第八章刚体的平面运动习题解答资料

习题

8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。

图8-28

t t r y t r x O O C O C ω?ωω===sin cos

8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。试求圆柱的平面运动方程。

图8-29

3/32gh v A = 3/22

gh v A

= 3/g a A = 3/2gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =?

8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱面相切，如图8-30所示。设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。

图8-30

瞬心法

θθθ

ωcos sin cot sin 2R v R

v AI v A =

= 基点法

θsin v v CA =

θθ

θθωcos sin cot sin 2R v R v CA v CA =

8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的

齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。

图8-31

AB B A v v v += ωr v v 221+= r

v v 22

1-=

ω OB B O v v v += 2

12v v r v v O +=

+=ω

8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。当ADBC 成一平行四边形时，m/s 4.0m/s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。

图8-32

CB B CA A C v v v v v +=+=

向x

?=?+-60cos 30cos B CA A v v v 3

8.02/321

4.02.030cos 60cos =?

B A CA v v v 向ξ

?-=?-30cos 60cos CB B A v v v

30cos 60cos =

??+=A B CB v v v m/s 306.038.02

3314.02314.030cos 222

2==???-+=?-+=CB B CB B C v v v v v

8-6 图8-33所示机构中，OA =200mm ，AB =400mm ，BD =150mm ，曲柄OA 以匀角速度

rad/s 4=ω绕轴O 转动。当?=45θ时，连杆AB 恰好水平、BD 铅直，试求该瞬时连杆AB 及

构件BD 的角速度。

图8-33

瞬心法

800==ωOA v A

rad/s 414.122

400800

====AB A AB AI v ω

24002400=?==AB AB B BI v ω

rad/s 711.32381502400====

BD v B BD ω 基点法

8-7 在如图8-34所示的筛动机构中，筛子BC 的摆动是由曲柄连杆机构所带动。已知

曲柄长OA =0.3m ，转速为n =40r/min 。当筛子运动到与点O 在同一水平线上时，∠?=90OAB ，试求此时筛子BC 的速度。

图8-34

π4.04030

3.0=??

==ωOA v A 速度投影定理 A B v v =?60cos

m/s 2512.0π8.0260cos ===?

=A A

B v v v

8-8 长为l =1.2m 的直杆AB 作平面运动，某瞬时其中点C 的速度大小为v C =3m/s ，方向与AB 的夹角为?60，如图8-35所示。试求此时点A 可能有的最小速度以及该瞬时杆AB 的角速度。

图8-35

?-+=30cos 22

2AC C AC C A v v v v v

对AC v 求导，并令其等于0，得

?=30cos C AC v v 即AC A v v ⊥时

m/s 5.130sin =?=C A v v ?=30cos C AC v v

rad/s 33.435.26

.023

3==?

==AC v AC AB

8-9 如图8-36所示的四连杆机构中，连杆AB 上固连一块直角三角板ABC ，曲柄O 1A 的角速度恒为rad/s 21=ω，已知O 1A =0.1m ，O 1 O 2=AC ＝0.05m ，当O 1A 铅直时，AB 平行于O 1 O 2，且AC 与O 1A 在同一直线上，?=30? 。试求此时直角三角板ABC 的角速度和点C 的速度。

图8-36

基点法

m/s 2.021.01=?==ωA O v A

m/s 32

.030tan =?=A BA v v

rad/s 0718.1135.021.0305.02.03

1.005.032

.0=+=+=+==AB v BA ABC ω

m/s 2536.00718.105.02.0=?+=+=+=ABC A CA A C AC v v v v ω

瞬心法

305.01.030cot 05.01.011+=?+=+=I O A O AI m/s 2.021.01=?==ωA O v A

rad/s 0718.13

05.01.02

.0=+==AI v A ABC ω

m/s 2536.00718.1)305.01.005.0(=?++==ABC C CI v ω

8-10 在瓦特行星机构中，杆O 1A 绕轴O 1转动，并借连杆AB 带动曲柄OB 绕轴O 转动（曲柄OB 活动地装在O 轴上），如图8-37所示。齿轮Ⅱ与连杆AB 固连于一体，在轴O 上还装有齿轮Ⅰ。已知m 5.1m,75.0m,33.0121====AB A O r r ；又杆O 1A 的角速度

rad/s 61

=O ω 。试求当?=60γ 且?=90β 时，曲柄OB 和齿轮Ⅰ的角速度。

图8-37

瞬心法

360cos =?

AI 35.160tan =?=AB BI

m/s 5.4675.011=?==O A A O v ω

rad/s 5.135.4===AI v A AB ω

m/s 325.25.135.1=?==AB B BI v ω rad/s 75.33

6.03

25.2===

OB v B OB ω m/s 38.15.1)33.035.1(=?-==AB C CI v ω rad/s 63

3.038.1I ===

OC v C ω 基点法

m/s 5.4675.011=?==O A A O v ω

m/s 325.2235.430cos =?

=?=A B v v rad/s 75.33

6.0325.2===OB v B OB ω m/s 25.230sin =?=A BA v v

rad/s 5.15

.155.2===AB v BA AB ω

m/s 38.15.133.0325.2=?-=-=CB B C v v v r a d /s

633.03

8.1I ===OC v C ω

8-11 图8-38所示的双曲柄连杆机构中，滑块B 和E 用杆BE 连接，主动曲柄OA 和从动曲柄OD 都绕O 轴转动。主动曲柄OA 作匀速转动，角速度的大小为rad/s 12=O ω。已知各部件的尺寸为：m 312.0m,12.0m,26.0m,12.0m,1.0=====DE BE AB OD OA 。试求当曲柄OA 垂直于滑块的导轨方向时，从动曲柄OD 和连杆DE 的角速度。

图8-38

m 24.01.026.02222=-=-=OA AB OB m 12.012.024.0=-=-=EB OB OE 杆AB 瞬时平动

m/s 2.1121.0=?==O A OA v ω

m/s 2.1==A B v v

杆EB 平动

m/s 2.1==B E v v

杆DE 平面运动(瞬心法)

?=∠=∠=∠30EIO DEO EDO

312.0==DE EI 36.0=DI

rad/s 33103

10312.02.1====

EI v E DE ω m/s 32.1331036.0=?

