第一章函数部分考研真题及答案
第一章 函数、极限与连续 1.1函数 01.2)设1,||1
(),0,||1
x f x x ≤?=?
>?则(){}
f f f x ????
等于 （ B ） （A ）0 （B ）1 （C ）1,||10,||1x x ≤??>? （D ）0,||1
1,||1x x ≤??>?
1.2极限
01.2)1
x →=
06.3)()11lim n
n n n -→∞
+??=
???
1 （奇偶项考虑）
1.3极限的四则运算与两个重要极限
03.12) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞
→n n a ,1lim =∞
→n n b ,∞=∞
→n n c lim ,则必有
(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.
(C) 极限n n n c a ∞
→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞
→lim 不存在. [ D ]
08.1)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是 （ B ） （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 05.34) 极限1
2sin
lim 2
+∞
→x x
x x = 2 . 09农）2
0lim(1sin )3
x x x →+=2
3e
02.34)设常数1,2a ≠则21lim ln (12)n
x n na n a →∞??-+=??-??
1
12a - 02.2)设103x <<
，1n x +=
(1,2,)n =，证明数列{}n x 的极限存在，请求此极
限.（均值不等式+归纳法证明有界；差比+有理化证明单调） 06.12)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==。
求: (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在,并求之。(Ⅱ)计算2
1
1lim n x n x n x x +→∞?? ???
。 {}{}2121:(1)
sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n n n x x x n x x x x x x x A +→∞
=∴<≤≥=≤≥∴=解因此当时单调减少
又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得
sin ,0A A A =∴=
21
sin (2)lim(),n x n n n
x x ∞→∞原式=为"1"型 因为离散型不能直接用洛必达法则，
所以先考虑2
201
1
sin lim ln()0sin lim()t t
t
t t
t t e t
→→=
23232
00
11(cos sin )
1110()0()lim
26cos sin sin 1262lim
lim
226
2
t t t t t t t t t t t t t t t
t t t t
t
t
e
e e e
e →→→????--+--+????-????-????
-
=====
1.4无穷小与无穷大1.5无穷小的比较
01.2)设当0x →时，2(1cos )ln(1)
x x
-+是比sin n x x 高阶的无穷小量，sin n x x 是比
(
)
2
1x e -高阶的无穷小量，则正整数n 等于 （ B ）
（
A ）1 （
B ）2
（C ）3 （D ）4
07.1234) 当0x +
→ （ B ） (A ) 1- (B) ln
(C) 1. (D) 1-.
03.2) 若0→x 时，1)1(4
12--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a = -4 04.34)若5)(cos sin lim 0
=--→b x a
e x
x
x ，则a =1
，b =
4
-.
05.2) 当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k=
4
3 . 06.1)0
ln(1)
lim
1cos x x x x
→+-= 2
1.6函数连续性
05.2) 设函数,1
)(1
-=
-x x e
x f 则 (A ) x =0,x =1都是f (x )的第一类间断点. (B) x =0,x =1都是f (x )的第二类间断点.
(C) x =0是f (x )的第一类间断点，x =1是f (x )的第二类间断点.
(D) x =0是f (x )的第二类间断点，x =1是f (x )的第一类间断点. [ D ] 04.34) 函数2
)
2)(1()
2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).
(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3). [ A ]
（如f (x )在(a ,b )内连续，且极限)(lim x f a x +
→与)(lim x f b x -
→存在，则函数f (x )在(a ,b )内有界.）
04.34) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞
→)(lim ，?????=≠=0
,00,)1()(x x x f x g ，则
(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.
(C) x = 0必是g (x )的连续点.
(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 07.2) 函数11
()tan ()()
x
x
e e x
f x x e e +=
-在[,]ππ-上的第一类间断点是x = （ A ）
(A ) 0. (B) 1. (C) 2
π
-
. (D)
2
π. 09.23) 函数3
()sin x x f x x
π-=的可去间断点的个数为 （ C ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）无穷多个 09.农) 在(,)ππ-内函数tan x
y x
=的可去间断点的个数为 （ D ） （A ）0
（B ）1
（C ）2
（D ）3
10.2)
函数()f x = （ B ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 04.2)设2(1)()lim
1
n n x
f x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .
08.3) 设函数21,()2,
x x c f x x c x ?+≤?
=?>??
在(,)-∞+∞内连续，则c = 1
03.2) 设函数 ,
0,0,0,4sin
1,6,arcsin )
1ln()(23>=
??
??
--+-+=x x x x
x ax x e x
x ax x f ax 问a 为何值时，f (x )在x =0处连续；a 为何值时，x =0是f (x )的可去间断点？
解：x x ax x x ax x f f x x x arcsin lim arcsin )1ln(lim )(lim )00(30300-=-+==----→→→
=2
03lim 1x ax -→
2
0lim
x -
→==.62
13lim 2
2
0a x ax x -=--→ 4
sin
1lim )(lim )00(200x x ax x e x f f ax x x --+==+++→→=22
01
4lim ax x e x ax x +→+--
2
024lim 2 4.2ax x ae x a a x
+→+-==+
令)00()00(+=-f f ，有 4262
+=-a a ，得1-=a 或2-=a .
当a =-1时，)0(6)(lim 0
f x f x ==→，即f (x )在x =0处连续.
当a =-2时，)0(12)(lim 0
f x f x ≠=→，因而x =0是f (x )的可去间断点.
03.34) 设).1,2
1
[,)1(1sin 11)(∈--+=
x x x x x f πππ试补充定义f (1)使得f (x )在]1,21[上连续.
【详解】因为)(lim 1
x f x -→=])1(1sin 11[lim 1
x x x x --+-
→πππ=x
x x
x x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-
→ =
x
x x x
x ππππππππcos )1(sin cos lim 1
1
1
-+---+
-
→
=x x x x x
x ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 1
1
221----+-
→=
.1π
由于f (x )在)1,2
1[上连续，因此定义π
1
)1(=f ，使f (x )在]1,2
1[上连续.