实数经典例题及习题。dos2.doc

第二章实数综合练习题

、实数的概念及分类

1、实数的分类

「正有理数r

「有理数3 零卜整数、有限小数和无限循环小数实数' L负有理数」

「正无理数r

L无理数Y 卜无限不循环小数

L负无理数」

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类:

（1）开方开不尽的数，如J7,扼等；

（2）有特定意义的数，如圆周率兀，或化简后含有兀的数，如兰+8等；

3

（3）有特定结构的数,如0.1010010001…等；

二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果&与4互为相反数, 则有a+b=0, a=—b,反之亦成立。

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（lalNO）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若lal=a，则Q0；若lal=-a,则龙0。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一?对应的，并能灵活运用。

5、估算

三、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根：一?般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算木平方根。特别地，。的算术平方根是0。

表示方法:记作“西”，读作根号a。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根:一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a的平方根记做“土石”，读作“正、负根号a”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方°

4ab = y[a ?4b {a > 0,b > 0)

-a(a < 0) ( 4 脖辛5>0)

注意石的双重非负性:

3、立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根)。

表示方法：记作插

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：-如，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的儿种常用方法

(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较：设a、b是实数，

a-h>O<^>a>b, a-b = O = ci = b, a-b <0 a

(3)平方法：设a、b是两负实数，则a2 >b2 ^>a

五、算术平方根有关计算(二次根式)

1、含有二次根号“、厂”；被开方数a必须是非负数。

2、性质：

(1 ) (V^)2=a(a>0)( 3 )

(4a ? 4b = 4ah(a > 0,。> 0))

仁a (a > 0)

(2) 4^ = Cl = Y

4b

3、最简二次根式：运算结果若含有形式，必须满足:

乘法交换律

乘法结合律

ab = ba (ab)c =

a(hc)

（1）9的平方根是（

）。

-3 B. 3 C. ±3 D. 81

（2） 16算术平方根是（ )o A. ±4 B. -4 C.4 D. 2

Jx- 3y+ I 3.己知w 1

x 2- 9

x+ 3)2

aV-bVbV-a

-bVaOaVb

aV-bV —aVb

D ?-bVaVbV-a

6.求下列各式中的x 。 （1）（2"沪16=0；

(2)

3疽+

81

125

（1） 被开方数的因数是整数，因式是整式； （2） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 六、实数的运算

（1） 六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方 （2） 实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 （3） 运算律：运算律在无理数范围内仍然适用 力n 法交换律 a + h = h +a

加法结合律 （。+幻+ c =。+ （Z? + c ）

乘法对加法的分配律Q （b + c ） = ab + ac

1.

实数a 、b 、c 在数轴上的对应

点如图，求a+|o+Z?|- ■ \b- c|的值。

x

0,求一的

值。

y

4.

若 a+bVO, a<0, b>0,则 a, -a, b, -b 的大小关系为(

)。

B i

际-i

5.

估计与0.5大小关系是 0.5 （填”

或“＜）°

2

2

7.比较V2 4- V7与?指的大小.

8.某化工厂一种球形储气罐的体积为9850m3,试求该球体的直径.（球的体积公式为

4

V=-p/?2, Q取3. 14,结果保留3个有效数字）

10.若a>0, — <0,则 ~ -/?+1）~ 的结果是（）.

A. -3

B. 3

C. 2a+2b+3 C. -2a+2b-5

11.（大连中考）若\-\[a-4b,y= V^+ Vb ,则xy的值为（）.

L2y/a B.2 而 C. a+b D. a-b

12.（盐城中考）计算|1? 2|-J^+（- 2）'2- （V3- 2）°.

八年级数学实数

?、选择题

1.要使J4o+ ］有意义，a的值为（）.A. 0 B. -2 C.-l D. -4

2.实数a, b在数轴上的位如图2-*3,则有（）.

A. a>b>c

b>a>c

a>c> b

b>c>a

5.若m 是16的平方根,

n=(V4),则 m,

n 的关系是（ A. m=±n B. m=n C. m=-n

D. \m 1 \n

6.已知a, b 互为相反数, c, d 互为倒数，e 是非零数,

则5/3(a+ b)- —cd- 2e°的值

为

A. 0

B.