==DE D DI v ω rad/s 31012

.03

2.1===OD v D OD ω

加速度分析(讨论) 杆AB 瞬时平动

222

m/s 4.14121.0=?==O A OA a ω

2m/s 624

.01

.04.144.14tan =?=?==OB OA a a A B ? (向右)

杆EB 平动

2m/s 6==B E a a

杆DE 平面运动(基点法)

以E 为基点，分析D 点

τn τD E

D E E D D a a a a a ++=+ 36

)310(12.02

2n =?==O D D OD a ω 34)3

310(312.022

n =?==DE DE DE a ω

向ξ

τn 30cos 30sin 30cos DE

E D D a a a a +?=?-? ?

?-=?-?-?=30sin 30cot )(30sin 30cos 30cos n

n n τDE E D DE E D D

a a a a a a a 3222343)636(=?--= 2

τr a d /

s 5.3173

355063110012.0322=====OD a D OD

α (逆时针)

8-12 图8-39所示机构中，已知：m;31.0m,1.0m,1.0m,1.0====EF DE BD OA 曲柄OA 的角速度为rad/s 4=O ω。在图示位置时，OA 垂直于水平线OB ；B 、D 和F 位于同一铅直线上；又DE 垂直于EF 。试求此时杆EF 的角速度和点F 的速度。

图8-39

杆AB 瞬时平动

m/s 4.041.0=?==O A OA v ω m/s 4.0==A B v v

杆BC 平面运动(瞬心法)，瞬心在D 点

rad/s 41.04

.0===

BD v B BC ωCDE C CD

v ω== 杆EF 平面运动(瞬心法)

3.0=EI 32.0=FI

m/s 4.041.0=?==CDE E DE v ω

rad/s 3333.13

43.04.0====EI v E EF ω

m/s 4619.03

8.03432.0==?==EF F FI v ω

8-13 半径为r 的圆柱形滚子沿半径为R 的固定圆弧面作纯滚。在图8-40所示瞬时，滚

子中心C 的速度为C v 、切向加速度为τ

C a 。试求此时滚子与圆弧面的接触点A 以及同一直径

上最高点B 的加速度。

图8-40

r v C =ω r a C τ

=α r R v a C n

C -=2

τAC n C τC A a a a a a +++= r

v r a C n

==ω τ

τC

AC a r a ==α r

r R Rv r v r R v a a a C C C n

AC n C A )(222-=

+-=+= n

BC τBC n C τC B a a a a a +++= τC

BC a r a ==ατ

v r a

n BC

==ω

τ2C

BC C B a a a a =+=ττ r r R v r R r R v r v a a

a C

C C n

n BC

)()2(222--=

--===

8-14 绕线轮沿水平面滚动而不滑动，轮的半径为R 。在轮上有圆柱部分，其半径为r ，如图8-41所示。将线绕于圆柱上，线的B 端以速度v 和加速度a 沿水平方向运动，试求绕线轮轴心O 的速度和加速度。

图8-41

类似于习8-13

v r R R v O -=

a r

R R a O -=

8-15 四连杆机构OABO 1中，OO 1= OA=O 1B =100mm ，杆OA 以匀角速度rad/s 2=ω绕O 轴转动，如图8-42所示。当?=90?时，杆O 1B 水平，试求此时杆AB 和杆O 1B 的角速度及角加速度。

图8-42

速度分析

mm/s 2002100=?=A v r a d /s 2===

ωωOA

v A

mm/s 4002200=?=?=AB B OB v ω r a d /s 411==

O v B

B O ω 加速度分析

22m m /s 4002100=?=A a 2

221mm/s 160041001

=?=?=B O n B B O a ω 222

mm/s 540025100=?=?=AB n BA AB a ω

2cos 5

sin =

θθ n

τBA A n B τB a a a a a ++=+ 向x 轴投影

θθτcos sin n

BA BA n B a a a -=-

θθθτ

sin cot sin cos n

B n

BA n B n BA BA a a a a a -=-=

/11600

25400-

?=2mm/s 5800-= 2rad/s 85

1005800-=-==AB a BA AB

τα 向y 轴投影

θθsin cos n

ττBA BA A B a a a a ++-=

5400525800400?+?--= 1600-= 21rad/s 16100

1600

1-=-==B O a B B

O τα

8-16 在曲柄齿轮椭圆规中，齿轮A 与曲柄A O 1固结为一体，齿轮C 和齿轮A 半径均为r 并互相啮合，

如图8-43所示。图中AB= O 1 O 2，O 1A=O 2B =0.4m 。O 1A 以匀角速度rad/s 2.0=ω绕轴O 1转动。M 为轮C 上一点，CM =0.1m 。在图示瞬时，CM 铅直，试求此时点M 的速度

和加速度。

图8-43

速度分析

m/s 08.02.04.01=?===ωA O v v A C r a d /s

2.0==ωωC m/s 02.02.01.0=?==C MC CM v ω

(02.008.0202.008.0150cos 2222

???-+=?-+=MC C MC C M v v v v v m/s 0978.0= 加速度分析

2221m/s 016.02.04.0=?===ωA O a a A C

222

m/s 004.02.01.0=?==C MC GM a ω

004.0016.02004.0016.030cos 22222?

??-+=?-+=MC C MC C M a a a a a 2m/s 0127.0=

8-17 边长l =400mm 的等边三角板ABC 在其所在平面内运动，如图8-44所示。已知某瞬时点A 的速度mm/s 800=A v ，加速度2mm/s 3200=A a ，方向均沿AC ；点B 的速度大小为

mm/s 400=B v ，加速度大小为2mm/s 800=B a 。试求该瞬时点C 的速度和加速度。

图8-44

?-+=30cos 2222BA A BA A B v v v v v

38002800400222?

