工程电磁场教案-国家精品课华北电力学院崔翔-第4章(倪光正主编教材)

第四章准静态电磁场

4．1 准静态电磁场

1．电准静态场

由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感应电场。在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。此时，时变电场满足

=??≈??D 0E 称为电准静态场。可见，电准静态场与静电场类似，可以定义时变电位函数? ，即

?-?=E

且满足泊松方程

ρ?-=?2 与电准静态场对应的时变磁场满足 0

t =????+

=??B D

E H γ 2．磁准静态场

由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。在低频情况下，一般位移电流密度远小于时变传导电流密度，可以忽略。此时，时变磁场满足

0=??≈??B J H c

称为磁准静态场。可见，磁准静态场与恒定磁场类似，可以定义时变矢量位函数A ，即

A B ??=

且满足矢量泊松方程

c J A μ-=?2

与磁准静态场对应的时变电场满足

=????-

=??D B E t

例1：图示圆形平板电容器，极板间距d = 0.5 cm ，电容

器填充εr =5.4的云母介质。忽略边缘效应，极板间外施电压

t t u 314cos 2110)(=V ，求极板间的电场与磁场。

[解]：极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。

在工频情况下，忽略时变磁场的影响，即极板间的电场为电

准静态场。在如示坐标系下，得

()()()V/m t 31410113t 31410

501102d u z 4z 2z e e e E -?=-??=-=-cos .cos . 由全电流定律得出，即由

()z z 20r 4S

l t 31431410113d t H 2d e e S D l H ?-π??-=???=π=???ρεερφsin . 极板间磁场为

φφφρe e H t 314103352H 4sin .-?== A/m

也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度，如下

t 0r ??=??=??E D H εε 展开，得

t 314106694H 14sin .)(-?=??φρρ

ρ 解得

φφφρe e H t 314103352H 4sin .-?== A/m 讨论：若考虑时变磁场产生的感应电场，则有

t ??-=??-=??H B E 0μ 展开，得

t E z 314cos 103.231440ρμρ

-??-=??- 解得 t E z 314cos 10537.428ρ-?= V/m

可见，在工频情况下，由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。

图平板电容器

3．不同媒质分界面上的边界条件

对比准静态电磁场与静态电磁场的基本方程可见，仅麦克斯韦方程组中的两个旋度方程有异。因此，只需推导准静态电磁场在不同媒质分界面上的切向分量之间的关系。

对于磁准静态场中旋度方程对应的积分形式

?????-=?S l d t

d S B l E

在媒质分界面上取一个小回路，可得

21s 1t 21t 1l l t B l E l E ?????

????-=?+?-

即 2s t 2t 1l t B E E ????

????=-

由于磁感应强度对时间的变化率为有限值，当?l 2→0时，有

021=-t t E E

即电场强度的切向分量在媒质分界面上依然连续

t t E E 21= ， e n ?( E 2 - E 1) = 0

对于电准静态场中旋度方程对应的积分形式

??????+?=?S S l d t

d d S D

S J l H c

类似于恒定磁场中旋度方程对应的积分形式

???=?S

l d d S J l H c

的讨论，只要电位移矢量对时间的变化率为有限值，必有

s t 1t 2K H H =- ， e n ?( H 2 - H 1) = K

综上所述，准静态电磁场的边界条件为

H 2t -H 1t = K s ， e n ?( H 2 - H 1) = K

E 1t =E 2t ， e n ?( E 2 - E 1) = 0

B 1n =B 2n ， e n ? ( B 2 - B 1) =0

D 2n -D 1n = σ ， e n ? ( D 2 - D 1) =σ

4．时谐电磁场的复数表示

在大量工程问题中，场源及其所产生的电场和磁场都随时间作正弦变化。即使是非正弦的变化，也可通过傅立叶级数或傅立叶变换将其分解为随时间作正弦变化的分量的迭加来进行研究。

在准静态电磁场和下一章的动态电磁场讨论中，主要讨论随时间作正弦变化的时变电磁场(简称为时谐电磁场)。以电场强度为例，在直角坐标系下可写为

()()()()()()()()()r r e r r e r r e r E m m m z z z y y y x x x t E t E t E t φωφωφω+++++=cos cos cos ),(

式中，ω 是角频率，E x m 、E y m 、E z m 及φx 、φy 、φz 分别是电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。

采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量)，即

)()()()(r e r e r e r E zm z ym y xm x m E E E ????++=

式中，x x x E E φj m m e =?，y y y E E φj m m e =?和z z z E E φj m m e =?

。瞬时矢量被复矢量表示如下 ()()()??

????=??????=??t t t ωωj j m e 2Re e Re ,r E r E r E 式中，()r E ?为与复矢量(振幅)()r E ?m 对应的有效值表示。

采用复矢量表示时谐电磁场后，麦克斯韦方程组可写为如下复数形式

???+=??m cm m j D J H ω

?-=??m m j B E ω

0m =???B ?

?=??m m ρD 类似地，也可以写出媒质构成方程的复数形式。

一般称上述方程组为麦克斯韦方程组的频域形式，而称原有的方程组为麦克斯韦方程组的时域形式。显然，采用麦克斯韦方程组的频域形式后，不再含有场量对时间t 的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得以简化。为书写简便，同时，也基于实际测量中所得为正弦量的有效值，故本书采用复矢量的有效值来讨论时谐电磁场理论。

例2：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值)或瞬时矢量，

)sin()cos(αβωαβω+-++-=x t E x t E z z y y m m e e E ,θβθβθsin )cos cos(sin z 0x e x jH H j -?

