谈谈我对几何变换的认识

谈谈我对几何变换的认识

就解决平面几何问题而言，觉得具体的辅助线，都可以通过传统的局部处理，如延长、作角相等、作平行、作垂直等等而实现。辅助线的添加似乎与几何变换扯不上关系。

但采用几何变换的观点，从整体高度，更加容易看清图形之间的内在联系。

粗糙地说，传统添加辅助线的方法有点“小家子气”，高度不够。在遇到较为困难的几何问题，要发现辅助线的添加，比较困难。而几何变换考虑图形之间的整体联系，更容易发现解决问题的关键所在。

纵观最近几年各地中考试卷，对于一些问题的解决，如果不从变换的观点去分析思考，要发现问题的解决思路，则是相当困难的．

另外，我们对几何变换有一种错觉，认为在“全等变换”中，“几何变换＝平移＋旋转＋翻折”。

其实，这样对“几何变换”的理解是不全面的，其实将一个几何图形任意拨动一下，都可以理解成是一次几何变换。我们这里主要讲全等变换，暂不想扯到相似变换。将所有复杂的变换分解，最后只有三种最基本的变换：平移、旋转、翻折。反之也是，你将平面上的图形任意拨动一下，其过程效果一定可以通过上述三种变换来完成，少一个肯定不行。

下面干脆一些，还是讲题目吧。这样教师们听起来更加感性。

此题网友们研究比较多，各种解法也比较多。

但对于我来说，我的理解是这样的。

就是说

→

那问题就完啦我不在乎将过程理解什么样的几何变换，我只在乎“拼接”的结果，将问题解决就行。

考虑时间时间，详细解答过程，我就不在这里阐述了。

下面看第2题

此题也非常经典。解法众多。其中类似“倍长中线”的手段用得最多。

我已经解释了，何必纠集于过程是什么变换呢？只要达成解决问题的效果就行。在刚刚前面问题的基础上，如何解决下面问题呢？

又如何解决下面问题呢？

就是说，这个经典问题可以出现三个系列甚至更多小题。

我的解法或许与大家的想法不是太相同。我考虑上下两个三角形，有两个角互补，又有边相同，所以我萌生将这两个三角形拼在一起的想法。

事实上，这样一想，前面的问题可以全部解决。很有意思。

请大家体会一下呢

下面讲解第3道题目，这是一道“名题”

印象中，这题目刚刚在网上出现时，许多人不会做，继而是“憎恶”这道题目，看了解答后，感觉这道题目太难了。

其实我的理解与大家不同。我感觉我下面的想法还是比较自然的。

我关注到了下面现象：

即DF＝BE要求AE＋AF的最小值。

我要想方设法“化折为直”显然图中那个状态，这两个线段的和怎么也不可能“拉直”的

因此我打算发挥“腾挪大法”

将△DAF“拿”出来

拼在△EAB的右侧，注意由于DF＝BE，因此这两个三角形刚巧拼在一起

此时线段AE与线段AE处于直线BE异侧，再想拉直就成为可能了。而且这恰恰就是正确的解答方法。于是：

这样问题解决。计算过程略。

这样问题解决。计算过程略。

大家可以想象，这样的题目，用传统辅助线思考，既太“小架子气”，又很难想到那样添辅助线。

但采用几何变换的观点思考，将图形搬移拼接，则显得非常自然。

也很容易发现正确的解题思路。

这就是采用几何变换的观点思考问题、解决问题的威力。

下面讲另一道网上的“名题”：

先给大家看一下。

我知道，这道题目有部分人会做，但各人知道的方法未必全面。

但采用几何变换的观点思考，将图形搬移拼接，则显得非常自然。

也很容易发现正确的解题思路。

这就是采用几何变换的观点思考问题、解决问题的威力。

下面讲另一道网上的“名题”：

试想，假如设出点B的坐标，如何确定点C呢？方法如下：

只要让MC＝根3·MB即可。

由于MC与AB是垂直关系，利用“垂直处理”的技巧，很自然可以表示出点C 的坐标，从而解决问题。

法2：一线三等角

多少天来，我一直苦苦思考为什么“一线三等角”有解决难题的神奇功能

现在我感觉我终于若有所悟。

我简要说两句：平时我们擅长“化斜为直”，借助垂直确定实际上，直接借助于斜三角形的确定性照样可以达到传递几何确定性的效果。

好，这不是我今天要讲的主要方法。

法3：四点共圆

大家借着图形思考一会儿呢。

下面我着重讲解我今天要讲的“法4：变换法”