??-+=BA BA v v

048000038002=+-BA BA v v 3400=BA v

3==AB

BA ω

m/s 0583.1mm/s 3.1058)3400(800222

2==+=+=CA A C v v v

τBA A B a a a a ++= 120034002

=?==ωAB a

400120021

320060cos n

=-?

=-?=BA A Bx a a a τ

ττ316002

3320030cos BA

BA BA

A By a a a a a -=-?=-?=

22By

Bx B a a a += 2

22400800By

a += 3400||=By a

即 3400|31600|τ

=-BA a

(1) 340031600τ

-=-BA a

32000τ

=BA

a 35τ

==AB

a BA

τCA A C a a a a ++= 12002n n ===ωAC a a CA CA

32000τ===ατAC a a CA CA

向图示x 、y 方向投影

32000τ==CA Cx a a

200012003200n =-=-=CA A Cy a a a

222m/s 4mm/s 4000==+=Cy Cx C a a a (2) 340031600τ

=-BA a

31200τ

=BA a 33τ==AB

a BA α

τCA A C a a a a ++= 12002n

n ===ωAC a a CA CA

31200τ===ατAC a a CA CA

向图示x 、y 方向投影

31200τ==CA Cx a a

200012003200n =-=-=CA A Cy a a a

222m/s 884.2mm/s 28843800===+=Cy Cx C a a a

8-18 图8-45所示机构中，曲柄OA 长为l ，以匀角速度O ω绕轴O 转动；滑块B 可在水平滑槽内滑动。已知AB =AC =2l ，在图示瞬时，OA 铅直，试求此时点C 的速度及加速度。

图8-45

O O A C l OA v v ωω===

A l a ω=

τBA A B a a a a ++= 22

12323

260sin O O

A BA l l BA a l a a ωωαωττ====?=

BC CA l AC a ωατ=

= 2

22222

2082.2313)23(3

212)32(

1150cos 2O

O O CA A CA A C l l l a a a a a ωωω==-???-+=?-+=

8-19 图8-46所示曲柄连杆机构中，曲柄OA 绕轴O 转动的角速度为O ω，角加速度为O α 。

某瞬时OA 与水平方向成?60角，而连杆AB 与曲柄OA 垂直。滑块B 在圆弧槽内滑动，此时半径O 1B 与连线AB 间成?30角。如OA =r ，r B O r AB 2,321==，试求该瞬时滑块B 的切向加速度和法向加速度。

图8-46

速度分析

r r AB AI 23

3230tan =?

=?= r AB BI 430sin /=?= O A r v ω= 2

O A AB r r AI v ωωω===

O O

AB B r r BI v ωωω22

4=?

加速度分析

O A

r a ω=

O A

r a α=τ 2

22n 22)2(O

O B

r r

r v a ωωρ=== 2

3)2(3222

2n O

r r AB a

ωωω

=?==

n τn τn τBA

BA A A B B a a a a a a +++=+ 向ξ轴投影

A B B a a a a +=?+?τn τ30cos 30sin 2

22n

n ττ

3232)2

3(230sin 30cos O

O O O O B BA A B

r r r r r a a a a ωαωωα-=?-+=??-+=

)32(2

O O r ωα-= 与τ 方向相反

8-20 半径为r 的圆盘可在半径为R 的固定圆柱面上纯滚动，滑块B 可在水平滑槽内滑动，如图8-47所示。已知r =125mm ，R =375mm ；杆AB 长l =250mm 。图示瞬时，v B =500mm/s ，a B =750mm/s 2；O 、A 、O 1三点位于同一铅垂线上，试求此时圆盘的角加速度。

图8-47

500==B A v v

rad/s 2125

2500

2=?==

r v A O ω 加速度分析

杆AB τ

AB B A a a a +=

圆盘 n

AO τAO n O τO A a a a a a +++= 故 n

AO τAO n O τO τAB B a a a a a a +++=+ 向ξ

θθθθθs i n c o s s i n c o s c o s n

AO τAO n O τO B a a a a a --+-= θθt a n t a n n

AO τAO n O τO B a a a a a --+-=

τAO O τ

O r a r a αα==

5002125250125

37525022

=?===-=-=O n AO O n O

r a r R v a ω

即 θθαtan 500tan 2502750-+-=O r

2rad/s 75.3250

5.9371252750

2502750tan 250-=-=?+?-=--=r O θα

8-21 图8-48所示机构中，圆轮A 的半径R =0.2m ，圆轮B 的半径r =0.1m ，两轮均在水平轨道上作纯滚动。在图示瞬时，A 轮上C 点在最高位置，轮心速度v A =2m/s ，加速度a A =2m/s 2，试求轮B 滚动的角速度和角加速度。

图8-48

rad/s 102.02===

R v A A ω A C B v v v 2== rad/s 401

.042====r v r v A B B ω

加速度分析

圆轮A n

CA τ

CA A C a a a a ++= A τ

CA a a = 20102.02n

=?=CA a

杆BC τ

BC C B a a a +=

故 n

CA τCA A τBC B a a a a a +++= 向ξ

θθθθs i n c o s c o s c o s n CA τCA A B a a a a -+= 15

5.43.0tan ==

θ θt a n n

CA τCA A B a a a a -+= 3

1512022=?

