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机械能守恒定律
一．知识聚焦
1．定义：物体由于做机械运动而具有的能叫机械能，用符号E 表示，它是动能和势能(包括重力势能和弹性势能)的统称．
2．表达式：E ＝Ek ＋Ep.机械能是标量，没有方向，只有大小，可有正负(因势能可有正负)．
3．机械能具有相对性：因为势能具有相对性(需确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是地面)，所以机械能也具有相对性．只有在确定的参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义
二．经典例题
例1 下列物体中，机械能守恒的是( )
A ．做平抛运动的物体
B ．被匀速吊起的集装箱
C ．光滑曲面上自由运动的物体
D ．物体以g 的加速度竖直向上做匀减速运动
45解析 物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒，
所以A 、C 项正确；匀速吊起的集装箱，绳的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒；物体以g
45的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律F －mg ＝m(－g)，有F ＝mg ，则物体受到竖直向上的大小为mg 451515的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒．
答案 AC
例2 如图所示，在水平台面上的A 点，一个质量为m 的物体以初速度v 0被抛出，不计空气阻力，求它到达B 点时速度的大小．
解析 物体抛出后的运动过程中只受重力作用，机械能守恒，若选地面为参考面，则
mgH ＋mv ＝mg(H －h)＋mv 122
0122B 解得v B ＝v2
0＋2gh 若选桌面为参考面，则
mv ＝－mgh ＋mv 12201
22B 解得它到达B 点时速度的大小为
v B ＝v2
0＋2gh 答案 v2
0＋2gh 例3 如图所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H ，斜面顶点上有一定滑轮，物块A 和B 的质量
分别为m 1和m 2，通过轻而柔软的细绳连结并跨过定滑轮．开始时两物块都位于与地面垂直距离为H 的位置上，释1
2放两物块后，A 沿斜面无摩擦地上滑，B 沿斜面的竖直边下落．若物块A 恰好能达到斜面的顶点，试求m 1和m 2的比值．滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计．
解析 设B 刚下落到地面时速度为v ，由系统机械能守恒得m 2g －m 1g sin 30°＝(m 1＋m 2)v 2①
H 2H 21
2A 物体以v 上滑到顶点过程中机械能守恒
m 1
v 2＝m 1g sin 30°②
12H
2由①②得＝1∶2m1
m2建议收藏下载本文，以便随时学习！
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答案 1∶2
例4 质量为m 的物体，从静止开始以2g 的加速度竖直向下运动h 高度，下列说法中正确的是( )
A ．物体的重力势能减少2mgh
B ．物体的机械能保持不变
C ．物体的动能增加2mgh
D ．物体的机械能增加mgh
解析 因重力做了mgh 的功，由重力做功与重力势能变化关系可知重力势能减少mgh ，合力做功为2mgh ，由动能定理可知动能增加2mgh ，除重力之外的力做功mgh ，所以机械能增加mgh ，A 、B 错，C 、D 对．
答案 CD
例5用弹簧枪将一质量为m 的小钢球以初速度v 0竖直向上弹出，不计空气阻力，当小钢球的速度减为时，钢球的v04重力势能为(取弹出钢球点所在水平面为参考面)( )
A.mv
B.mv
C.mv
D.mv 15322
0173220132204920答案 A
解析 由mv ＝Ep ＋m()2得122
012v04Ep ＝mv .15322
0三、基础演练
1.关于机械能守恒，下列说法正确的是( )
A ．物体匀速运动，其机械能一定守恒
B ．物体所受合外力不为零，其机械能一定不守恒
C ．物体所受合外力做功不为零，其机械能一定不守恒
D ．物体沿竖直方向向下做加速度为5 m/s 2的匀加速运动，其机械能减少
答案 D
2．如图所示，在抗洪救灾中，一架直升机通过绳索，用恒力F 竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法正确的有( )
A ．力F 所做功减去克服阻力所做的功等于重力势能的增量
B ．木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量
C ．力F 、重力、阻力，三者合力所做的功等于木箱动能的增量
D ．力F 和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量
答案 BCD
解析 对木箱受力分析如右图所示，则由动能定理：
WF －mgh －WF f ＝ΔEk ，故C 对．
由上式得：WF －WF f ＝ΔEk ＋mgh ，即WF －WF f ＝ΔEk ＋ΔEp ＝ΔE ，故A 错，D 对．
3.如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M 和m ，且M>m ，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中( )
A ．M 、m 各自的机械能分别守恒
B ．M 减少的机械能等于m 增加的机械能
C ．M 减少的重力势能等于m 增加的重力势能
D ．M 和m 组成的系统机械能守恒
解析：M 下落过程，绳的拉力对M 做负功，M 的机械能不守恒，减少；m 上升过程，绳的拉力对
m 做正功，m 的机械能增加，A 错误．对M 、m 组成的系统，机械能守恒，易得B 、D 正确；M
减少的重力势能并没有全部用于m 重力势能的增加，还有一部分转变成M 、m 的动能，所以C 错
误．
答案：BD 4．(2009年营口质检)如图13所示，在地面上以速度v0抛出质量为m 的物体，抛出后物体落到比地面低h
的海平面
上．若以地面为零势能面而且不计空气阻力， 则
①物体到海平面时的势能为mgh ②重力对物体做的功为mgh
③物体在海平面上的动能为mv ＋mgh ④物体在海平面上的机械能为mv 122
01220其中正确的是( )
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②④
解析：以地面为零势能面，物体到海平面时的势能为－mgh ，①错，重力对物体做功为mgh ，②对；由机械能守恒，mv ＝Ek －mgh ，Ek ＝mv ＋mgh ，③④对，故选B.