请大家注意，为了思考问题，暂行撇开双曲线的限制。

将点B视为动点，随着点B的运动，点C伴随运动，点C运动有规律吗？

首先请教师们回答一个问题：假如要求你用几何变换的语言表达，点C是如何由点B得到的？你会回答吗？

我们可以这样说：点C是由点B绕着点A（定点）逆时针旋转60°而得到。但由于点B是x轴上任意一个动点，因此可以换一个说法，假如：假如将x轴上所有

点都作这样的变换（即绕着点A（定点）逆时针旋转60°），那么对应得到的所有点有什么规律吗？至此，你可能恍然大悟：实际上，只要将x轴绕着点A（定点）逆时针旋转60°，这条直线就是动点C的变换规律。用高中语言讲，就是点C的轨迹啦。

第一次这样理解比较困难，但理解顺了，就显得非常自然。

用比较专业的语言提炼这给种思考方法给我们带来的启示，那就是“对象与背景是一个整体，对象如何变换，背景同样变换”！即使你理解了这样的思考方法，但离成功解决本题仍很遥远！为什么？

因为如何给“将一条直线绕着定点逆时针旋转60°后所得到的直线”进行“定位”？

如何定位？如何定位？如何定位？如何定位？……

这是一个非常苦恼的话题。请教师们思考呢

有教师马上想到：两点确定一条直线。所以我只要利用两个特殊点，就可以对旋转后的直线进行“定位”。这样的想法是自然的，但方法却是繁琐的。

不要说学生，即使对于广泛教师们而言，有一个“常识”经常被我们所忽视。这个“常识”是什么呢？那就是旋转后的直线与旋转前的直线所构成的方向角

＝旋转角！注意，我这里用“方向角”，没有简单地用“夹角”一词，这是科学严谨的要求。

就是说，要将一条直线确定，有两种方法：⑴两点法；⑵点角法。

这里如果采用“两点法”，显然弃显然条件而不用，那太可惜了。因此要将旋转后的直线进行定位，只要再找一个特殊点就够了。

那么如何找一个特殊点呢？

因为这想的思考方式对于我们教师来说，是陌生领域，所以我想，我们现在多数人的思绪或许是一片茫然。

如图，由前面分析可知，直线l与x轴所构成的角显然是60°。但如何在这条直线上找一个可求解的特殊点呢？

下面的想法非常绝妙，请教师们耐心体会

请大家注意，点F由点E绕点A逆时针旋转60°而得，即△AEF是等边三角形于是点F（3，0）。哇，直线一下子被定位了。

但有人会不依不饶问，直线l被定位后，如何解决原问题呢？

当然有人会马上说，求出直线l的解析式，代入即可。而简洁的做法并不是这样。我还有“绝招”，凡是听过我的“专场讲座”的人都会知道：增量巧设！求出直角解析式属于多此一举！

当然出于今天讲座时间限制，我这里不详细展开讲。如果愿意学习，建议你参加今天暑期8月5～6日在南京由“数学教学通讯杂志”主办的我的专场讲座。这

样说，权当我在广告吧。

回归前面话题，要确定旋转后的直线，找特殊点还有其他方法吗？

这就要思考前面那种方法，特殊点能够被找出的原因是什么？

请大家注意，等边△AEF中的边EF恰巧在x轴上

那么大家知道，在坐标系中，我们能够直接获取的信息往往只能是“横平竖直”，也正因为这个原因，在坐标系中解题往往有一个大的想法，那就是“化斜为直”或者更诙谐地说成“改邪归正”。

那么有无将等边三角形其他边“摆平”或“摆直”的方法吗？当然有了。这样想，或许你“脑洞大开”

大家注意，图中△AEF是等边三角形，点F是由点E绕着点A逆时针旋转60°而得，因此点F必有旋转后的直线上，而显然此时点F的坐标为（0，－3根3）。在将等边三角形中的边“摆平”或“摆直”的想法下，特殊点的找法还有几种。比如