-+=B a 2rad/s 675.263

1.038====r a B B α

8-22 轮O 在水平面上作纯滚动，如图8-49所示。轮缘上固定销钉B ，此销钉可在摇杆O 1A 的槽内滑动，并带动摇杆绕轴O 1转动。已知轮心O 的速度是一常量，v O =0.2m/s ，轮的半径R =0.5m ，图示位置时，O 1A 是轮的切线，摇杆与水平面的夹角为?60 。试求该瞬时摇杆的角速度和角加速度。

图8-49

轮O

v O

O =

ω 0=O α O O B v R BC v 3)30cos 2(=?==ωω

τBO

BO O B a a a a ++= 0=O a 0τ=BO a 即 n

B a a = R

v R a

a O

B 2

2n ===ω

B 处，选摇杆为动系，轮O 上的B 点为动点 r e a v v v v +==B

O v v v 2

60cos a e =

?= O v v v 2360sin a r =?=

v R v B O v O O

O 230cos 2231e 1

=?==ω C r n

e τ

e a a a a a a a +++==B

v R v R B O a O

O A

O 43)2(30cos 22

221n e

1=??==ω

v v R v v a O

O O A O 23232222

r C 1=??==ω

向ξ

C τe a a a a +=

v R v R v a a a O

O O 223222C a τe

-=-=-=

21τe 3230cos 221R v R R v B O a O O A O -=?-==α 故 rad/s 2.021==R

O A O ω

2rad/s 04619.01-=A O α

8-23 图8-50所示平面机构中，已知套筒A 的速度大小v 是一常量，当OA 连线水平时，OA =AD =R ，?=30?。试求该瞬时杆AB 的角速度和角加速度。

图8-50

R v R v AI v AB A AB

43cos cos /22

====??ω 2

cos sin 43tan cos 2v

v R CI v AB AB AB C ===

=????ωω 加速度分析

杆AB n

CA τ

CA A C a a a a ++=

R v a A 2= R

v R v R AC a AB CA 833)43(cos 222

n =?==?ω

以导套C 为动系，杆AB 上C 点为动点

C r e a a a a a ++==a C

杆BC R

v v R v v v a C AB AB 432432222

r C =

??===ωω 故 C r e a a a a a a ++=++n

CA τ

CA A 向η

C s i n a a a τCA A =+-?

R v R v R v a a a A τ

454321sin 2

22C =+?=+=?

835c o s /45R v R R v AC a τCA AB ===?α

向ξ（求r a ）

r n

c o s a a a CA A =+?

v R v R v a a a CA

A 83783323cos 222n

r =+?=+=?

8-24 图8-51所示机构中曲柄OA 长为2l ，以匀角速度O ω绕轴O 转动。在图示瞬时，AB=BO ，∠OAD =?90。试求此时套筒D 相对于杆BC 的速度和加速度。

图8-51

B 处，选曲柄OA 为动系，滑块B 为动点 r e a B B B

C B v v v v +==

O B l v ω=e O B B l v v ω33230cos e a =?=

O B B l v v ω33

30tan e r =?=

C r e a a a a a a ++==B B BC B 2

r C 33

233122O O O B O l l v a ωωωω=?

== 向ξ

C a 30cos a a B =?

2C a

430cos 33230cos O

B l l a a ωω=?=?= (→) 杆AD

O A l v ω2= O A A AD l v AI v ωω323===

O O AD D l l DI v ωωω33

43232=?==

以A 为基点，分析D 点

τDA

DA A D a a a a ++= 2

A l a ω= 222n 39

4)32(3O O AD DA l l AD a ωωω=?== 向η

30cos DA D a a =? 2

830cos 39430cos O

O DA D l l a a ωω=?=?= (←) 故

O O BC D D l l v v v ωω1547.133

r ==

-= (←) 2222r 2222.29

203498O O O O BC

D D l l l l a a a ωωωω==+=+= (←)

8-25 图8-52所示机构中，杆AOD 以匀角速度ω绕轴O 转动，轮B 由连杆AB 带动沿固定圆柱面作纯滚动。已知：OA=OD=r ，轮B 的半径为r ，圆柱面的半径为R =2 r 。试求在图示位置时，（1）轮B 滚动的角速度和角加速度；（2）杆O 1D 转动的角速度和角加速度。

图8-52

速度分析(杆AB )

ωr v v B A == ωω==

v B

B 加速度分析(杆AB )

BA A B B a a a a +=+

ωr a A = 3

2n ωr r R v a B B

=+=

向ξ

?-=?-?30sin 30sin 30cos n

τA B B a a a

22n τ9

3233)3(30tan )(ωωωr r r a a a A B

-=?-=?-= 2

τ9

32ωα-==r a B B

以滑块D 为动点，杆O 1D 为动系 (1)速度分析

ωr v =a 230sin a e ωr v v =

?= 2

330cos a r ωr v v =?=

221e 1

ωωω=?==

r r D O v D O (2)加速度分析

C r n

e τ

e a a a a a +++=a

a ωr a = 21n e

1D O D O a ω

3234222

r C 1ωωω

ωr r v a D O =

??== 向x

C τ

e a 30cos a a a +=?

3432330cos 2

C a τ

ωωωr r r a a a =-?=-?= 8

324322

1τe 1ωωα===r r D O a D O

8-26 图8-53所示平面机构中，曲柄OA 长l ，以匀角速度O ω转动，同时杆EC 以匀速v O 向左滑动，带动杆DF 在铅直滑槽内运动。在图示瞬时，AD=DC=l ，试求此时杆DF 滑动的速度。

图8-53

杆AB 上C'点速度

A C A C ''+=v v v

以C 点为动点，杆AB 为动系 r e a C C C v v v += 故 r a C A C A C v v v v ++='

O C v v =a O A l v ω=

向ξ

A C O O l v '+?=?v 60cos 60cos ω

O A C l v ω-='v

以D 点为动点，杆AB 为动系

r a D A D A D v v v v ++='

O A C A D l v ω-==

''v v 向ξ

A D A D a v v '+?=?-v 60cos 30cos

理论力学课后习题答案第6章刚体的平面运动分析

第6章刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 2 2 1t α?= （3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角表示杆的角速度。解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆 AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。解：R v R v A A ==ω 习题6-1图 A B C v 0 h 习题6－2图 P AB v C A B C v o h 习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图 v A = v v B = v