12201220答案：B
5.如图14所示，一轻质弹簧竖立于地面上，质量为m 的小球，自弹簧正上方h 高处由静止释放，则从小球接触弹簧
到将弹簧压缩至最短(弹簧的形变始终在弹性限度内)的过程中，下列说法正确的是
( )A ．小球的机械能守恒
B ．重力对小球做正功，小球的重力势能减小
C ．由于弹簧的弹力对小球做负功，所以弹簧的弹性势能一直减小
D ．小球的加速度先减小后增大
解析：小球与弹簧作用过程，弹簧弹力对小球做负功，小球的机械能减小，转化为弹簧的弹性势能，使弹性势能增加，因此A 错误，C 错误；小球下落过程中重力对小球做正功，小球的重力势能减小，B 正确；分析小球受力情况，由牛顿第二定律得：mg －kx ＝ma ，随弹簧压缩量的增大，小球的加速度a 先减小后增大，故D 正确．
答案：BD
6.利用传感器和计算机可以测量快速变化的力，如图16所示是用这种方法获得的弹性绳中拉力F 随时间的变化图
象．实验时，把小球举高到绳子的悬点O 处，然后让小球自由下落．从图象所提供的信息，判断以下说法中正确的是( )
A ．t1时刻小球速度最大
B ．t2时刻小球动能最大
C ．t2时刻小球势能最大
D ．t2时刻绳子最长
解析：小球自由下落的过程中，t1时刻绳子的拉力为零，此时速度不是最大，动能
也不是最大，最大速度的时刻应是绳子拉力和重力相等时，即在t1、t2之间某一时
刻，t2时刻绳子的拉力最大，此时速度为零，动能也为零，绳子的弹性势能最大，而小球的势能不是最大，而是最小，t2时刻绳子所受拉力最大，绳子最长．
答案：D
4．能力提升
1.如图7－8－7所示，某人以拉力F 将物体沿斜面拉下，拉力大小等于摩擦力，则下列说法中正确的是( )
A ．物体做匀速运动
B ．合力对物体做功等于零
C ．物体的机械能守恒
D ．物体的机械能减小
答案 C
2．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A 、B 、C 中的斜面是光滑的，图D 中的斜面是粗糙的，图A 、B 中的F 为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A 、B 、D 中的木块向下运动，图C 中的木块向上运动．在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是(
)
答案 C
解析 依据机械能守恒条件：只有重力做功的情况下，物体的机械能才能保持守恒，由此可见，A 、B 均有外力F 参与做功，D 中有摩擦力做功，故A 、B 、D 均不符合机械能守恒的条件．
3.(2010年山东名校联考)一质量为m 的物体，以g 的加速度减速上升h 高度，不计空气阻力，则( )13A ．物体的机械能不变 B ．物体的动能减小mgh
13C ．物体的机械能增加mgh
D ．物体的重力势能增加mgh
23解析：设物体受到的向上的拉力为F.由牛顿第二定律可得：F 合＝F －mg ＝－mg ，所以F ＝mg.动能的增加量等于
1323合外力所做的功－mgh ；机械能的增加量等于拉力所做的功mgh ，重力势能增加了mgh ，故B 、C 、D 正确，A 错1323误．
答案：BCD
4．(2010年成都模拟)如图10所示，质量相等的A 、B 两物体在同一水平线上，当A 物体被水平抛出的同时，B 物体开始自由下落(空气阻力忽略不计)，曲线AC 为A 物体的运动轨迹，直线BD 为B 物体的运动轨迹，两轨迹相交于O 点，则两物体( )
A ．经O 点时速率相等
B ．在O 点相遇
C ．在O 点具有的机械能一定相等
D ．在O 点时重力的功率一定相等
解析：由机械能守恒定律可知，A 、B 下落相同高度到达O 点时速率不相等，故A 错．由于平
抛运动竖直方向的运动是自由落体运动，两物体从同一水平线上开始运动，将同时达到O 点，故B 正确．两物体运动过程中机械能守恒，但A 具有初动能，故它们从同一高度到达O 点时机械能不相等，C 错误．重力的功率
P ＝mgvy ，由于两物体质量相等，到达O 点的竖直分速度vy 相等，故在O 点时，重力功率一定相等，D 项正确．答案：BD
五、个性天地
1．如图7－8－8所示，翻滚过山车轨道顶端A 点距地面的高度H ＝72 m ，圆形轨道最高处的B 点距地面的高度h ＝37 m ．不计摩擦阻力，试计算翻滚过山车从A 点由静止开始下滑运动到B 点时的速度．(g 取10 m/s 2)
