人教版中考数学压轴题 易错题测试综合卷学能测试

一、中考数学压轴题

1．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转

()0180a a ?<

180a β+=?时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是

他的研究过程：

特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为

AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=?，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并

给予证明．

拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=?，120A B ∠+∠=?，

123BC =，6CD =，63DA =，在四边形内部是否存在点P ，使PDC △与PAB △之

间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由． 2．如图1，在

O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ，

AD AB =．

（1）求证：2CAO CDB ∠=∠

（2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE +=

（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长．

3．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）．

（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点

D 作D

E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，

PDE

ABMC 1

S

S 9

=四边形． 4．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点． （1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ； （2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ；

（3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由．

5．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=?，45C ∠=?，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=?，

PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．

（1）求边AD 的长；

（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域；

（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．

6．综合与实践

A纸是我们学习工作最常用的纸张之一，其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是4

2:1的矩形纸片称为“标准纸”．

操作判断：

()1如图1所示，矩形纸片2

=是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点

()

ABCD AD AB

AB=求CF的

B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F，若1,

长，

()2如图2，在()1的基础上，连接,

BE判断四边形

BD折痕EF交BD于点O，连接,

BFDE的形状，并说明理由．

探究发现：

()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，痕MN交AD边于点M，BC交边于点,N交BD也是点O.然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM是否为“标准纸”，说明理由．

7．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，ABC ?的三个顶点坐标分别为

()A O m ,，(),B m O -，(),C n O ，5AC =且OBA OAB ∠=∠，其中m ，n 满足7

25m n m n +=??

-=?

．

（1）求点A ，C 的坐标；

（2）点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ，用含有t 的式子表示BPC ?的面积为S （直接写出t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使得ΔΔ3

2

PAB POC S S =

，若存在，请求出t 的值，并直接写出BP 中点Q 的坐标；若不存，请说明理由．

8．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=?，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，

AF CD ⊥，垂足为F ．

（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；

（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若1

2,(33)2

ADH

a S

==

+，求sin GAB ∠的值．

9．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系

(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．

①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；

(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段

FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；

(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．

10．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．

（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；

（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；

（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝

1

2

x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接

写出m 的取值范围．

11．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝1

3

，BC ＝8．

（1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径OC ；

（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．

12．如图1，已知抛物线218

33

y x x c =-

-+与x 轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的左侧），与y 轴相交于C 点，且10AB =．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图2，D 点在x 轴上，且在A 点的右侧，E 点为抛物线上第二象限内的点，连接

ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ，点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为

3:1，已知4

tan 3

BDE ∠=，求点E 的坐标；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G 由B 出发，沿x 轴负方向运动，连接EG ，点H 在

线段EG 上，连接DH ，EDH

EGB ∠=∠，过点E 作EK DH ⊥，与抛物线相交于点

K ，若EK EG =，求点K 的坐标．

13．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线

l 交O 于A

B 、两点．

（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度． （2）已知M 是

O 一点，1cm OM =．

①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________． ②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ． 14．在菱形ABCD 中，点P 是对角线BD 上一点，点M 在CB 的延长线上，且

PC PM =， 连接PA ．

()1如图①，求证：PA PM =；

()2如图②，连接,AM PM 与AB 交于点,120O ADC ?∠=求证 =PC AM ；

()3连接AM ，当 90ADC ?∠=时，PC 与AM 的数量关系是

15．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点

A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点

B ，24O

C OB ==． （1）如图1，求a m 、的值；

（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系

式；

（3）如图3，在（2）的条件下，当15

4

d =

时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线2

11

y x b =

+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH

CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点

P 的坐标．

16．如图，抛物线2

14

y x bx c =

++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，5

2

-

）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．

(1) 求抛物线2

14

y x bx c =

++与直线32y kx =+的解析式；

(2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;

②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．

17．在菱形ABCD 中，P 为直线DA 上的点，Q 为直线CD 上的点，分别连接PC ，

PQ ，且PC PQ =．

（1）若60B ∠=?，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图①，易证：

DQ PD AB +=（不需证明）；

（2）如图②，若∠B ＝120°，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图③，猜想线段DQ ，PD 和AB 之间有怎样的数量关系？请直接写出对图②，图③的猜想，并选择其中一种情况给予证明．