理论力学刚体的平面运动

理论力学-刚体的平面运动

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第七章刚体的平面运动一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 ( ) ２．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ) 3．刚体作平面运动时,平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 ( ) 4.某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ =永远成立。 ( ） 5.刚体作平面运动,若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。（ ) ６．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动,则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 ( ） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。（ ) 二、选择题１．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动,已知B 端的速度为B u ,则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为。 ①ｕB si ｎθ; ②u B cos θ； ③ｕＢ/sin θ； ④u Ｂ/cos θ。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中,齿轮Ⅱ固定不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r １和r 2，曲柄ＯA 以匀角速度ω0逆时针转动,则齿轮Ⅰ对曲柄OA 的相对角速度ω1r 应为。 ①ω１r =（r 2/ r 1)ω0（逆钟向）; ②ω1ｒ＝(r 2/ r 1）ω0（顺钟向）； ③ω1ｒ=［（r 2＋ r １）／ r 1] ω0(逆钟向)； ④ω1r ＝[(ｒ2＋ r 1)/ r 1］ ω０（顺钟向)。 3.一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶点A 、B 、C 、D 的速度方向如图(a ）、图(b)所示,则图(a)的运动是的，图（b)的运动是的。 ①可能; ②不可能; ③不确定。

清华大学版理论力学课后习题集标准答案全集第6章刚体平面运动分析

6章刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB

平面机构的运动分析答案

1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心；若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。 4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。 5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有 6 个速度瞬心，其中 3 个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μ ν 表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为： (m/s)/mm 。加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为 (m/s2)/mm。 9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 ij P直接标注在图上)。 P 24）

12 三、在图a 所示的四杆机构中， l AB =60mm,l CD =90mm ，l AD =l BC =120mm ，ω2=10rad/s ，试用瞬心法求： 1）当φ＝165°时，点C 的速度v C ； 2）当φ＝165°时，构件3的BC 线上速度最小的一点E 的位置及速度的大小； 3）当v C ＝0时，φ角之值（有两个解）；解：1）以选定的比例尺μl 作机构运动简图（图b ）。 2）求v C ，定出瞬心P 13的位置（图b ） a ) （P 13） P P 23→∞

刚体的平面运动动力学课后答案

刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。一、刚体的平移（平动）刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。二、刚体的定轴转动刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。（1）定轴转动刚体的运动方程： )(t f =? （2）定轴转动刚体的角速度： )(t f ==?ω （3）定轴转动刚体的角加速度： )(t f ===?ω α （4）定轴转动刚体上一点P 的速度和加速度用矢量表示速度： r v ?=ω （7－1）加速度：v r a a a ?+?=+=ωαn t （7－2）其中：ωα,为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r 是由转轴上任一点引向P 点的矢径。三、刚体的平面运动刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。 1、刚体平面运动的角速度和角加速度在平面图形上任取两点A 、B ，过这两点的连线某一基准线的夹角为θ（如图7-2）。当刚体运动时这个夹角将随时间变化)(t θ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为： θ ω =，（7－3） θω α == （7－4） 2、刚体平面运动的运动方程平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为： )(),(), (321t f t f y t f x A A ===? （7－5）其中：A 点称为基点（如图7-3所示）。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平图7－1 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。

第8章刚体的平面运动

安徽工程大学教师备课教案本章节讲稿共6页教案8 第 1 页备课时间：2015年10月7日教师签名：汪太平

第8章刚体的平面运动 §8-1 刚体平面运动概述和运动分解例：曲柄连杆机构中连杆的运动；行星齿轮机构中行星轮的运动。 1. 特点：在运动中，刚体上任意一点与某一固定平面的距离保持不变。 2. 平面图形：刚体在运动平面内的正投影。是运动学的简化模型。 3. 平面图形的运动方程平面图形在其平面内位置的确定方法：在平面内任意选择线段O'M ，其位置可由以下参数确定： 1) 线段上任一点O'''(,)O O x y ； 2) 线段与x 轴夹角φ。则平面图形的运动方程可分为两部分： ''()()()''O O x x t y y t O t O ???=? ?? =??? =?随点的平移绕点的转动定义：O'为基点。 4. 刚体平面运动的分解动系O'x'y'固连于基点O'，则动系仅作平移运动，所以刚体的平面运动＝随基点的平移＋绕基点的转动 1) 随基点的平移为牵连运动。（与基点的选择有关，因为平面运动刚体上各点运动不同，基点不同，动系的平移运动不同，其速度和加速度不同。） 2) 绕基点的转动是相对于动系的相对运动。（与基点的选择无关，因为对于不同的基点，刚体任一时刻的转角都相同、角速度相同、角加速度也相同。） §8-2 求平面图形内各点速度的基点法 1. 平面图形内任一点B 的绝对速度等于基点A 的速度与B 点随图形绕基点转动速度的矢量和。 B A BA v v v AB AB ω=+ √√ ⊥大小？方向？基点A 的平移速度A v 沿AB 处处相等，相对速度BA v 沿AB 线性分布。作速度平行四边形，由三角关系求解。共有六个要素，一般已知四个要素。

刚体的平面运动1答案

刚体的平面运动作业1参考答案 1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角?0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。答案： 2A 2 2 )(21 , 2 sin )( , 2 cos )(t r R r t r R y t r R x A A α?αα+= +=+= 2．图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。齿条AB 与半径为 2 R r =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角θ =60o时，齿轮的角速度。答案：顺时针 31ωω= 提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。

