高二定积分的计算
一、教学目标：
1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.
2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.
二、知识要点分析
1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?
b
a
dx x f )(
2. 定积分的几何意义：
（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分
?
b
a
dx x f )(的几何意义是：y=f
（x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.
?
b
a
dx x f )(的几何意义是介
于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.
在图（1）中：0s dx )x (f b
a
>=?
，在图（2）中：0s dx )x (f b
a
<=?
，在图（3）中：dx
)x (f b
a
?
表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.
注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?
b
a
dx x f )(，仅
当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于
?
b
a
dx x f )(.
3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）??
?±=±b
a
b
a
b a
dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [
（2）??
=b
a
b
a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）
（3）
??
?+=b
c
b
a
c a
dx x f dx x f dx x f )()()(
（4）若在区间［a ，b ］上，?
≥≥b
a
dx x f x f 0)(,0)(则
推论：（1）若在区间［a ，b ］上，?
?≤≤b
a
b
a
dx x g dx x f x g x f )()(),()(则
（2）??
≤b
a
b
a
dx x f dx x f |)(||)(|
（3）若f （x ）是偶函数，则
??
=-a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2)(，若f （x ）是奇函数，则
0)(=?
-a
a
dx x f
4. 微积分基本定理：
一般地，若)()()(],[)(),()('
a F
b F dx x f b a x f x f x F b
a
-==?
上可积，则
在且
注：（1）若)()('
x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分
?
b
a
dx x f )(的关键是求f （x ）的
原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.
（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.
【典型例题】
知识点一：定积分的几何意义
例1．根据
?
=π
20
0sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成
的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）
A ．面积为0
B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积
C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积
D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积
题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ?
π
20
sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x
轴围成的面积的区别.
思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.
解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.
对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.
解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于
?
π
20
)(dx x f .
例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121
=?xdx
（2）
?
=
-1
24
1π
dx x .
题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分
?
1
2xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ?-1
2
1表
示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.
思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.
解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积?S =
1122
1
=??.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=?xdx .
（2）由]1,0[,11222∈=+?-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆12
2
=+y x 面积的四分之一，
又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.
?
=
-1
24
1π
dx x
解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.
例3．利用定积分的几何意义求
?
-+-4
|)3||1(|dx x x 的值.
题意分析：本题考查定积分的几何意义，
?
-+-4
|)3||1(|dx x x 的值是函数
|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.
思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求
?
-+-4
|)3||1(|dx x x 的值.
解：函数|3||1|-+-=x x y 化为??
?
??∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]
1,0[(,42x x x x x y
由于函数??
?
??∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.
设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=
,31)24(2
1
=?+S 2=422=? 由定积分的几何意义知：
?
-+-4
|)3||1(|dx x x =10231=++S S S
解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分
?
-+-4
|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数
y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.
小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.
知识点二：定积分的计算
例1．由直线21=
x ，x=2，曲线x
y 1
=及x 轴围成的面积是（ ） A ．415 B ．4
17 C ．2ln 21 D ．2ln2
题意分析：本题表面上考查定积分的几何意义，实质是考查定积分的基本运算，关键是理解所求图形面积是定积分
dx x
?
2
2
1
1
的值. 思路分析：利用导数求出x x ln 1的原函数是.再利用微积分的基本定理求.
解：x x 1)(ln '
=Θ，∴dx x ?2211=2ln 221ln 2ln |ln 22
1=-=x .
故选（D ）
解题后的思考：求定积分的值关键是求被积函数的原函数，可利用导数求被积函数的原函数，易错的地方是：求被积函数的原函数有误.
例2．求下列定积分的值 （1）?+1
)32(dx x
（2）?
--1
23)1(dx x （3）
?-
+0
)(cos π
dt e t t
题意分析：本题考查定积分的基本计算，先直接求被积函数的原函数，再利用定积分的运算性质和微积分基本定理求定积分的值.
