高中数学曲线与方程经典考点例题及其讲解

曲线与方程

考纲解读 1.利用曲线与方程的关系辨认曲线；2.求动点的轨迹(方程)．

[基础梳理]

1．曲线与方程

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线． 2．求动点轨迹方程的一般步骤

(1)建立坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0，并化简； (4)查漏补缺．

[三基自测]

1．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2 B ．y ＝－16x 2 C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y

答案：C

2．在△ABC 中，A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO (O 为原点)所在的方程为________． 答案：x ＝0(0≤y ≤3)

3．已知方程ax 2＋by 2＝2的曲线经过点A ????－5

4，0和B (1,1)，则曲线方程为________． 答案：1625x 2＋9

25

y 2＝1

4．已知A (－5,0)，B (5,0)，则满足k AC ·k BC ＝－1的点C 的轨迹方程为________． 答案：x 2＋y 2＝25(去掉A 、B 两点)

考点一 坐标法(直接法)求解曲线方程|模型突破

[例1] (2018·成都模拟)动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．

[解析] 设点P (x ，y )，则k AP ＝

y x －a ，k BP ＝y

x ＋a

. 由题意得y x －a ·y

x ＋a

＝k ，即kx 2－y 2＝ka 2.

所以点P 的轨迹方程为kx 2－y 2＝ka 2(x ≠±a )．(*)

(1)当k ＝0时，(*)式即y ＝0，点P 的轨迹是直线AB (除去A 、B 两点)． (2)当k ≠0时，(*)式即x 2a 2－y 2

ka

2＝1，

①若k >0，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线(除去A 、B 两点)． ②若k <0，(*)式可化为x 2a 2＋y 2

－ka 2

＝1.

当－1

当k ＝－1时，(*)式即x 2＋y 2＝a 2，点P 的轨迹是以原点为圆心，|a |为半径的圆(除去A ，B 两点)；

当k <－1时，点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆(除去A ，B 两点)． [模型解法]

[高考类题]

(2016·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2

分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．

(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；

(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 解析：由题设知F ????1

2，0 .设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ????a 2

2，a ，B ????b 2

2，b ，P ????－12，a ，Q ????－12，b ，R ????

－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.

记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab

a ＝－

b ＝k 2.所以AR

∥FQ .

(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF

＝12|b －a ||FD |＝1

2|b －a |????x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2

. 由题设可得2×1

2|b －a |????x 1－12 ＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．

当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y

x －1(x ≠1)．

而

a ＋b

2

＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.

考点二 定义法求解曲线方程|模型突破

[例2] (1)(2018·北京模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．

(2)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，则圆心P 的轨迹方程为________．

[解析] (1)如图，△ABC 的内切圆P 与三边的切点分别为E 、F 、G . ∵P 在x ＝3上，∴|AC |>|BC |，

∴|CA |－|CB |＝|GA |－|FB |＝|EA |－|EB |＝(5＋3)－(5－3)＝6，

∴C 点轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线(右支)， ∴2a ＝6，a ＝3，c ＝5，b ＝4， ∴方程为x 29－y 2

16

＝1(x >3)．

(2)由题意可知，|PM |＝r ＋1，|PN |＝3－r ， ∴|PM |＋|PN |＝4且MN ＝2，

∴P 点轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆． ∴2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3.

方程为x 24＋y 2

3＝1(x ≠－2)．

[答案] (1)x 29－y 2

16＝1(x >3)

(2)x 24＋y 2

3＝1(x ≠－2) [模型解法]

[高考类题]

(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .

(1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.

解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2

＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .

(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2

＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 2

3

＝1(x ≠－2)．

(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.

若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.

若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP |

|QM |＝

R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k

2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 2

3＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝

－4±627

.

所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187

. 当k ＝－

24时，由图形的对称性可知|AB |＝187

. 综上，|AB |＝23或|AB |＝

18

7

.

考点三 代入法求曲线方程|模型突破

[例3] (1)P 是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标

原点，有一动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→

，则动点Q 的轨迹方程是________．

(2)已知F 是抛物线y ＝1

4x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程

是________．

[解析] (1)作P 关于O 的对称点M ，连接F 1M ，F 2M ，则四边形F 1PF 2M 为平行四边形，所以PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2 PO →＝－2OP →，

又OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 所以OP →

＝－12

OQ →，

设Q (x ，y )，则OP →

＝????－x 2

，－y 2， 即P 点坐标为????－x 2

，－y

2，又P 在椭圆上， 则有

????－x 2 2a 2

＋

???

?－y 2 2

b 2

＝1，

即x 24a 2＋y 2

4b

2＝1. (2)因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.

[答案] (1)x 24a 2＋y 2

4b 2＝1 (2)x 2＝2y －1

[模型解法]

破解此类题的关键点：

(1)定关联点，根据已知条件确定与动点关联的点，以及该点所满足的条件． (2)建关系，根据两点之间的关联性确定两点坐标之间的关系．

(3)代入，用动点坐标表示与之关联的点的坐标，然后代入该点所满足的条件，化简整理即可．

[高考类题]

(2017·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2

＝1上，过M 作x 轴

的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →

.

(1)求点P 的轨迹方程；

(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →

＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .

解析：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →

＝(0，y 0)． 由NP →＝ 2 NM →

得x 0＝x ，y 0＝22y .

因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 2

2＝1.

因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.

(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →

＝(－1－m ，－n )， OQ →·PF →

＝3＋3m －tn ，

OP →＝(m ，n )，PQ →

＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →

＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.

所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →

.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .

[考点一](2014·高考湖北卷)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .

(1)求轨迹C 的方程；

(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．

解析：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2

＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为

y 2＝?

??

??

4x ，x ≥0，0，x <0.

(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．

由方程组?

????

y －1＝k (x ＋2)

y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①

(ⅰ)当k ＝0时，此时y ＝1.

把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝1

4

.

故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点????

14，1. (ⅱ)当k ≠0时，方程①根的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则

由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k

③

(a)若?

????

Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1，或k >12.

即当k ∈(－∞，－1)∪(1

2，＋∞)时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，

故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．

(b)若????? Δ＝0x 0<0，或?????

Δ>0，x 0≥0，

由②③解得k ∈??????－1，12，或－12≤k <0.即当k ∈??????－1，12时，

直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈????－1

2，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈???

?－12，0∪?

??

?

??－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．

(c)若?

????

Δ>0，x 0<0，由②③解得－1

2.即当k ∈????－1，－12∪????0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．

综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当k ∈(－∞，－1)∪????12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；

当k ∈???

?－12，0∪?

??

?

??－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点； 当k ∈????－1，－12∪????0，1

2时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．