层次分析法概述

层次分析法

一、层次分析法概述

层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是美国运筹学家T ．L ．Saaty 教授于20世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多方案或多目标的决策方法，它是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法，是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。其基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次结构。在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。

层次分析法特别适用于无结构问题的建模。自1982年被介绍到我国以来，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境保护、冲突求解及决策预报等领域得到了广泛的重视和应用。

二、层次分析法的基本思想

基本思想 层次分析法的采用先分解后综合的系统思想，整理、综合人们的主观判断，将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）、中间层（准则层）、最高层（总目标）。把实际问题转化为分析同层因素间相对重要程度的权重值或相对优劣次序的问题，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。

三、确定权重值的基本原理

人们在进行社会、经济以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。我们先看一个例子：

假设有n 个物体12,,,n A A A ,那么怎样才能知道每个物体i A 占这n 个物体总重量的比重（权重）呢？设n 个物体12,,,n A A A 重量分别为12,,,n w w w 。现将这些物体的重量两两进行比较如下：

若以矩阵A 来表示各物体的这种相互重量关系，即

1112121

2221

2

/////////n n n n n n w w w w w w w w w w w w A w w w w w w ??

? ?

= ?

???

则A 称为判断矩阵。若取重量向量12(,,,)T n W w w w =，则有

AW n W =?

于是W 是判断矩阵A 的特征向量，n 是A 的一个特征值。

基本原理 如果有一组物体，需要知道它们的重量，而又没有衡器，那么就可以通过两两比较它们的相互重量，得出每对物体重量比的判断，从而构成判断矩阵；然后通过求解判断矩阵的最大特征值λmax 和它所对应的特征向量，就可以得出这一组物体的相对重量。

在复杂的决策问题研究中，对于一些无法度量的因素，只要引入合理的度量标度，通过构造判断矩阵，就可以用这种方法来度量各因素之间的相对重要性，从而为有关决策提供依据。

四、层次分析法的基本步骤

层次分析法为相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统的决策和排序提供了一种新的简洁而实用的建模方法。运用层次分析法，大体上可按下面五个步骤进行：

1．递阶层次结构的建立与特点

应用层次分析法分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型，在这个模型下，复杂问题被分解为多元素的组成部分，这些元素又按其属性及关系形成若干层次，上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类：

（1）最高层：只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果； （2）中间层：包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则、子准则；

（3）最底层：包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。

上述层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素：它并不支配下一层次的所有元素，而仅支配其中部分元素，这种自上而下的支配关系所形成的层次结构我们称为递阶层次结构。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度以及需要分析的详尽程度有关。一般地，层次数不受限制，每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个，这是因为支配的元素过多会给两两比较带来困难。一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的，因而层次结构必须建立在决策者对所面临的问题有全面深入认识基础上，如果在层次划分和确定层次元素间的支配关系上举棋不定，那么最好重新分析问题，弄清元素间相互关系，以确保建立一个合理的层次结构。

递阶层次结构是层次分析法中最简单也是最实用的层次结构形式。当一个复杂问题仅仅用递阶层次结构难以表示，这时就要用更复杂的形式，如内部依存的递阶层结构、反馈层次结构等，它们都是递阶层次结构的扩展形式。

2．构造两两比较的判断矩阵

在建立递阶层次结构以后，上下层元素间的隶属关系就被确定了。假定以上层次的元素C 为准则，所支配的下一层次的元素为12,,,n u u u ，目的是要按它们对于准则C 的相对重要性赋于12,,,n u u u 相应的权重，当12,,,n u u u 对于C 的重要性可以直接定量表示时（如利润多少、消耗材料量等），它们相应的权重量可以直接确定，但对于大多数社会经济问题，特别是比较复杂的问题，元素的权重不容易直接获得，这时就需要通过适当的方法导出它们的权重，层次分析法所用的导出权重的方法就是两两比较的方法。

在这一步骤中，决策者要反复地回答问题，针对准则C ，两个元素i u 和j u 那 一个更重要，重要程度如何？并按1-9的比例标度对重要性程度赋值，下表列出了1-9标度的含义，这样对于准则C ，n 个被比较元素通过两两比较构成一个判断矩阵

1111

n n nn a a A a a ?? ?=

? ???