思路分析：（1）利用导数求被积函数t
e t x x +-+cos ,1,323
的原函数分别是
t 4
2e t sin ,x 4
1x ,x 3x +-
+，再由微积分基本定理可求. 解：（1）3x 2)x 3x ('2+=+Θ，
431|)3()32(1021
=+=+=+∴?x x dx x
（2）34
x 1)'x 4
1x (-=-
Θ 4
27
]4)2(2[)411(|)41()1(41
21243
=-----=-=-∴?--x x dx x （3）t
'
t e t cos )e t (sin +=+Θ，
???π
-π
-π
-π-+=+=+∴0
t 0
0t t dt e tdt sin |)e t (sin dt )e t (cos =ππ-π--
=+e
1
1|e |x sin 0
t 0 解题后的思考：本题是定积分的简单的运算，解题的关键是求被积函数的原函数，能利用求导的方法求原函数，体现了等价转化的数学思想的应用.易错点是求原函数.要注意定积分运算法则的应用.
例3．求下列定积分的值
（1）?2
2
2
sin π
dx x （2）
?
-
π
ππ
3
)6
cos(dx x
题意分析：本题仍是定积分的运算，被积函数不是我们学过的基本初等函数，要把被积函数转化为基本的初等函数.
思路分析：利用三角函数的降幂公式把被积函数化为：2
sin )cos 1(2
1
2x x -=，利用余弦的差角公式把被积函数化为：x x x sin 2
1
cos 23)6
cos(+=
-π
，再利用定积分的运算法则及微积分的基本原理求.
解：（1）?2022sin
πdx x =?-202cos 1π
dx x =2
1?-20)cos 1(πdx x =??-202
)cos (21π
πxdx dx =4
2)12(21)|sin |(21202
0-=-=-πππ
π
x x
（2）?-π
ππ
3)6cos(dx x =?+π
π
3)sin 21cos 23(dx x x =??+πππ
π33
sin 21cos 23dx x xdx =
0)3cos (cos 213sin 23|cos 21|sin 233
3=---=-πππππππx x 解题后思考：本题的解题关键是求被积函数的原函数，利用求导数的方法求原函数，若被积函数不是初等函数要转化为基本的初等函数，这样便于利用导数求原函数，其中体现等价转化的数学思想的应用.
小结：本题组主要是考查定积分的计算，求被积函数的原函数是解题的关键，要熟练的掌握导数的运算法则、公式便于求被积函数的原函数，同时对较复杂的被积函数要转化为基本的初等函数.同时注意定积分的运算的性质、法则的应用.会给解题带来很大的方便.
【本讲涉及的数学思想、方法】：
本讲主要讲述定积分的几何意义及定积分的基本运算，在考查定积分几何意义的知识点上体现了数与形相结合数学思想的应用，在定积分的运算过程中体现了等价转化的数学思想的应用.
【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分60分）
一、选择题（每题5分，计30分）
1．设连续函数f （x ）>0恒成立，则当a
b
a
x f )(的符号是（ ）
A ．一定是正的
B ．一定是负的
C ．当0 D ．以上都不对 2．若 ? =-k dx x x 0 2,0)32(则k=（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上都不对 3．与定积分? -π 30 cos 1dx x 相等的是（ ） A ．?π 302sin 2 dx x B ．? π 30 |2 sin |2dx x C ．|2 sin |230?πdx x D ．以上都不对. 4． ? +20 )sin 3(π dx x x =（ ） A ．1832+π B ．14 32+π C ．14 32-π D ．18 32-π 5．已知f （x ）是偶函数，且 ? =6 8)(dx x f ，则?-=6 6 )(dx x f （ ） A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 6． ?-+22 )cos 1(π πdx x 等于（ ） A ．π B ．2 C ．2-π D ．2+π 二、计算题 7．求下列定积分的值：（每题5分，计20分） （1）? ++2 12)12(dx x x （2）dx x x )cos (sin 0 ?+π （3） ? +-2 1 2)1 (dx x x x （4）dx x x )cos 1(1?+π 8．求定积分 ? ---1 2))1(1dx x x （10分） 【试题答案】 一、选择题 1．（A ）解析：由定积分的几何意义可知：选（A ） 2．（C ）解析： ? ? ?==?=-=-=-?=-k k k k k k k k k x x dx x xdx dx x x 0 320 30222,1 00||320)32(或 3．（B ）解析：|2 sin |2)2sin 21(1cos 12 x x x =--=-Θ 4．（A ）解析：],0[x π∈当Θ时，x sin |x sin |,0x sin =≥； 当]2 3 , [x ππ∈时，x sin |x sin |,0x sin -=≤ 5．（D ）解析：原式=?? +-6 6 )()(dx x f dx x f ，由f （x ）是偶函数，f （x ）图象在y 轴 两侧对称.故原式=16 6．（D ）解析：?-+22 )cos 1(π πdx x =22 |)sin (π π- +x x =2+π 二、计算题 7．解：（1） ? ++2 1 2 )12(dx x x =3 19|||32 1212213=++x x x （2）dx x x )cos (sin 0? +π =2|sin |)cos (00=+-π πx x （3） ?+-2 1 2)1(dx x x x =6 52ln |ln |31|212 1213212-=+-x x x （4）dx x x )cos 1(1?+π=1sin ln |sin |ln 11-=+ππ πx x 8．解： ? ---1 2 ))1(1dx x x =??---1 1 2 ))1(1(dx x dx x ， ?----10 2 2)1(1)1(1x x 义求以利用定积分的几何意的原函数较复杂，故可求函数Θ? --1 2)1(1dx x 表示圆：0,1,01)1(22====+-y x x y x 与围成的图形面积. 故 ? --1 2)1(1dx x = 4π，21 |2110 210==?x xdx ， 所以 ? ---1 2))1(1dx x x =2 1 4-π. 