初中几何辅助线大全最全
初中几何辅助线大全-最全
三角形中作辅助线的常用方法举例
一、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1 :已知AC= BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求证：AD= BC
分析：欲证AD = BC,先证分别含有AD, BC的三角形全等，有几种方案：△KDC与ABCD ,
△XOD与△BOC’MBD与ABAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可
设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA CB它们的延长交于E点,
?/ AD丄AC BC丄BD （已知）
???/ CAE=Z DBE = 90 ° （垂直的定义）
在厶DBE与△ CAE中
E E（公共角）
DBE CAE（已证）
BD AC（已知）
? A DBE^A CAE （AAS
?ED= EC EB = EA （全等三角形对应边相等）
?ED- EA= EC— EB
即：AD= BC
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）
、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1 :在Rt△ ABC中，AB= AC, / BAC= 90°,/ 1 = Z 2, CEL BD的延长于E。求证：BD= 2CE
分析：要证BD = 2CE，想到要构造线段2CE，同时CE
与/ABC的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长BA CE交于点F。
?/ BEX CF （已知）
???/ BEF=/ BEC= 90°（垂直的定义）
在厶BEF与厶BEC中，
1 2（已知）
BE BE（公共边）
BEF BEC（已证）
1
? △ BEF^A BEC（ASA ?- CE=FE」CF （全等三角形对应边相等）
2
?// BAC=90 BE 丄CF （已知）
???/ BAC=/ CAF= 90°/ 1 + / BDA= 90°/ 1 + Z BFC= 90°
???/ BDA=/ BFC
在厶ABM A ACF中
BAC CAF （已证）
BDA BFC （已证）
AB = AC（已知）
? △ ABD^A ACF （AAS ? BD= CF （全等三角形对应边相等）? BD= 2CE
四、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图11-1 : AB= DC / A=/ D 求证：/ ABC=/ DCB
分析：由AB = DC ,ZA =/D，想到如取AD的中点N，连接NB , NC,再由SAS公理有△
ABN也Q CN，故BN = CN , ZABN =ZDCN。下面只需证/ NBC =ZNCB，再取BC的中点
M，连接MN，则由SSS公理有△ NBM也A CM，所以/NBC = ZNCB。问题得证。
证明：取AD, BC的中点N、M连接NB NM NC贝U AN=DN BM=C皿在厶ABN和厶DCN
AN DN （辅助线的作法）A D（已知）
AB DC （已知）
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???△ ABN^A DCN （ SAS
???/ ABN=Z DCN NB = NC （全等三角形对应边、角相等）
在厶 NBM^ NCM 中
NB = NC （已证）
BM = CM （辅助线的作法） NM = NM （公共边）
? △ NMB NCM , (SSS) NBC =Z NCB (全等三角形对应角相等)?/ NBC +Z
ABN =Z NCB +Z DCN 即/ ABC = Z DCB 。
巧求三角形中线段的比值
例 1.如图 1,在厶 ABC 中，BD DC = 1: 3, AE : E? 2: 3, AF: FG
解：过点D 作DG//AC,交BF 于点G 所以 DG FC = BD BC
因为 BD DG= 1 : 3 所以 BD BO 1 : 4 即 DG FC = 1: 4, FC = 4DG
因为 DG AF = DE AE 又因为 AE ED= 2 : 3 所以 DG AF = 3 : 2 EF=-OC
即 EF: GC1: 2,
小结：以上两例中，辅助线都作在了 “已知”条件中出现的两条已知线段的交点
所以 BC: BD= 1 : 2
CG :
D 匚1 :
2
即 DE= 2GC
2GC--GC
=-GU
-GC-
-GC = L 3
因为 FD= ED- EF =
2 2
所以EF: FD=2
2
因为 CG DE= BC: BD 又因为BO CD AF=-DG 即 3
-DG
所以AF: FO
例 2.如图 2, BC = CD AF = FC 求 EF : FD
解：过点C 作CG//DE 交AB 于点G,则有EF:
因为 AF = FC
所以 AF : AO 1 : 2 :4DG= 1 : 6
GG= AF : AC
例 3.如图3, BD DO 1 : 3, AE: EB= 2: 3,求AF: FDb 解：过点B作BG//AD,交CE延长线于点G
所以DF: BG= CD CB
因为BD DC= 1 : 3 所以CD CB= 3 : 4
因为 AF:BG= AE: EB 又因为
AF
所以 AF: BG=2 : 3 即
2 3
-BGx -BG= 8-9
所以 AF:DF= 34
例 4.如图4, BD DO 1 : 3, AF= FD,求EF: FG
解：过点D作DG//CE,交AB于点G
所以EF : DG= AF: AD
因为AF= FD 所以AF: AD= 1 : 2 图4
EF=-DG
即EF: DG= 1: 2 :
因为DG CE= BD BQ 又因为BD CD= 1 : 3,所以BD B01: 4
即DG CE= 1: 4,CE= 4DG
因为FC= CE- EF=4DG--IX J =-DG
2 2
2DG
练习:
1.如图5, BD= DC, AE: ED= 1 : 5，求AF: FB。
2.如图6, AD DB= 1 : 3, AE: EC= 3 : 1,求BF: FC。
ED C
即DF: BG= 3 :
4,
AE EB=2 :
= -BG