3．图中曲柄OA 长150mm ，连杆AB 长200mm ，BD 长300mm 。设OA ⊥OO 1时，AB ⊥OA ，θ =60o，曲柄OA 的角速度为4rad/s ；求此时机构中点B 和D 的速度以及杆AB 、O 1B 和BD 的角速度。答案：逆时针顺时针顺时针 rad/s 3 4 , rad/s 4 , rad/s 3 , mm/s 800 , mm/s 34001 O =====BD B AB D B v v ωωω 提示：在图示瞬时，杆AB 的速度瞬心为点C ，杆BD 的速度瞬心为点E 。 4．图示平面机构中，曲柄长OA =r ，以角速度ω0绕O 轴转动。某瞬时，摇杆O 1N 在水平位置，而连杆NK 和曲柄OA 在铅垂位置。连杆上有一点D ，其位置为 DK =31 NK ，求D 点的速度。答案：←= 3 2 0ωr v D 提示：在图示瞬时，杆AB 瞬时平动，杆KN 的速度瞬心为点N 。

理论力学-刚体的平面运动

第七章刚体的平面运动一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。（） 2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（） 3．刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。（） 4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ =永远成立。（） 5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。（） 6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。（） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。（）二、选择题 1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动，已知B 端的速度为B u ，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为。 ①u B sin θ； ②u B cos θ； ③u B /sin θ； ④u B /cos θ。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r 1和r 2，曲柄OA 以匀角速度ω0逆时针转动，则齿轮Ⅰ对曲柄OA 的相对角速度ω1r 应为。 ①ω1r =（r 2/ r 1）ω0（逆钟向）； ②ω1r =（r 2/ r 1）ω0（顺钟向）； ③ω1r =[(r 2+ r 1)/ r 1] ω0（逆钟向）； ④ω1r =[(r 2+ r 1)/ r 1] ω0（顺钟向）。

3．一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图（b）所示，则图（a）的运动是的，图（b）的运动是的。 ①可能； ②不可能； ③不确定。 4．图示机构中，O1A=O2B。若以ω1、ε1与ω2、ε2分别表示O1A杆与O2B杆的角速度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时，有。 ①ω1=ω2，ε1=ε2； ②ω1≠ω2，ε1=ε2； ③ω1=ω2，ε1≠ε2； ④ω1≠ω2，ε1≠ε2。三、填空题 1．指出图示机构中各构件作何种运动，轮A（只滚不滑）作；杆BC作；杆CD作；杆DE作。并在图上画出作平面运动的构件、在图示瞬时的速度瞬心。 2．试画出图示三种情况下，杆BC中点M的速度方向。

第3章平面机构的运动分析答案

一、填空题： 1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心；若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有6个速度瞬心，其中3个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μν表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为：(m/s)/mm 。？加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为(m/s2)/mm。9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。 P直接标注在图上)。二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 ij

> " 12 三、在图a 所示的四杆机构中，l AB =60mm,l CD =90mm ， l AD =l BC =120mm ， ω2=10rad/s ，试用瞬心法求： : a ) 24）（P 13） P P 23→∞

刚体平面运动

1.曲柄OA以角速度=3rad/s转动。在图示位置,,而O1B正好与OO1的延长线重合,求在此瞬时杆AB和O1B的角速度。 2.已知: 曲柄OA= r , 匀角速度w转动,连杆AB的中点C处连接一滑块C可沿导槽O1D滑动, AB=l,图示瞬时O、A、O1三点在同一水平线上, OA^AB, DAO1C= q=30。求:该瞬时O1D的角速度。

3.如图所示曲柄OA以等角速度绕O轴转动时,连杆AB使BO1绕Ol轴摆动又通过连杆BC带动滑块C上下运动。已知OA=r,AB=L,BO1=BC=l,试求在图示位置时滑块C的速度。

4.如图所示筛动机构中,筛子的摆动由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄的转速n=40r/min,OA=30cm,当筛子BC运动到与点O在同一水平线上时,∠BAO=90o。求此瞬时筛子BC的速度。 5.直径为0.63m的滚子在水平面上作纯滚动,杆BC一端与滚子铰接,另一端与滑块C铰接。已知图示位置滚子的角速度 =12rad/s,,BC=0.27m,试求该瞬时BC杆的角速度和C点的速度。

6.在如图所示的机构中,已知OA=r=0.2m,O1B=lm,AB=l=1.2m,BC=lm,OA以等角加速度=5rad/s2转动,并在此瞬时角速度=l0rad/s。求当OA与O1B为铅垂时,B点与C点的速度与加速度。第一套4 7.如图所示的机构中,长为0.2m的曲柄OA以匀角速度=2rad/s转动,连杆AB长l=0.4m,半径r=0.1m的圆盘绕O1轴转动,求图示位置B点的速度和加速度。

8.在如图所示的外啮合行星齿轮的机构中,系杆O1O=l以不变的角速度绕定轴O1转动。在系杆销钉O上装一可自由转动的齿轮I,半径为r,该齿轮沿另一半径为R=l-r的固定齿轮Ⅱ作纯滚动。A、B为轮缘上的两点,点A在OlO的延长线上,点B在垂直于OlO的半径上。试求A、B点的加速度。最后一套6 9.如图所示,曲柄0.4长50mm,以匀角速度=10rad/s绕O轴转动,通过连杆AD和滑块B、D使摆杆O、C绕Ol轴转动。在图示位置,曲柄OA垂直于水平线OBO1,摆杆O1C与水平线成60o角,且OlD=70mm。试求此瞬时摆杆OlC 的角速度及滑块D的速度。无答案 10.如图所示的四连杆机构中,曲柄以匀角速度绕O轴转动,且OA=O1B=r,某瞬时∠AOO1=90o,∠BAO=∠ BO1O=45o。求此时B点的加速度和O1B杆的角加速度。

第八章刚体的平面运动习题解

第八章刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。解：椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 2202 1 0C +?=α 02=C 22 1t α?=