18．已知：AB 为⊙O 的直径，点C 为弧AB 的中点，点D 为⊙O 上一点，连接CD ，交AB 于点M ，AE 为∠DAM 的平分线，交CD 于点E ．

（1）如图1，连接BE ，若∠ACD=22°，求∠MBE 的度数；

（2） 如图2，连接DO 并延长，交⊙O 于点F ，连接AF ，交CD 于点N ． ①求证：DM 2+CN 2=CM 2；

②如图3，当AD=1，AB=10时，请直接写出．．．．

线段ME 的长． 19．如图，已知ABF 为等腰直角三角形，90BAF ∠=?，D 、C 为直线AF 上两点，且满足DF AC =，连接BD 、BC ，过点A 作AE BD ⊥于点E ，交BF 于点H ，连接

CH ．

（1）若30BAE ∠=?，1BE =，求DE 的长；

（2）若点M 是线段BF 上的动点，连AM 并延长交BD 于N ，当M 在线段BF 的什么位置上时，AH BN =？请说明理由；

（3）在（2）的结论下，判断线段CH 、AH 、BD 的数量关系．请说明理由． 20．如图①，△ABC 是等腰直角三角形，在两腰AB 、AC 外侧作两个等边三角形ABD 和ACE ，AM 和AN 分别是等边三角形ABD 和ACE 的角平分线，连接CM 、BN ，CM 与AB 交于点P ．

（1）求证：CM ＝BN ；

（2）如图②，点F 为角平分线AN 上一点，且∠CPF ＝30°，求证：△APF ∽△AMC ； （3）在（2）的条件下，求

PF

BN

的值． 21．已知抛物线2

y ax bx c =++过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,3)C -． （1）求此抛物线的解析式；

（2）若点H 是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积； （3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且45GQA ∠=?，求点Q 的坐标． 22．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．540° （1）请写出这道题的正确选项；

（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB ∥EF ，请直接写出∠BAD ，∠ADE ，∠DEF 之间的数量关系．

（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD ，ED 分别平分∠BAC ，∠CEF 时，∠ACE 与∠ADE 之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．

（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB ∥EF ，当∠ACD=90°时，∠BAC 、∠CDE 和∠DEF 之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．

23．如图1，以AB 为直径作⊙O ，点C 是直径AB 上方半圆上的一点，连结AC ，BC ，过点C 作∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E ．

（1）如图1，连结AD ，求证：∠ADC ＝∠DEC ． （2）若⊙O 的半径为5，求CA ?CE 的最大值． （3）如图2，连结AE ，设tan ∠ABC ＝x ，tan ∠AEC ＝y ， ①求y 关于x 的函数解析式； ②若

CB BE ＝4

5

，求y 的值． 24．如图，二次函数2

3y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ，另一个交点为

A ，且与y 轴相交于C 点

（1）则m =_________；C 点坐标为___________；

（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由． （3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q ①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；

②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t =________时，四边形PBQC 的面积最大． 25．如图1，抛物线2

3y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ，与y 轴交于点C ，顶

点D 的横坐标为1，对称轴交x 轴交于点E ，交BC 与点F .

（1）求顶点D 的坐标；

（2）如图2所示，过点C 的直线交直线BD 于点M ，交抛物线于点N . ①若直线CM 将BCD ?分成的两部分面积之比为2:1，求点M 的坐标； ②若NCB DBC ∠=∠，求点N 的坐标．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题

1．（1）①12

；②4，（2）1

2AD BC =；理由见解析，（3）存在；313

【解析】 【分析】

（1）①首先证明ADB '?是含有30的直角三角形，可得11

22

AD AB BC '==，即可解决问题；②首先证明BAC B AC ''??≌，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题．

（2）AD 与BC 的数量关系为1

2

AD BC =

，如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，先证四边形AC MB ''是平行四边形，再证明BAC AB M '??≌，即可解决问题．

（3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，做直线BC 的

垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ?的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，先证明PA PD =，PB PC =，再证明+180APD BPC ∠∠=?，即可得出结论，再在Rt PDQ ?中，根据勾股定理，即可求出PQ 的长． 【详解】

（1）①如图2，∵ABC ?是等边三角形，把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '， ∴===AB AC BC AB AC ''=，

又∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，∴=DB DC ''， ∴AD B C ''⊥，即90ADB '∠=?， ∵60BAC ∠=?，180BAC B AC ''∠+∠=?， ∴120B AC ''∠=?， ∴=30B C ''∠∠=?，

∴在ADB '?中，90ADB '∠=?，30B '∠=?，

∴11

22AD AB BC '=

=． 故答案为：1

2

．

②如图3，∵90BAC ∠=?，+=180BAC B AC ''∠∠?，

∴==90BAC B AC ''∠∠?，即ABC ?和AB C ''?为直角三角形，

∵把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，

∴=AB AB '，=AC AC '， ∴在ABC ?和AB C ''?中，

===AB AB BAC B AC AC AC '''∠'??

∠???