其中ij a 就是元素i u 与j u 相对于准则C 的重要性比例标度。1—9比例标度的含义：

1 表示两个元素相比，具有相同的重要性

3 表示两个元素相比，前者比后者稍重要 5 表示两个元素相比，前者比后者明显重要

7 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要

9 表示两个元素相比，前者比后者极端重要 2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值

若元素i u 与元素j u 的重要性之比为ij a ，那么元素j u 与元素i u 重要性之比为 ij a 的倒数。显然，判断矩阵具有如下性质：

（1）0ij a >；

（2）1

ji ij a a -=； （3）1ii a =。

这样的判断矩阵A 称为正互反矩阵。由于判断矩阵A 所具有的性质，我们对于一 个n 个元素构成的判断矩阵只需给出其上（或下）三角的(1)/2n n -个判断即可。

若判断矩阵A 的元素具有传递性，即满足等式：ij jk ik a a a =时，则A 称为一 致性矩阵。

关于判断矩阵，有些问题需要进一步说明：为什么要用两两比较？为什么要 用1—9比例标度？为什么要限制被比较个数不超过9个以及(1)/2n n -个比较是否必要？

分析社会经济系统不难看出，许多被测对象只具有相对性质，因而难以用一个绝对标度进行衡量，诸如安全、幸福等概念很难有一个绝对标准，只能在比较中进行估计。这提示我们，在社会、经济以及一些类似问题的某些属性的测度中可以考虑采用一种相对标度。层次分析法所提出的两两比较判断矩阵正是一种既能适应各种属性测度又能充分利用专家经验和判断矩阵的一种相对标度，它的应用可以使系统从无结构向结构化和有序状态转化，因而不能不认为是系统分析中的一大突破。

在判断矩阵建立上，层次分析采用了1—9比例标度，这是由于这种比例标度，适合人们进行判断时的心理习惯。首先我们认为参与比较的对象对于它们所从属的性质或准则有较为接近的强度，否则比较判断的定量化就没有意义了，因而比例标度范围不必过大。如果出现强度在数量级上相差过于悬殊的情形，可以将数量级小的那些对象合并，或将数量级大的对象分解，使强度保持在接近的数量级上，再实施两两比较。其次根据心理学的研究成果，人们在进行比较判断时，通常用相等、较强（弱）、明显强（弱）、很强（弱）、绝对强（弱）这类语言来表达两个因素的某种属性的比较。如果再分仔细些，可以在相邻两级中再插入一级，这样正好是9级，因而用9个数字表达是合适的，而且，这种判断具有互反性。那么能否取1—9之间的非整数作为比例标度呢？一般说来没有必要，这是因为对于一个难以定量的对象提供一个过于精确的标度显然是事倍功半的；另外，有关研究结果表明，使用更细的标度所得的结果与1—9标度的结果一样。当然，如果事物的属性强度十分接近时，也可采用其它标度。

最后，应该指出，一般地作(1)/2n n -次两两比较是必要的。有人认为把所有元素和某个元素比较，即只做1n -个比较就可以了，但这种作法存在着明显的弊病：任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以

定量的系统往往是难以避免的，进行多次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导致一个合理的排序。

3．权向量和一致性指标

通过两两成对比较得到的判断矩阵A 不一定满足矩阵的一致性条件，于是找到一个数量标准来衡量矩阵A 的不一致程度显得很必要。

设12(,,,)T n W w w w =是n 阶判断矩阵A 的排序权重向量，当A 为一致性矩阵时，显然有：

1112121

2221

2

/////////n n n n n n w w w w w w w w w w w w A w w w w w w ??

? ?= ?

???12121

11n

n w w w w w w ??

??? ?=

? ???

???

这表明12(,,,)T n W w w w =为A 的特征向量，且特征根为n ，也就是说，对于一致的判断矩阵来说排序向量W 就是A 的特征向量。反过来，如果A 是一致的正

互反阵，则有以下性质：1

1, , ii ij ji ij jk ik a a a a a a -==?=,

()

()1

111121112

111ij n n x

n a a

A a a a a a --?-?? ? ?== ? ? ???

因此

()1111111111111111111112121212121112

11111111111n n n n n n a a a a a a a

a a a A a a a n n a a a a a ---------------?????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????

??????