2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：

刚体平面运动习题

刚体平面运动习题第八章刚体平面运动的练习 1.真或假(勾选正确和交叉错误) 8-1。刚体的平面运动是一种运动，在这种运动中，刚体上的任何一点与固定平面之间的距离总是平行的。()8-2。平面图形的运动可以看作基点的平移和围绕基点的旋转的组合。()8-3。平面图形上任意两点的速度都相等地投影在一个固定的轴上。()()()8-6。瞬时速度中心的速度为零，加速度为零。()8-7。刚体的平移也是一种平面运动。()2。填空(在横线上写出正确答案) 8-8。在直线轨道上纯滚动时，圆轮与地面接触点的速度为。8-9。平面图上任意两点的速度在上投影中相等。 8-10。瞬时刚体平移时的角速度是:刚体上每个点的速度；每个点的加速度。 3.简短回答问题 8-11。确定图中所示平面运动物体的瞬时速度中心的位置。AbabaccωOboaωOdbω(b)Co(a)(c)图8-11 (d) 8-12。如果一个刚体在一个平面上运动，下面平面图中A和B的速度方向是正确的吗？问题8-12图(c) 8-13。下图中O1A和AC的速度分布是否正确？ 8-14。当圆形车轮在曲线上滚动时，某一瞬时车轮中心的速度vo和加速度ao，而车轮的半径是R，即车轮中心的角度加速度是多少？如何确定瞬时速度中心的加速度的大小和方向？

蟹爪兰O1VβA01ωO2P 8-13 图8-14 8-15。为什么用基点法计算平面图中单个点的加速度时没有科里奥利加速度？4.计算问题 8-16。椭圆规AB由曲柄OC驱动，曲柄OC以均匀的角速度ω O绕O轴旋转。如图所示，如果以C为基点，OC=BC=AC=r，试着找出椭圆规AB的平面运动方程。 8-17。半径为R的齿轮由曲柄OA驱动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。曲柄以均匀的角加速度α绕O轴旋转，并设定初始角速度ω。角加速度α？0.角落？？0.如果选择移动齿轮的中心C点作为基点，试着找出移动齿轮的平面运动方程。 yay rarαφBMMoxorBx 8-16图ωOO 图8-17 8-18。曲柄和连杆机构，称为OA = 40cm厘米，连杆AB = 1m米，曲柄OA绕O轴以N？180转/分钟均匀旋转，如图所示。当曲柄臂与水平线成45度角时，试着找出连杆臂的角速度和中点的速度。 8-19。众所周知，曲柄OA=r，连杆BC=2r，曲柄OA处于均匀角速度ω？4顺时针旋转/秒，如图所示。试着找出图中瞬时点B的速度和连杆BC的角速度。 AMnOBArOB302rCω问题8-18 图8-19 8-20。如图所示，筛选机通过曲柄OA驱动筛BC摆动。众所周知，

理论力学刚体平面运动部分参考答案

一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ， AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ，AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。（18分）解：（1）速度分析及计算：AB 杆和圆轮作平面运动，选A 为基点 BA A B v v v += OA 杆绕O 轴转动：ω?=R v A AB=2R ，圆轮半径为R ，所以杆AB 与水平面夹角为30° 速度平行四边行如图。由图中几何关系可得： 3/330tan ω?= =R v v A B C 为速度瞬心，此瞬时，圆轮可看成绕速度瞬心C 做定轴转动。 O 轴转动： 2ω?==R a a n A A 由速度平行四边行中几何关系可得： 3 / 230cos /ω?==R v v A BA 所以：22 2 3 2 2// ω?== = R R v AB v a BA BA n BA 选A 为基点，则B 点加速度: τ ++=BA n BA a a a a A B 将上式向x 轴投影得：n BA a a a n --= 30cos 30cos

二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加速度αOA =0，θ=60°。图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加速度αOA =0，图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。解：以A 为基点，根据速度合成定理BA A B v v v +=，对B 进行速度分析, 在速度平行四边形中得： cm /s 30310=?=?===OA v v v oA B A BA ω 选A n B A B A a a a a ++= τ A B 即：n B A B A B n B a a a a a ++=+ττA B 点作加速度矢量图如图。由题可知： 222cm /s 90310=?=?=ωOA a n A 222cm/s 5.3724 30===AB v a BA n BA 22 2cm/s 5.372430===BC v a B n B 将 B 点作加速度矢量式向y 轴投影得： τBA n BA n A n B a a a a +-=- 60cos 30sin 得： 2cm /s 75.63 -=τBA a 因此得杆AB 的角加速度：

第6章刚体的平面运动习题解答080814

第六章刚体的平面运动本章要点一、刚体平面运动的描述 1 刚体的平面运动方程：)(t x x A A =，)(t y y A A =，)(t ??=. 2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。二、平面运动刚体上点的速度 1 基点法：平面图形内任一点B 的速度，等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和，即 BA A B v v v +=，其中BA v 的大小为ωAB v BA =，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向相一致。 2投影法速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即 AB A AB B v v ][][= 3瞬心法任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即 ωCM v M =，其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时，0=ω，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。解题要领： 1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。 2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。 3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是

15春地大《理论力学》在线作业一答案

15春地大《理论力学》在线作业一答案一、单选题（共 25 道试题，共 100 分。） 1. 在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保持静止或等速直线运动状态。 A. 正确 B. 错误正确答案：A 2. 杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度分别如图（a）、（b）、（c）所示。则该瞬时（）的角速度为零 A. 图（a）系统 B. 图（b）系统 C. 图（c）系统。正确答案：A 3. 刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 A. 正确 B. 错误正确答案：B 4. 刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 A. 正确 B. 错误正确答案：A 5. 在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。 A. 正确 B. 错误正确答案：B 6. 冲量的量纲与动量的量纲相同。 A. 正确 B. 错误正确答案：A 7. 刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。 A. 正确 B. 错误正确答案：B 8. 作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 A. 正确 B. 错误