2 C.-—

5

5 D.-

2

A. o+ b\> |/?|

B. \a > \b\ , 9 彳

C. - a< b - b< a

图2~C-3

3.

下列叙述正确的是（ ）.

A.任何实数都有互为相反数的2个平方根

B.零的立方根为0

C. ?的平方根就是匹C.无理数就是带根号的数

16

V16

4. 已知a=,0=i,S=?，则a, b, c 三个数的大小关系是（ ）

二、填空题

7.在数轴上与原点的距离是2后的点所表示的实数是. 8. - V3的相反数 是，绝对值是，倒数是.

9. 49的平方根是, 64的算术平方根是, -64的立方根是. 10. 已知旷2,贝U 代数式2插-勺*的值等于—.

a- \la

11. -个正数的平方根为x+3与2x-6,则x 二,这个正数是. 三、解答题

12. 求 X 的值（1） ?= 9;

（2）（X+ 1）2= 37;

（3）3（心 1）2=9

(1)-帅+海.§H+亦 2)2+寸(-3尸;

(2) - ^27- (^1)'+ V225- V625;

V125;

(4)

—- 扼 + Vo.r 7- (- 2)' V0064 125

14.化简：(1 )后，

(2) (V7- 2V2)(2V2+ V7):

15. (3)(4- 5右『 (4)

:+ 辰.x/H2-

例1.求使--3 +

二+力^有意义的a 的取值范围。

一3 j4-o

13. 计算:

15.若实数a, b 互为相反数,c, d 互为倒数,m 的绝对值为2,求a 2-b 2+ (cd) - (l-2m+m 2) 的值。

例2.已知正土匕纣=o ，求7 (x + y) 一20的立方根。

例3.已知a, b 均为有理数，且满足等式5-V2^=2b+|V2-。，求a, b 的值

例4.已知：x, y, z 满足关系式」3x + y-i-2+」2x + y-i = Jx+y-2012 +j2012-x-y ,试求x, y, z的值。

例5.比较下列各组数的大小。

(1)与-3? (2)关匝与2

3 2 8

例6.已知5 +防的小数部分是a, 5-/7的小数部分是b,求a+b的值。

例7.已知a 满足|2008-a| + J刀一2009 二a,求a-20082的值。

1 .如图，数轴上点P 表示的数可能是

-3-2-10 1 2 3

个大正方形，这个大正方形的边长是

12.已知々是小于3 + V5的整数，且2-。 ="—2,那么□的所有可能值是

一个正方形的面积变为原来的〃倍，则边长变为原来的 倍；一个立方体的体

积变为原来的〃倍，则棱长变为原来的 倍。

练习题:

2. A.而 B.? J7 C. -710 D. J7 2.已知0

）

X

A. x

B. -

C.五

D. x 2

X 3.

等式7x 2

-i

成立的条件是（ ）

A. x > 1

B. x > -1

C. -1<%<1

D. xZl 或 xV ?l 4. 已知 g = ci,m = b,则J0.063 二(

)

,ab

- 3ab ab 、 3ab

A. —

B. --

C. -------

D. --------

10

10 100 100

5. 使等式(_JM)2=X 成立的X 的值( )

