当标准型及简单应用

矩阵的及若尔当标准型及简单应用 摘要： 矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。 每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。 本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。 关键词：若尔当线性变换矩阵标准

定义1： 设λ是一个复数，矩阵 ??? ? ? ??? ? ?λλλ λ1000 0..................00 (1000) ...0100 (00) ，其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的λ一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ： 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同特征值，那么存在V 的一个基，σ关于这个基的矩阵有形式 ??????? ? ?k B B B 002 1 这里i B = ??????? ? ?i is i i J J J 002 1 ，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当 块，.,...,2,1k i = 证： 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域 上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的特征值， k r r r ,...,,21是正整数。 又i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{)(｜ 0)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕

第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-2

§5 多项式矩阵的互质性与既约性 一、多项式矩阵的最大公因子 定义3-10 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个 右公因子，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD 使得： ()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,。 类似地可以定义左公因子。 定义3－11 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一 个最大右公因子（记为gcrd ），如果： （1）()λR 是()()λλD N ,的右公因子； （2）()()λλD N ,的任一右公因子()λ1R ，都是()λR 的右乘因子，即存在多项式矩阵 ()λW ，使得()()()λλλ1R W R =。 对任意的n n ?与n m ?的多项式矩阵)(λD 与)(λN ，它们的gcrd 都存在。因为 T T T N D R ))(),(()(λλλ= 便是一个。 定理3－13 (gcrd 的构造定理) 对于给定的n n ?和n m ?多项式矩阵()()λλN D ，，如果能找到一个)()(m n m n +?+的单模矩阵()λG ，使得 ()()()()()()()()()()? ? ? ???=????????????=??????022211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G 3-13 则n n ?多项式矩阵()λR ，即为()λN 和()λD 的gcrd 。 证明：（1）证明()λR 是右公因子。 设()()()()()?? ????=-λλλλλ222112111F F F F G ，则()()()()()()()()()()()??? ???=? ???????????=??????λλλλλλλλλλλR F R F R F F F F N D 2111222112110。 （2）证明()λR 是gcrd 。

第三章矩阵与线性代数计算

第三章 矩阵与线性代数计算 MATLAB ，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本章从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB 的命令及其用法。 3.1矩阵的定义 由m×n 个元素a ij (i=1,2,…m;j=1,2,…n)排列成的矩形阵称为一个m 行n 列的矩阵,或m×n 阶矩阵，可以简记为A=(a ij ) m×n ，其中的a ij 叫做矩阵的第i 行第j 列元素。 ???? ? ?????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 当m=n 时，称A 为n 阶方阵，也叫n 阶矩阵； 当m=1,n ≥2时，即A 中只有一行时，称A 为行矩阵，或行向量（1维数组）； 当m ≥2,n=1时，即A 中只有一列时，称A 为列矩阵，或列向量； 当m=1,n=1时，即A 中只有一个元素时，称A 为标量或数量（0维数组）。 3.2矩阵的生成 1.实数值矩阵输入 MATLAB 的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。 不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如： 【例3－１】矩阵的生成例。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] b=[1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9; 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9; 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9] Null_M = [ ] %生成一个空矩阵

第5讲 λ-矩阵与标准形

第5讲λ-矩阵与标准形 内容：1. 矩阵的Jordan标准形 2. 矩阵的最小多项式 3. λ-矩阵与Smith标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解 λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容，在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan标准形 1.1 矩阵相似 定义 1.1设A和B是矩阵，C和D是非奇异矩阵，若B=,则称A和B相抵；若AC DAC =,则称A和B相合（或合 B T C 同）；若AC =,则称A和B相似，即若n n C C B1- ∈ ,，存在n n n C A? B ∈, P?使得B -1，则称A与B相似，并称P为把A变成B的相似变P= AP 换矩阵.特别，当1- P H,称A与B酉相似，当1- =P P T,称A与B =P 正交相似. 相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：

定理1.1 设n n C B C A ?∈,,, )(λf 是一个多项式，则 （1） 反身性：A 与A 相似； （2） 对称性：若A 与B 相似，则B 与A 也相似； （3） 传递性：若A 相似于B ，B 相似于C ，则A 与C 相似； （4） 若A 与B 相似，则B A det det =,rankB rankA =； （5） 若A 与B 相似，则)(A f 与)(B f 相似； （6） 若A 与B 相似，则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式，从而特征值相同. 对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A 能否相似于一个对角矩阵？ 定义1.2 设n n C A ?∈，若A 相似于一个对角矩阵，则称A 可对角化. 定理 1.2 设n n C A ?∈，则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中 ),,,(21n p p p P =，则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =，可见i λ是A 的特征值，P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量， 再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关. 必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ，即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =，记),,,(21n p p p P =，则P 可逆，且有 ),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==