机械振动课后习题和答案第三章习题和答案

如图所示扭转系统。设12122;t t I I k k ==

1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；

2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。

解：1)以静平衡位置为原点，设12,I I 的转角12,θθ为广义坐标，画出12,I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：

111121222221()0()0t t t I k k I k θθθθθθθ?++-=??+-=??&&&&，即：1112122

222122()00

t t t t t I k k k I k k θθθθθθ?++-=??-+=??&&&&

所以：[][]12

21

2220,0t t t t t k k k I

M K k k I +-??

??==????-????

系统运动微分方程可写为：[][]11220M K θθθθ??????

+=??????????

&&&& ………… (a)

或者采用能量法：系统的动能和势能分别为

θθ=

+&&22

11221122T E I I

θθθθθθθ=+-=++-222211212121221121111

()()2222t t t t t t U k k k k k k

求偏导也可以得到[][],M K

由于12122;t t I I k k ==，所以[][]212021,0111t M I K k -????

==????-????

2)设系统固有振动的解为： 1122cos u t u θωθ????

=????????，代入（a ）可得：

[][]12

2()0u K M u ω??

-=????

………… (b)

得到频率方程：22

12

1

2

1

12

22()0t t t t k I k k k I ωωω--=

=--V 即：224

222

121()240t t I k I k ωωω=-+=V

解得：2

1

1,22

2

(22t k I ω±=

=

所以：1ω=

2ω=………… (c)

将（c ）代入（b ）可得：

1

121

2

121112

2(22220(22t t t t t t k k I k I u u k k k I I ??

±--??

????=????????--??

??g

g g

解得：11

212

u u =-

；12

22

2

u

u

=

令

21

u=，得到系统的振型为：

11

求图所示系统的固有频率和振型。设123213;33m m k k k ===。并画出振型图。

解：1)以静平衡位置为原点，设12,m m 的位移12,x x 为广义坐标，画出12,m m 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：

11112122222132()0()0m x k x k x x m x k x x k x ++-=??+-+=?&&&&

所以：[][]122122320,0k k k m M K k k k m +-??

??==????-+????

系统运动微分方程可写为：[][]11220x x M K x x ????+=????????&&&& ………… (a) 或者采用能量法：系统的动能和势能分别为

=

+&&22

11221122T E m x m x =+-+2221121232111

()222U k x k x x k x

求偏导也可以得到[][],M K

由于123213;33m m k k k ===，所以[][]223021,0114M m K k -????

==????

-????

2)设系统固有振动的解为： 1122cos x u t x u ω????

=????????，代入（a ）可得：

[][]122()0u K M u ω??

-=????

………… (b)

得到频率方程：22

22

2

22

22

23()04k m k k k m ωωω--=

=--V

即：224

222

222()31470m k m k ωωω=-+=V

解得：2

1,2

22

ω==

所以：1ω=

2ω= ………… (c)

将（c ）代入（b ）可得：

2

2

2221222222(72330(743k k m k m u u k k k m m ??

±--??

???

?=????±?

???

--????

g g g

解得：11

21

5 3

u u =-

；12

22

5

3

u

u

-

=

令

21

u=，得到系统的振型为

：

1

1

如图所示弹簧质量系统，写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。

解：以静平衡位置为原点，设12,m m 的位移12,x x 为广义坐标，系统的动能和势能分别为 =

+&&22

121122T E mx mx =+-++221121211

()()22U kx k x x mg x x

求得：[][]1021,0111M m K k -????==????

-????

系统运动微分方程可写为：[][]11220x x M K x x ????+=????????

&&&& ………… (a)

设系统固有振动的解为： 1122cos x u t x u ω????

=????????，代入（a ）可得：

[][]12

2()0u K M u ω??

-=????

………… (b)

得到频率方程：22

2

2()0k m k

k k m ωωω--==--V

即：22422()30m km k ωωω=-+=V

解得：21,2(32k

m

ω±=

所以：1ω=

2ω=………… (c)

将（c ）代入（b ）可得：

12(3220(32k k m k u m u k k k m m ??--??????=????±??

--?

???g g

解得：

1121u u =

；1222u u = 令21u =，得到系统的振型为：

1

1

如图T—所示，由一弹簧是连接两个质量m1，m2构成的系统以速度v撞击制动器k1，求传到基础上的力的最大值。设v为常数且弹簧无初始变形，并设m1=m2与k1=2k。

求图所示系统的固有频率和振型，并画出振型图。设杆质量分布均匀。

求图所示系统当左边质量有初始位移A而其余初始条件均为零时的响应

如图T—所示由弹簧耦合的双摆，杆长为L。

1．写出系统的刚度矩阵、质量矩阵和频率方程；

2．求出固有频率和振型；

3．讨论是值改变对固有频率的影响。

解：