A.是正数

B.是负数

C.是0

D.不能确定

6. ________________________________________________ 已知实数】满足,匚匚+奸

盲，则。的取值范围是 ___________________________________

V 4 —。 7. 若 y/~X + \f —X 有意义，则 Jx +1 —

8. 实数a 、b 、c 在数轴上对应的位置如下： 则』（a -b ）2 + “ + c\ - V （c + r ）3 =

9. 现在要将一个边长为 插m 的正方形的铁板锻造成一个面积是它2倍的圆形铁板（厚度一 样），则这个铁板的半径

10. 如图所示，将两个边长为扼的正方形沿对角线剪开，拼成一 11. 如果〃5。+ 32 +2=0,则x+17的平方根是

14.点A在数轴上和原点相距3个单位，点B在数轴上和原点相距右个单位，则A, B两点之间的距离是—

15.点A在x轴上，且到y轴的距离为打，B与A点关于点（1, 0）对称，，则B点坐标为一

16.已知x、y是有理数，且x、y满足2_?+3y + y次=23-3扼，则x+y=

17.在实数范围内，设“=（兰L +姓二牛H）20】2,求，的个位数字是什么？

X + ]|2 - M

18.已知：Z7

19.已知2o-1的算术平方根是3, 3。+力-1的平方根是±4, c是应的整数部分，求a+2b-c2的平方根。

20.已知m、n是有理数，且（心+ 2, +（3-2行）? + 7 = 0,求m、n的值。

21.请在同一个数轴上用尺规作出-扼和75的对应的点。

-3-2-10123

22.探究创新：

（1）依次连接4x4方格各条边中点，得到一个正方形，如图阴影部分，求这个正方形的面积和边长。

（2）利用4x4方格，作出面积为10的正方形，然后在数轴上表示实数面和-JT3

23.已知实数 a 使\20H-a\ + ^a-20[2=a 成立，求 tz-20112 的值。 24.已知J/+2005是整数，求所有满足条件的正整数a 的和.

第二章实数

一、填空题：（但小题2分，共201. 64的平方根是

平方根是

,算术平方根是

?而的平方根是

2. 3. 4. r 2^= ---- ?

已知一个数的绝对值是Ji6,则这个数是.若疽-1 = 7,则村. 化简|3 -可+ Jd ）2 =.1-

V2的相反数是,绝对值是

V-64 =

5. 已知 J2x + 6 + - 2 + (十一5尸=0 ,贝Ij4x +

y-9z = +工三有意义.

估计7200 =

时,

（误差小于1）; 730 = （误差小于

6. 二、选择题（每小题3分，共24分）

在1.414, -JL 2, 5勿，2-V3中，无理数的个数是（

）A. 1

13

C. 3

D.4

下列各式中正确的是（

7. 8. B.2

)

= V4xJ| = -| C.仙 +4、=序 + 序=3 + 4 = 7 D.

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. （3.14 "）° =1

估算应的值应在（

） A. 6.5~7.0之间 B. 7.0?7.5之间 C. 7.5?8.0之间 D. 8.0?8.5之间 下列说法中，正确的是（ ） A.有理数都是有限小数 B.无限循环小数都是无理数 C.有理数和无理数都可以川数轴上的点表示D.无理数包括正无理数，0和负无理数 下列式子成立的是（ A. 3扼 <2心 B. 下列计算正确的是（ A.心一扼=1 B. ) -V5 >-V3 ) 据?扼=4 C. C.而<〃 D, V2 >1.42 2 + V3 = 2 D ' T=2

16. -64的立方根与面的平方根之和是 17. A. 0 B. -6 C. -2

18. 绝对值小于3的所有实数的积为（

) D. —6 或一

⑶(3^2 4-573)(3^2-5V3)

(2) (x-1)2

-1 = 8

(2)用含字母〃的式子表示以上规律,

19. A. 6

B. 12

C.O

D. -6

三、计算题：(18分)

20. 计算：

(1)V200

(2)原上 +松

四、解答题：(20、21、22题每题6分，其余每题10分)

21. 已知一个数的平方根是％+ 1和。+ 11,求这个数的立方根.利用估算比较2 +扼与

3 + V2的大小.

22. 己知一个正方体的棱长是5cm,要再做一个正方体，它的体积是原正方?体体积的8倍,

求新做的正方体的棱长.

Q

23. 解方程：⑴x 3 - —= 0

27

24?观察下列各式：格蒂，"

(1)请验证以上各式是否成立，并写出软证过

程； 并加以证明.

(4) (5-2?

(5) V72 + V128

~7T

(6) (75 - 2)

2004

-(V5

1.估算J赤—J7的值在（）A. 7和8之间B. 6和7之间C. 3和4之间D. 2

和3之间

2.若^64=^16=4,则m 〃=

3.当冰。时，则扃7+瞬的值为

4.如果。是应的整数部分，力是应的小数部分，a —b=

5.已知（x — 7）2 =121, （），+1尸=—0.064,求代数式后— 77+107 + ^245?的值。

6.已知：yl（2x-y）2 =3月（乂-2），）3 =一3,求三您的值。

工一〉

7.已知A=W+y + 3是工+），+ 3的算术平方根，B= X~2y^x + 2y是工+ 2），的立方根，试求B-A的立方根.

8.已知x、y是实数，且（x-y + 1）2与嬷厢辰竣，求的值。yjx2 +