所以这表明11

111

121(,,,)T n W a a a ---=为A 的特征向量，并且由于A 是相对向量W 关于目标Z 的判断矩阵，则W 为诸对象的一个排序。

另外，一致的正互反矩阵A 还具有下述性质： （1）A 的转置T A 也是一致的；

（2）A 的每一行均为任意指定的一行的正数倍数，从而()1R A = （3）A 的最大特征根max n λ=，其余特征根全为0；

（4） 若A 的max λ对应的特征向量()12, , , T

n W w w w =，则/ij i j a w w =

由上述性质可知，当W 是一致阵时，max n λ=，将max λ对应的特征向量归一 化后记为()12, , , T

n W w w w =，其中1

1n

i i w ==∑，W 称为权向量，它表示了在目

标Z 中的权重。

关于正互反阵A ，根据矩阵论的Perron-Frobenius 定理，有如下结论： 定理 设A 是n 阶正互反方阵，max λ是A 的模最大的特征根，则 （1）max λ必为正的特征根，且其对应的特征向量是正向量；

（2）A 的任何其它特征根λ恒有：λ

λ；

（3）max n λ=为A 的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。

据此，如果判断矩阵不具有一致性，则max n λ>，并且这时的特征向量W 就不能真实地反映12{,,,}n y y y 在目标Z 中所占比重。衡量不一致程度的数量指标叫做一致性指标，定义为

max 1

n

CI n λ-=

-

由于 ，实际上CI 相当于1n -个特征根（最大的除外）的平均值。显然，对于一致性正互反矩阵来说，0CI =。

但是，仅依CI 值作为判断矩阵A 是否具有满意一致性的标准是不够的，因为人们对客观事物的复杂性和认识的多样性，以及可能产生的片面性跟问题的因素多少、规模大小有关，即随着n 值（1—9）的增大，误差增大，为此，引进了平均随机一致性指标RI ：

对于1n =—11，平均随机一致性指标RI 为：

定义CR 为一致性比率，则CR RI

=

，当0.10CR <时，则称判断矩阵具有满 意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，使之具有满意的一致性。

4．层次分析法的计算

层次分析法计算的根本问题是如何判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量，下面给出最大特征根与特征向量精确计算和近似计算的方法。

（ⅰ）将判断矩阵的每一列归一化：1

(,1,2,,)ij

ij n kj

k a a i j n a ===∑。

（ⅱ）归一化后的矩阵按行相加：1

(1,2,,)n

i ij j w a i n ===∑。

（ⅲ）对向量归一化，即1

i

i n

j

j w w w

==

∑则为所求特征向量。

（ⅳ）计算判断矩阵的最大特征根：

max 1

()n

i

i i

Aw nw λ==∑

上式中()i Aw 表示向量的第i 个元素。

5．层次分析法的总排序

计算同一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的排序权值，称为层次总排序，这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的，若上一层次A 包含k 个因素12,,,k A A A ，其层次总排序的权值分别为12,,,k a a a ，下一层次B 包含m 个因素12,,,m B B B ，对于因素j A 的层次单排序的权值分别为12,,,j j mj b b b （当k B 与j A 无关时，取kj b 为0），此时B 层次的总排序的权值由下表给出：

这一过程是从高层到低层进行的，如果B 层次某些因素对于j A 单排序的一 致性指标为j CI ，相应地平均随机一致性指标为j RI ，则B 层次总排序一致性比 率为

11

k

j

j

j k

j j

j a CI

CR a RI

===

∑∑

类似地，当0.10CR <时，认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵的元素取值，使之具有满意的一致性。

五、应用实例

某工厂有一笔企业留成利润，要由厂领导和职代会决定如何利用，可供选择的方案有：发奖金、扩建福利设施、引用新设备，为进一步促进企业发展，如何合理利用这笔利润？

第一步 对于这个问题采用层次分析法进行分析，所有措施的目的都是为了更好地调动职工生产积极性，提高企业技术水平和改善职工生活，当然最终目的是为了促进企业的发展，因此，建立的递阶层次结构如图所示。

第二步 构造判断矩阵，并求最大特征根、特征向量、一致性指标和随机一致性比率。结果如下：

判断矩阵Z —C ：

max 3.308,0.019,0.033CI CR λ===

判断矩阵1C -P ：

max 2,0CI λ==

判断矩阵2C -P ：

max 2,0CI λ== 判断矩阵3C -P ：

max 2,0CI λ==

第三步 各方案对总目标Z 的层次总排序见下表：

第四步 总排序一致性检验

0.10500.63700.25800,0CI CR =?+?+?==

因此，三种方案的相对优先排序为：312P P P >>，利润分配比例为：引进新设备

点53.1%，发奖金点25.1%，用于改善福利事业点21.8%。

六、层次分析法应用的程序

运用AHP

法进行决策时，需要经历以下4个步骤：

1.建立系统的递阶层次结构；

2.构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）

3.针对某一个标准，计算各备选元素的权重；

4.计算当前一层元素关于总目标的排序权重。

5.进行一致性检验。

七、应用层次分析法的注意事项

如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。

为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：

1.分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；

2.注意相比较元素之间强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。