∴BAC B AC ''??≌， ∴=BC B C ''，

∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，AB C ''?为直角三角形， ∴11

22AD B B C C ''=

=， 又∵8BC =， ∴11

=8=422

AD BC =

?． 故答案为：4． （2）1

2

AD BC =

， 如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，

图5

∵=B D DC ''，AD DM =， ∴四边形AC MB ''是平行四边形， ∴AC B M AC ''==，

∵+=180BAC B AC ''∠∠?，+=180B AC AB M '''∠∠?， ∴=BAC AB M '∠∠， ∵=AB AB '，

∴在BAC ?和AB M '?中，

==AC B M BAC AB M AB AB ''=?'?

∠∠???

∴BAC AB M '??≌， ∴BC AM =， ∴

1

2

AD BC =

． （3）存在，

如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作直线BC 的垂直平分线交

BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ?的中线PQ ，连接DF 交PC

于O ，

图6

∵+=120A B ∠∠?，

∴=180=60M A B ∠?-∠-∠?， ∵=90C ∠?，

∴=180=30MDC M MCD ∠?-∠-∠?， 在Rt DCM ?中，

∵=6CD ，=90DCM ∠?，=30MDC ∠?，

∴CM DM =60M ∠?， 在Rt BEM ?中，

∵=90BEM ∠?，BM BC CM =+==30MDC ∠?，

∴1

2

EM BM =

=，

∴DE EM DM =-=，

∵AD =AE DE ，

∵BE AD ⊥，∴PA PD =，PB PC =， 在Rt CDF ?中，

∵=6CD ，CF

∴tan CDF ∠= ∴60CDF CPF =?=∠∠， ∴FCP CFD ??≌， ∴CD PF =， ∵//CD PF ，

∴四边形CDPF 是矩形， ∴=90CDP ∠?，

∴=60ADP ADC CDP ∠∠-∠=?， ∴ADP ?是等边三角形，

∴=PA PD AD = ∵=60BPF CPF ∠∠=?， ∴120BPC ∠=?， ∴+180APD BPC ∠∠=?，

∴PDC ?与PAB ?之间满足小明探究的问题中的边角关系，

在Rt PDQ ?中，∵=90PDQ ∠?，PD PA AD ===1

32

DQ CD ==，

∴PQ ==

【点睛】

本题考查了三角形的综合问题．掌握全等三角形的性质以及判定定理、直角三角形斜边中线定理、解直角三角形、勾股定理、中线的性质是解题的关键．在处理三角形的边旋转问题时，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系．在证明某点是否存在问题时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性．

2．B

解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）25

MN = 【解析】

【分析】

（1）连接OB ，OD ，利用圆周角定理结合三角形内角和定理可得结果；

（2）过O 作OT ⊥BC 于T ，连接OB ，OC ，在ED 上找点G ，使得CE=EG ，连接BG ，证明

AOH OBT ??≌，得到OH=BT ，设∠BDC=α，利用垂直平分线的性质得到BC=BG ，结合

三角形外角的性质得到BC=BG=GD ，从而可得结果；

（3）在AF 上作点Q ，使得AQ=BQ ，连接BQ ，OQ ，过B 作BW ⊥AF 于点W ，设BF=x ，则AF=3x ，推出△QBF 为直角三角形，利用勾股定理得出AQ 、BQ 、BW 、FW 、AW 的表达式，从而得到4tan 3BW F FW ∠=

=，1

tan 3

BW CAB AW ∠==，设BE=n ，则DE=3n ，EG=3n-12，在△BEG 中，利用勾股定理求出n 的值，得到BE 、DE 、EG 、EC 的值，利用三角函数

算出NE 的长，再证明△CBE ∽△ADE ，得到1

3

CE BC BF AE AD AF ===，算出AE ，从而得到AN ，最后在△AMN 利用勾股定理求出MN 的长. 【详解】

解：（1）连接OB ，OD ， ∵AD=AB ，

∴弧AC=弧AD ， ∴∠AOB=∠AOD ，

∴∠OAB=∠OBA ，∠OAD=∠ODA ， ∴BAO DAO ∠=∠， ∵CAB CDB ∠=∠，

∴2CAO CDB ∠=∠；

（2）过O 作OT ⊥BC 于T ，连接OB ，OC ，在ED 上找点G ，使得CE=EG ，连接BG ， ∵∠COB=2∠CAB ，∠CAB=∠CDB ，∠AOB=∠AOD ，2CAO CDB ∠=∠， ∴2∠OAH=2∠BAO=∠COB ， ∵OC=OB ，OT ⊥BC ， ∴∠OAH=∠BOT ，