定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样， §5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) （ 5.6 ） (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 ) (10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+ 系（院）数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级 姓名 论文题目求定积分的若干方法指导教师职称副教授 2010 年5月20日 1 目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Keywords (3) 前言 (3) 1. 定义法求定积分 (3) 1.1 定义法 (3) 1.2 典型例题 (4) 2. 换元法求定积分 (5) 2.1 换元积分法 (5) 2.2 典型例题 (5) 3. 分部法求定积分 (8) 3.1 分部积分法 (8) 3.2 典型例题 (8) 4. 区间性质求定积分 (9) 4.1 常见的三种题型 (9) 4.2 典型例题 (9) 5. 有理函数求积分 (11) 5.1 有理函数积分法 (11) 5.2 典型例题 (11) 参考文献 (13) 2 3 求定积分的若干方法 摘 要：本文主要考虑定积分的计算方法，对一些常用的方法和技巧进行归纳和总结，主要方法包括定义法、换元积分法、分部积分法等，并对每种方法给出了典型例题． 关键词：定积分；换元积分法；分部积分法；有理函数积分 Methods of Calculation on Definite Integral Abstract: In this paper, we study the calculation of definite integral and some usual methods and techniques for computation and described. The chief methods include definition integration, act-for-Yuan integration, and integration by parts and so on. So, different subjects should use different calculation methods in order to simplify the calculation. Key Words: definite integral ；act-for-Yuan integration ；integration by parts ； integral rational function ． 前言 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的 数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学．微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造．一个定积分的计算，首先要求准确性，其次是快速性，而这两个目的的实现就需要有好的方法和技巧．本文主要以求解定积分的各种方法为主线，对其分别概述，举例，并加以分析说明，从而得出对于不同的题型应当运用合适的方法来解决的结论．学习中应着眼于基本方法的积累，有了这种积累，才会孕育出技巧． 1 定义法求定积分 1.1 定义法 已知函数()f x 在],[b a 上可积，由于积分和的极限唯一性，可做],[b a 的一个 [学习目标] 1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题. 知识点一 定积分在求几何图形面积方面的应用 1.求由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积S . (1)如图①，f (x )＞0，??a b f (x )d x ＞0，所以S ＝??a b f (x )d x . (2)如图②，f (x )＜0，??a b f (x )d x ＜0，所以S ＝??????a b f (x )d x ＝－??a b f (x )d x . (3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，??a c f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，??a b f (x )d x ＞0.所以 S ＝???? ? ?a c f (x )d x ＋??c b f (x )d x ＝－??a c f (x ) d x ＋? ?c b f (x )d x . 2.求由两条曲线f (x )和g (x )(f (x )＞g (x ))，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成平面图形的面积S . (1)如图④，当f (x )＞g (x )≥0时，S ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . (2)如图⑤，当f (x )＞0，g (x )＜0时，S ＝? ?a b f (x )d x ＋??????a b g (x )d x ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . 3.当g (x )＜f (x )≤0时，同理得S ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . 思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ (2)当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答案 (1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可. (2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以 S ＝??a b (0－f (x ))d x ＝－??a b f (x )d x . 4.利用定积分求平面图形面积的步骤： (1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案. 知识点二 定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12 第三讲 定积分的基本公式 【教学内容】 1．变上限积分函数 2．牛顿－莱布尼兹公式 【教学目标】 1．掌握变上限积分函数 2．