比如说这一种，BC⊥x轴，此时点C是由x轴上点B绕点A逆时针旋转60°而得到，显然点C（9，6·根3），这也是旋转后直线上的特殊点国。

打住。抓紧时间讲剩下的两道题目。

下面一道题目对于初中来说，也可以说是“另类”！为什么？因为这是一道高考题。

高考题，初中生也能做？当然了。

可以将这道题目理解成一道作图题。就是说在间距分别为1与2的三条平行线中，如何作出一个“内接”等边三角形？

不用说，先取定一个顶点，不妨设点A。

在此基础上，如何作出点B与点C呢？

在这个图形中，可以暂且撇开中间一条直线的限制，得到如下图形：

那么将点C看成动点，则点B也是动点。如果要求你用几何变换的语言表达，点B是如何由点C得到的呢？这一点，你当然会叙述：点B是由点C绕着点A顺时针60°得到。

类似前面讲的一道题目思考，那么当点C在第三条直线上运动时，点B随之运动，点B的运动规律是什么呢？或许你现在会了：只要将直线l3绕着点A顺时针旋转60°所得到的直线，即为点B运动的规律(轨迹)。

如此一想，你或许恍然大悟：至少在理论上，问题已经解决!

因为点A与直线l3是确定的，变换也是确定的，因此旋转所得到的直线也是确定的，其与直线l2的交点即为点B。有了点B，就作图题而言，问题已经彻底解

决！

但头脑保持冷静，回归考题，如何计算呢？要谈如何计算，这就类似前面思考，如何给旋转后的直线进行“定位”。

接受前面教训，不必采取“两点式”，而应当采用“点角式”。因为旋转后的直线与直线l3显然构成60°角。

如何在旋转后的直线上找一个特殊点呢？

下面的方法更加简单：

不多解释至于计算，那是小意思啦。DG＝根3，DF＝2/根3．△ABH中，AH＝1，BH=FG=FD+DG=……

出于时间原因。讲最后一题。也是最难的一题。只能简单讲讲了。

这是哪一位老师的原创题，好象叫“徐心悦”吧。如果我记错了。请谅解。这道

题目与前面题目有区别，区别何在？等边△EFG三个顶点全部为动点，一下子无法用旋转来理解。

但有一个经验，非常重要。这个经验尤其对于我高中数学老师来说，非常强烈!那就是当直线呈“线性变化”时，这条直线必存在不变量。

这个“不变量”或者是方向，或者经过“定点”。这个经验对于我们初中数学老师来说，要求过高了。我能够理解。

当然有人用解析法，那另当别论。平时研究，我们还是要追求几何法，因为“几何法”优雅别致，趣味奇妙，激动人心。那么直线EF为什么会经过定点呢？稍加一想，也不难发现。

大家看，对角线AC是确定的，同时AP：PC=1：2，因此点P是定点，从而EF恒

过定点P。哇，竟有这样的“机关”或者说“穴位”如此一来，对题目的思考就有希望了。

请大家注意，等边△GEF形状是确定的，P是三等分点，因此直觉之下，马上可以断定：∠GPF大小确定，GP：PF比值确定。

这种“不战而屈人之兵”的直觉，对于我们数学教师显得尤为重要。

在平时教学中，我也再三强调，教数学首要要教学生的直觉。

在前面的理解下，马上可以得到：点G可以看成由点F绕点P逆时针旋转一个确定大小的角而得到

由前面所讲可知：点G应当在“将BC绕点B逆时针旋转前面所说的确定大小的

角所得到的直线上”。

下面考虑如何对旋转后的直线进行“定位”。这就首先要计算∠GPF的大小。这是小意思啦。只要学会“成比例巧设”，这个结果可以口算。但考虑多数人不习惯。我还是耐心讲一下吧。

如图（字母被我重新标注了，不必计较）。∠AED的正切值为“3·根3”，至于正弦值、余弦值全部不在话下。

下面考虑如何确定旋转后直线上的特殊点，这稍加思考，也非常容易。大家快速想一下。

根据前面的经验，只要将△GEF中有一条边“摆平”或“摆直”就行。如此一想：

为什么有这样特殊位置情况，缘于题目中的数据特殊：AB＝2根3，BC＝6。因此∠ACD＝60°。

显然上图中的点G就在旋转后的直线上，而且这个点非常特殊。DG＝DC＝2·根3。

至于下面最小值的计算，那太容易了。只要过点D作GQ的垂线段即可。