又∵∠OTB=∠OHA=90°，OB=OA ， ∴AOH OBT ??≌， ∴OH=BT ， ∵BC=2BT ，

∴2OH=BC，

设∠BDC=α，

∴∠BCD=∠B AD=2α，

∵CE=GE，AB⊥CD，

∴BC=BG，则∠BGC=∠BCG=2α，

∵∠BDC=α，

∴∠GBD=α，

∴BC=BG=GD，

∴DE=EG+GD=CE+BC=CE+2OH，

即2OH CE DE

+=；

（3）在AF上作点Q，使得AQ=BQ，连接BQ，OQ，过B作BW⊥AF于点W，∵AQ=BQ，OA=OB，

∴OQ垂直平分AB，

∴∠QAB=∠QBA，

∵AF=3BF，设BF=x，则AF=3x，

∵AB⊥CD，

∴∠ACD+∠CAB=90°，

∵∠ACD=∠ABD，

∴∠ABD+∠ABQ=90°，

∴△QBF为直角三角形，

设AQ=QB=a，则FQ=3x-a，在△QBF中，

()222

3x a a x

-=+，解得：

4

3

a x =，

即AQ=BQ=4

3

x，QF=

5

3

x，

∴BW=BF×BQ÷QF=4

5 x，

∴223 5

BF BW x

-=，

∴AW=AF-FW=12

5

x，

∴4tan 3BW F FW ∠=

=，1

tan 3

BW CAB AW ∠==， 由（2）知：BC=BG=DG=12，CE=EG ，

∴BE=ED·

tan ∠BDC ， 设BE=n ，则DE=3n ，EG=3n-12，

在△BEG 中，()2

2231212n n +-=， 解得：n=36

5

或0（舍）， ∴BE=

365，DE=1085，EG=EC=485

， 在△DMC 和△BDE 中， ∠MCD=∠EBD ，∠DMC=∠DEB ， ∴∠MDC=∠EDB ，

∴tan ∠MDC=tan ∠EDB=tan ∠CAB=1

3

， ∴NE=DE×

13=365

， ∵∠BCE=∠BAD ，∠CBE=∠ADE ， ∴△CBE ∽△ADE ， ∴

1

3

CE BC BF AE AD AF ===， ∴AE=3CE=

144

5

， ∴AN=AE-NE=

108

5

， ∴设MN=m ，则AM=3m ，在△AMN 中，

()2

2

210835m m ??+= ???

，

解得：或

∴25

MN =

.

【点睛】

本题属于圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，难度较大，要会综合题中的条件作出适当辅助线帮助解决问题.

3．C

解析：（1）2

1

y x 343

=-+（），顶点M 3,4；（2）P 3,2（）；（3）1m ＝2，

2m ＝1

【解析】 【分析】

（1）由点C 的坐标，可求出c 的值，再把()

A 3,0、()

B 33,0代入解析式，即可求出a 、b 的值，即可求出抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可求出顶点M 的坐标；

（2）因为A 、B 关于抛物线的对称轴对称，连接BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ，设对称轴与x 轴交于点H ，证明PHB COB ∽，即可求出PH 的长，从而求出点P 的 坐标；

（3）根据点A 、B 、M 、C 的坐标，可求出ABMC S 四边形，从而求出PDE

S

3=OC ＝

3，OB ＝33OCB ∠＝60，因为DE //PC ，推出 ODE ∠＝60，从而得到OD ＝3m -，)OE 33m =-，根据PDE

DOE PDOE S

S S

=-四边形，列出关于

m 的方程，

解方程即可. 【详解】

（1）∵抛物线y ＝2ax bx c a 0++≠（）过()A 3,0-、()

B 33,0，()

C 0,3三点， ∴c ＝3，

∴3a 3b 3027a 33b 30

?-+=??++=??，

解得

1

a

3

23

b

3

?

=-

??

?

?=

??

．

故抛物线的解析式为()2

2

1231

y x x3x34

333

=-++=--+，

故顶点M为()

3,4．

（2）如图1，

∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，

∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P．

设对称轴与x轴交于点H，

∵PH//y轴，

∴PHB COB

∽．

∴

PH BH

CO BO

=．

由题意得BH＝23，CO＝3，BO＝33，

∴

PH23

333

=，

∴PH＝2．

∴()

P3,2．

（3）如图2，∵()

A3,0

-、()

B33,0，()

C0,3，()

M3,4，

∴ABMC

S

四边形

＝

()

AOC MHB

COHM

111

S S S3334342393

222

++=??++??=梯形

．∵ABMC

S

四边形

＝PDE

9S，