掌握牛顿－莱布尼兹公式 【教学重点与难点】 牛顿－莱布尼兹公式 【教学过程】 一、引例 一物体作变速直线运动时，其速度)(t v v =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程S ： dt t v S b a ? = )( 另一方面，如果物体运动时的路程函数)(t S S =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程 S 等于函数)(t S S =在],[b a 上的增量 )()(a S b S - 同一物理量（路程）的两种不同数学表达式应该是相等的， ∴ dt t v S b a ? = )()()(a S b S -= ∵ )()(/ t v t S = ∴ ? ? = = b a b a dt t S dt t v S )()(/)()(a S b S -= 二、变上限积分函数 1．定义：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，那么对于区间],[b a 上的任一点x 来说，)(x f 在区间],[x a 上仍连续，所以函数)(x f 在],[x a 上的定积分 ? x a dx x f )( 存在。也就是说，对于每一个确定的x 值，这个积分将有一个确定的值与之对应，因此它是积分上限x 的函数，此函数定义在区间],[b a 上，把它叫做变上限积分函数，记为)(x Φ。即 )()()()(b x a dt t f dx x f x x a x a ≤≤==Φ?? 2．定理1 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，则变上限积分函数 )()()(b x a dt t f x x a ≤≤=Φ? 是函数)(x f y =的原函数，即 第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y 定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x a f x x ?是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免 t ，于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a f t t ? （ a ≤x ≤ b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?（ a ≤x ≤ b ）. 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数. 例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==； πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数： (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ； 解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x u =，所以按复合函数求导 法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知，变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数，于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?. 定积分常用公式 二、基本积分表(188页1—15，205页16—24) (1) (k是常数) kdxkxC,，, ,，1x,(2) xdxC,，,(1)u,,,,，1 1(3) dxxC,，ln||,x dx(4) ,，arlxCtan2,1，x dx(5) ,，arcsinxC,21,x (6)cossinxdxxC,， , (7)sincosxdxxC,,， , 1(8) dxxC,，tan2,cosx 1(9) dxxC,,，cot2,sinx sectansecxxdxxC,，(10) , csccotcscxxdxxC,,，(11) , xxedxeC,，(12) , xax(13)， (0,1)aa,,且adxC,，,lna shxdxchxC,，(14) , chxdxshxC,，(15) , 11x(16) dxarcC,，tan22,axaa， 1 11xa,(17) dxC,，ln||22,xaaxa,，2 1x(18) dxarcC,，sin,22aax, 122(19) dxxaxC,，，，ln(),22ax， dx22(20) ,，,，ln||xxaC,22xa, (21)tanln|cos|xdxxC,,， , (22)cotln|sin|xdxxC,， , )secln|sectan|xdxxxC,，， (23, cscln|csccot|xdxxxC,,，(24) , 注:1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把换成仍成立，是以为自变量的函数。 xuux 3、复习三角函数公式: 1cos2，x22222， sincos1,tan1sec,sin22sincos,xxxxxxx，,，,,cosx,2 1cos2,x2。 sinx,2 fxxdxfxdx[()]'()[()](),,,,,注:由，此步为凑微分过程，所以第一,, 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 2 小结: 1常用凑微分公式 积分类型换元公式11.f(ax，b)dx,f(ax，b)d(ax，b)(a,0)u,ax，b,,a u,x11,2.f(x)xdx,f(x)d(x)(,0),,,,,,,,,1u,lnx3.f(lnx),dx,f(lnx)d(lnx), ,x 4..f(e),edx,f(e)dexxxxu,ex,,第 1一5.f(a),adx,f(a)daxxxx,,lnau,ax换 6.f(sinx),cosxdx,f(sinx)dsinxu,sinx元,, u,cosx积7.f(cosx),sinxdx,,f(cosx)dcosx,,分 28.f(tanx)secxdx,f(tanx)dtanxu,tanx,,法 u,cotx29.f(cotx)cscxdx,,f(cotx)dcotx,, 4.2 定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么？ （2） 定积分的几何意义是什么？ （3） 微积分基本定理是什么？ 引入： 1. x 轴 y =是?()i f x 的设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π =? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 规律方法： 求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为()f x 。确定积分上、下限,a b ，则体积2()b a V f x dx π=? 练习1：如图所示，给定直角边为a 的等腰直角三角形，绕y 轴旋转一周，求形成的几何体 的体积。 解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。 类型二：求组合型几何体的体积 例2：如图，求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成的图形绕x 轴旋 转一周所得几何体的体积。 思路： 解答本题可先由解析式求出交点坐标。 再把组合体分开来求体积。 解：解方程组28(0)60 y x y x y ?=>?+-=? 得：24x y =??=? 28y x ∴=与直线60x y +-=的交点坐标为(2,4) 所求几何体的体积为： 规律方法： 二、基本积分表（188页1—15，205页16—24） （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+=++? (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）2 1 tan cos dx x C x =+? （9）2 1 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a = +?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）2 2 11tan x dx arc C a x a a = ++? （17）2 2 11ln | |2x a dx C x a a x a -= +-+? （18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =++? （20） ln |x C =++? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2 2 2 2 sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==2 1cos 2cos 2 x x += ， 2 1cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]() f x x dx f x d x ????= ?? ，此步为凑微分过程，所以第一 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设 ()0 ()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[] 1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>? 高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法: 樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分 分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__ -辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮? p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」 当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx 定积分计算中应当注意的几个问题 辛 开 远 定积分计算是高等数学中很重要的内容，本文针对应当注意的几个问题，通过求解例题，让读者掌握解题技巧。 一、利用函数奇偶性简化计算 若)(x f 在],[a a -上连续并且为偶函数，则有 ??=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( ， （)(x f 是偶函数） 若)(x f 在],[a a -上连续并且为奇函数，则有 0)(=? -a a dx x f ， （)(x f 是奇函数） 例1：计算 ? - 2 2 10sin π π xdx x 解 ：因为x x x f sin )(10 =是奇函数，积分区间对称于原点，所以，原式＝0。 例2：计算 ?---a a dx x a x a 2 2 解：原式＝ ? ? -----a a a a dx x a x dx x a a 2 2 2 2 右边第一个积分的被积函数是偶函数，第二个积分的被积函数是奇函数，积分区间对称于原点，从而 原式＝a a x a dx x a a a a π=??? ?? =-? 00 2 2arcsin 22 例3：计算 () dx x x x x ?-++-1 1 341cos sin 95200 解：原式＝() 5 1212 10 4 = +?dx x 二、利用函数的周期性简化计算 设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则有 ??=+T T a a dx x f dx x f 0 )()( ?? =+T nT a a dx x f n dx x f 0 )()( （n 为整数） 例4：计算 ? +- 2 1002 100222sin π π xdx x tg ?复习1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ?引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算 问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ?讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下： 以函 数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1?求下列不定积分.（1） AdX （ 2） XdX _ 1 丄+ 彳 解：（1 ） . 2 dx = x'dx C=-1C X -2 1 X 3 2 5 （2 ）.XXdX = χ2 dx = 2 X 2 C J 5 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为 数的积分公式求积分。 不定积分的基本运算法则 X 〉的形式，然后应用幕函 法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 [f (X) — g (x)]dx = f (x)dx — g (x)dx 法则1对于有限多个函数的和也成立的. 