正确答案：A 9. 任意质点系（包括刚体）的动量可以用其质心（具有系统的质量）的动量来表示。 A. 正确 B. 错误正确答案：A 10. - A. A B. B C. C D. D 正确答案：A 11. - A. A B. B C. C D. D 正确答案：A 12. 作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 A. 正确 B. 错误正确答案：A 13. 在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。 A. 正确 B. 错误正确答案：B 14. 一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量 A. 平行 B. 垂直 C. 夹角随时间变化正确答案：B 15. 下列关于刚体平面运动的说法错误的是（） A. 刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变 B. 可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形在自身平面内的运动代替刚体的整体运动 C. 刚体的平面运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动 D. 基点可以是平面图形内任一点，通常其运动状态未知正确答案：D 16. 关于刚体的平面运动，下列说法正确的是（） A. 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点的选择无关 B. 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择无关，而绕基点转动的规律与基点的选择有关

刚体的平面运动作业习题参考答案1

8-1 图示四杆机构1OABO 中，AB B O OA 2 1 1= =；曲柄OA 的角速度s rad /3=ω。求当090=?而曲柄B O 1重合于1OO 的延长线上时，杆AB 和曲柄B O 1的角速度。参考答案：因OA 杆作定轴转动，故OA v A ?=ω。AB 杆做平面运动其速度瞬心为O 点， s rad OA v A AB /3=== ωω，而OA OB v AB B ?=?=ωω3，所以s rad s rad B O OA B O v B B O /2.5/3333111≈==?== ωωω（逆时针） 8-2 四连杆机构中，连杆AB 上固联一块三角板 ABD 。机构由曲柄A O 1带动。已知：曲柄的角速度s rad A O /21=ω；曲柄cm A O 101=，水平距离cm O O 521=；AD=5cm ,当A O 1铅垂时， AB 平行于21O O ，且AD 与1AO 在同一直线上；角030=?。求三角板ABD 的角速度和D 点的速度。参考答案：三角板 ABD C ，由此可得： s rad ctg O O AO AO AC v A O A /07.121111=?+?==?ωω s cm CD v D /35.25=?=ω 8-7 如图所示，在振动机构中，筛子的摆动由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄OA 的转速cm OA r n 30min,/40==。当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，090=∠BAO ，求此瞬时筛子BC 的速度。解：由图示机构知BC 作平行移动，图示位置时，B v 与CBO 夹角为30°，与AB 夹角为60°。 A v B v A v B v

第八章刚体的平面运动

第八章刚体的平面运动教学目的及要求 1．明确刚体平面运动的特征，掌握研究平面运动的方法（运动的合成与分解），能够正确地判断机构中作平面运动的刚体。 2．能熟练地应用各种方法——基点法、瞬心法和速度投影定理求平面图形上任一点的速度。 3．能熟练地用基点法分析平面图形内一点的加速度。 4．会求解运动学综合问题中的速度，了解求加速度。 §8-1平面运动的基本概念教学重点：1．平面运动及平面图形的概念 2．平面运动的分解教学难点：对平面运动分解为平动和转动的理解教学内容： 1．平面运动：在运动中，刚体上的任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。2．平面图形：刚体平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动来研究。证明平面图形的运动代表刚体的运动。 3．平面运动分解为平动和转动平面图形S的运动可以分解为随着基点的平动和绕着基点的转动。平面运动分解为平动和转动时，其中平动部分的速度和加速度与基点选择有关。在同一瞬时，平面图形绕任何点的转动角速度（或角加速度），都相同，或者说，平面图形的角速度（或角加速度）与基点的选择无关，把它称为平面图形的角速度（或角加速度），而不必指出其基点何在。 §8-2平面图形内各点速度的基点法和投影法教学重点：1．速度的基点法 2．速度的投影法教学难点：速度基点法和投影法的应用教学内容： 1．基点法（速度合成法）平面图形内任一点的速度，等于基点速度（牵连速度）与该点绕基点转动速度（相对速度）的矢量和。即：注意：符号的下标表示它是B点绕A点转动的速度，而的下标则表示它是A点绕B点转动的速度。≠应注意两者的区分。 2．速度投影定理平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影彼此相等。

刚体的平面运动作业参考答案

刚体的平面运动作业参考答案 1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角?0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。答案： 2A 2 2 )(21 , 2 sin )( , 2 cos )(t r R r t r R y t r R x A A α?αα+= +=+= 2．图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。齿条AB 与半径为 2 R r =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角θ =60o时，齿轮的角速度。答案：顺时针 31ωω= 提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。

《理论力学》第八章刚体的平面运动习题解

理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析

第6章刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0 ω=0 ?= 0 2 2 1t α?= （3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ?=CP CP 0 ，即 θ?r R = ?θr R =， ??r r R A +=（4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ? ? ??? +=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωA v C A B C v o h θ 习题6－2解图

习题6-6图习题6-6解图 l ? υ l 2B O 1ωA B A υB υO 1 O AB ωω 解：图（a ）中平面运动的瞬心在点O ，杆BC 的瞬心在点C 。图（b ）中平面运动的杆BC 的瞬心在点P ，杆 AD 做瞬时平移。 6－6 图示的四连杆机械OABO 1中，OA = O 1B = 2 1 AB ，曲柄OA 的角速度ω= 3rad/s 。试求当示。?= 90°而曲柄O 1B 重合于OO 1的延长线上时，杆AB 和曲柄O 1B 的角速度。解：杆AB 的瞬心在O 3===ωωOA v A AB rad/s ωl v B 3= 2.531===ωωl v B B O rad/s 6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A 有向右的速度v A = 0.8m/s ，试求卷轴中心O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？解：如图 333.16 .08 .03.09.0==-=A O v ωrad/s 2.16 89.09.0=?==O O v ωm/s 卷轴向右滚动。 ω ω 习题6-5解图 O O 1 A B C O O 1 A B D v B v v v v B v v P (a (b 习题6-7图

第八章刚体的平面运动习题解答资料

理论力学课后习题答案 第6章 刚体的平面运动分析

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平面机构的运动分析答案

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第3章 平面机构的运动分析答案

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