数列通项公式、前n项和求法总结全
一.数列通项公式求法总结：
1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．
例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2
55a S =．求数列{}n a 的通项公式.
变式练习：
1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式
2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.
2.公式法
求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21
11n S S n S a n n
n 求解。
特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系
例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。
（1）13-+=n n S n 。 （2）12
-=n s n
变式练习：
1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2
+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。
2. 已知数列{}n a 的前n 项和2
12
n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。
3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n
n S n ，2
2.求数列{}n a 的通项公式。
3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为
)
(1n f a a n n +=+
对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211=
a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。
变式练习：
1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列： 求通项公式
类型2 特征：递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a 。
变式练习：
1.已知数列{}n a 中，12a =，13n
n n a a +=，求通项公式n a 。
1112n
n n a a a +==+,
2.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()22
1110n n n n n a na a a +++-+=（n =1，2， 3，…）
，求数列的通项公式是n a
类型3 特征：递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数）
对策：（利用构造法消去q ）把原递推公式转化为由q pa a n n +=+1得1(2)n n a pa q n -=+≥两式相减并整理得
11
,n n
n n a a p a a +--=-构成数列{}1n n a a +-以21a a -为首项，以p 为公比的等比数列.求出{}1n n a a +-的通项再转化
为类型1（累加法）便可求出.n a
例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
变式练习：
1. 数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。
2. 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.证明{
}
12
n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式。
类型4特征：递推公式为1()n n a pa f n +=+（其中p 为常数） 对策：（利用构造法消去p ）两边同时除以1
n p
+可得到
111()n n n n n a a f n p p p +++=+，令n n n a b p =，则11
()
n n n f n b b p ++=+，再转化为类型1（累加法），求出n b 之后得n
n n a p b =
例6．已知数列{}n a 满足1
112431n n n a a a -+=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n
n a a )2(≥n ，求n a ．
二.数列的前n 项和的求法总结
1.公式法
（1）等差数列前n 项和：11()(1)
22
n n n a a n n S na d ++==+ （2）等比数列前n 项和：
q=1时，1n S na =
(
)1111n n a q q S q
-≠=
-，
例1. 已知3
log 1log 23-=x ，求???++???+++n
x x x x 32的前n 项和.
变式练习：
1.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .
2.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=。 （1）求n a ，n b ； （2）求数列{}n
n
b a 的前n 项和n S 。
2.错位相减法
①若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ?的求和就要采用此法.
②将数列{}n n a b ?的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列{}n n a b ?的前n 项和. 例2.求231
1234n x x x nx -+++++……的和
变式练习：
1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S =2
2n n +,n∈N﹡,数列{}n b 满足24log 3n b
n a =+n∈N﹡.
(1)求n a ,n b ;
(2)求数列{}n n a b ?的前n 项和n T .
2.若公比为c 的等比数列{}n a 的首项为11a =，且满足12
(3,4,...)2
n n n a a a n --+==。 （1）求c 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S