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 kf (x)dx = k f (x)dx ( k = O ) 3 X 例 2 求(2x 1 -e )dx 解 (2x 3 1-e" )d )=2 x 3dx + dx - e x dx 1 4 X =X X —e C 。 2 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数， 但是这里并不需要在每一项后面加上 一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和 C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于(-X 4 ^e X C) = 2X 3 ^e X ,所以结果是正确的。 2 三直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被 积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分 解： (1)首先把被积函数^x - I 1 化为和式，然后再逐项积分得 VX 1 √X (1)J (V Σ+1)( X -^^=)dx (2)J x 2 dx )dx 一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数) (x f y =在对应区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? 3.4专题 定积分与微积分基本定理 【一】基础知识 【1】定积分的定义 【2】定积分的几何意义 当()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?表示由直线,x a x b ==和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积. 【3】定积分的基本性质 （1） ()()b b a a kf x dx k f x =?? （2） ()()()()1212b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx +=+??? （3）()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+??? 【4】微积分基本定理 如果函数()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么 ()()()b a f x dx F b F a =-?. 【二】例题分析 【模块1】利用微积分基本定理求定积分 【例1】计算下列定积分的值： （1）3 2dx =? .（2）46cos 2xdx ππ=? . 【例2】计算定积分 ()121sin x x dx -+=? . 【例3】计算定积分 ()11cos x e x dx -+=? . 【例4】计算定积分 2211x x dx x ??-+= ???? . 【例5】 201x dx -=? . 【例6】 3201x dx -=? . 【例7】若函数()3sin ,112,12 x x x f x x ?+-≤≤=?<≤?，则()21f x dx -=? . 【模块2】利用定积分求平面图形的面积 【例1】由直线,,033x x y ππ=- ==与曲线cos y x =所围成的封闭图像的面积为 . 【例2】由直线,,022x x y ππ=- ==与曲线sin y x =所围成的封闭图像的面积为 . 【例3】由曲线23,y x y x ==所围成的封闭图形的面积为 . 2.基本积分公式表 (1)∫0d x=C (2)=ln|x|+C (3)(m≠-1，x>0) (4)(a>0,a≠1) (5) (6)∫cos x d x=sin x+C (7)∫sin x d x=-cos x+C (8)∫sec2x d x=tan x+C (9)∫csc2x d x=-cot x+C (10)∫sec x tan x d x=sec x+C (11)∫csc x cot x d x=-csc x+C (12)=arcsin x+C (13)=arctan x+C 注．(1)不是在m=-1的特例． (2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x． 事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =. (3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分． 下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算． 6. 复合函数的导数与微分 大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义． 定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=?(x)分别在点y0=?(x0)与x0可导，则复合函数z=f[?(x)]在x0可导，且 或(f o?)' (x0)=f '(y0)??'(x0)． 证．对应于自变量x0处的改变量?x，有中间变量y在y0=?(x0)处的改变量?y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量?z，（注意?y可能为0）．现 ?z=f'(y0)??y+v，?y='?(x0)?x+u， 且令，则v=?αy，（注意，当?y=0时，v=?αy仍成立）．y在x 0可导又蕴含y在x0连续，即?y=0．于是 =f '(y0)?? '(x0)+0??'(x0)=f'(y0)??'(x0) 为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明： (1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式 ， 其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程． (2) 计算复合函数的过程：x→?y →?z 复合函数求导的过程：z→?y →?x ：各导数相乘 例2.3.15求y=sin5x的导数． 解．令u=5x，则y=sin u．于是定积分的性质与计算方法
基本积分公式
定积分的方法总结
求定积分的方法
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定积分计算公式和性质
定积分的基本公式
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