答案 26.5 m/s
解析 取水平地面为参考平面，在过山车从A 点运动到B 点的过程中，对过山车与地球组成的系统应用机械能守恒定律，有mgh ＋mv 2＝mgH
12可得过山车运动到B 点时的速度为
v ＝＝ m /s≈26.5 m/s
2g (H －h )2×10×(72－37)2．某人站在离地面h ＝10 m 高处的平台上以水平速度v 0＝5 m/s 抛出一个质量m ＝1 kg 的小球，不计空气阻力，g 取10 m/s 2，问：
(1)人对小球做了多少功？
(2)小球落地时的速度为多大？
答案 (1)12.5 J (2)15 m/s
解析 (1)人对小球做的功等于小球获得的动能，所以
W ＝mv ＝×1×5
2 J ＝12.5 J[来源:]12201
2
(2)根据机械能守恒定律可知
mgh ＋mv ＝mv 2122
01
2所以v ＝＝ m/s ＝15 m/s v20＋2gh 52＋2×10×103.如图7－8－9所示，光滑的水平轨道与光滑半圆轨道相切，圆轨道半径R ＝0.4 m ．一个小球停放在水平轨道上，现给小球一个v 0＝5 m/s 的初速度，求：(g 取10 m/s 2)
(1)小球从C 点飞出时的速度．
(2)小球到达C 点时，对轨道的作用力是小球重力的几倍？
(3)小球从C 点抛出后，经多长时间落地？
(4)落地时速度有多大？
答案 (1)3 m/s (2)1.25倍 (3)0.4 s (4)v 0
解析 (1)小球运动至最高点C 过程中机械能守恒，有mv ＝2mgR ＋mv 1220122
C v C ＝＝ m/s ＝3 m/s v2
0－4gR 52－4×10×0.4(2)对C 点由向心力公式可知
FN ＋mg ＝m v2C
R
FN ＝m －mg ＝1.25mg
v2C
R 由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力为小球重力的1.25倍．(3)小球从C 点开始做平抛运动
由2R ＝gt 2知
1
2t ＝ ＝ s ＝0.4 s
4R
g 4×0.410(4)由于小球沿轨道运动及做平抛运动的整个过程机械能守恒，所以落地时速度大小等于v 0.
4 如图6所示，作平抛运动的小球的初动能为6J ，不计一切阻力，它落在斜面上P 点时的动能为：（
） A. 12J B. 10J C. 14J D. 8J
解析：把小球的位移分解成水平位移s 和竖直方向的位移h 。 s vt h gt h s
===，，°12302tan 即 所以， 12332gt vt =t v g
=233h gt v g ==122322
根据机械能守恒定律得 1212
22
mv mgh mv p += 所以121223
222mv mv mv p =+ 。=+=124312
1422mv mv J × 所以正确答案为C 。
5.半径R ＝0.50 m 的光滑圆环固定在竖直平面内，轻质弹簧的一端固定在环的最高点A 处，另一端系一个质量
m
＝0.20 kg 的小球，小球套在圆环上，已知弹簧的原长为L0＝0.50 m ，劲度系数k ＝4.8 N/m ，将小球从如图19所示的位置由静止开始释放，小球将沿圆环滑动并通过最低点C ，在C 点时弹簧的弹性势能EPC ＝0.6 J ，g 取10 m/s2.求：图6建议收藏下载本文，以便随时学习！
图19
(1)小球经过C 点时的速度vc 的大小；
(2)小球经过C 点时对环的作用力的大小和方向．解析：(1)设小球经过C 点的速度为vc ，小球从B 到C ，据机械能守恒定律得mg(R ＋Rcos60°)＝EPC ＋mv ，代入数122
c 据求出vc ＝3 m/s.
(2)小球经过C 点时受到三个力作用，即重力G 、弹簧弹力F 、环的作用力FN. 设环对小球的作用力方向向上，根据
牛顿第二定律F ＋FN －mg ＝m ，由于F ＝kx ＝2.4 N ，FN ＝m ＋mg －F ，解得FN ＝3.2 N ，方向向上．
v2c R v2c R 根据牛顿第三定律得出小球对环的作用力大小为3.2 N ．方向竖直向下．
答案：(1)3 m/s (2)3.2 N ，方向竖直向下
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