=。

[解]：())()()()(αβαβαβαβ----π+----?-=+=x z z x y y 2x z z x y y e jE e E e E e E j j j j e e e e r E

())

sin sin()cos cos(sin )sin cos()cos cos(sin ,θβωθβθθβωθβθz t x H 22z t x H 2t H 00x --=π+-= r

4．3 集肤效应与透入深度·电磁屏蔽

1．集肤效应与透入深度

对于频率较高的电磁场问题，导体内部出现如图所示的集肤效应，也就是涡流效应。设相对于传导电流可以忽略位移电流的影响，此时，导体中电磁场可近似为磁准静态场，满足方程

=??=????-=??=??D B B E E

H t γ

消去H 得

()t

t t ??-=????-=????-=????E H H E μγμμ 运用矢量恒等式及 ??D =ε??E =0，有

E E E E 22)(-?=?-???=????

得

??=?E E μγ2 同理 t ??=?H H μγ

2 上式偏微分方程称为扩散方程。对于时谐电磁场问题，扩散方程的复数形式为

(a) 低频，电流均匀分布 (b) 高频，感应电场的作用 (c) 集肤效应

图圆导体截面内电磁场分布示意图

??==?E E E 22j P ωμγ

???==?H H H 22j P ωμγ 式中

()()j 11j 12j +=+==d

P ωμγ

ωμγ 对于一维场问题，如在图所示的半无限大

导体(x >0)，设交变电流沿y 轴方向流动，即

y y J e J ??=，且y J ?仅为坐标x 的函数，则()y y x E e E ?

?=。故满足扩散方程的解为

Px Px y Be Ae E +=-? 当x →∞时，y E ?为有限值，所以B ＝0。由设x ＝0时，()0y y E E ??=，则

Px y Px y e E Ae E -?

-?==)0( 又由??H =γE ，知H = H z (x )e z 。同理可得

Px z z e H H -?

?=)0( 以及

Px y Px y y y e J e E E J -?

-???===)0()0(γγ 现在，以电场强度为例分析导体内部电磁场的分布规律。代入P 得

()()d x d x y x d y y e e E e

E E j j --?+-???==00)1(1 式中 d x

e - 为衰减因子，当x = d 时，

()1|0|||-?

?=e E E y y 距离导体表面x = d 处比导体表面处的场强值减少了e 倍。d 称为导体的透入深度，即

ωμγ2

透入深度表征了电磁场在导体中的衰减率。显然，d 愈小，电磁场在导体中衰减得愈快，集肤效应越显著。一般当x =(4～5)d 时，场量已近似衰减为零。

2．电磁屏蔽

静电屏蔽、磁屏蔽和电磁屏蔽。

图半无限大导体内的集肤效应

4．4 涡流及其应用

涡流具有与传导电流相同的热效应和磁效应，在电气设备中，力求减小涡流及其损耗，但同时，涡流也有其广泛的工业应用，如感应加热、无损检测、电冶金等。

1．薄钢片中的涡流

以图示铁心中一薄钢片为例，由于h >> a , l >> a ，故薄钢片截面内磁感应强度沿 z 轴方向，且是(x , t )的函数，即B = B z (x , t )e z 。E (x , t )和J (x , t )位于xoy 平面上。忽略感应电场沿x 方向的分量，则即归结为E y (x , t )和J y (x , t )，如图所示。

设磁场随时间作正弦变化，且满足一维扩散方程，即

z z z B P B x B ?

==222j d d ωμγ

通解为 Px

z c c B e e 21+=-?

根据磁场的对称性

???

??+=??? ??-??

22a

B a B z z 显然，221C

c c ==，采用双曲函数表示

)(ch )(ch 0Px B Px C B z ?

?==

式中，0?B 是0=x 处的磁感应强度。由??=??E B μγ和?

?=E J γ，有

)(sh )(sh 00Px E Px P B E y ?

=-=μγ

)(sh )(sh 00Px J Px P B J y y ?

?=-=μ

(a) 图薄钢片

(b)

(c)

z B ?和y J ?

的模值分别为 )2cos 2(ch 21|

|0d x d x B B z +=? )2cos 2(ch 21||0d

x d x J J y y -=? B z 和J y 随x 的变化曲线如图所示。可以看出，磁场在x =0

平面上有最小值，这表明了涡流的去磁作用，涡流密度J y

分布对y 轴呈奇对称，它密集于导体表面，在x = 0处为零。由此可见，电磁场量由表及里逐渐衰减，呈现集肤效应。

薄钢片体积V 中的涡流损耗为

dV J P V y ?

=γ2 计算得出

2av 2212

1z VB a P γω= 式中，av z B 是在薄钢片截面上有效值z B 的平均值，V 是薄钢片的体积。可见，涡流损耗与频率的平方成正比，也和γ及a 2成正比。对于频率给定的情况，为了减小涡流损耗，应力求减小薄钢片厚度和电导率。硅钢片就是在薄钢片中掺杂硅，以达到减小铁心钢片电导率的目的。

值得指出的是，对于低频情况，涡流的去磁效应和集肤效应虽并不明显，但涡流损耗较大；对于高频情况，由于磁导率随频率的增加而减少，因此，B z av 将减小。且因涡流的去磁效应，使中间磁场减弱，涡流分布呈趋于表面的集肤效应，导致涡流所经路径的交流电阻增大(相当于γ 减小)，因而涡流损耗将比低频时有所减少。

2．涡流的工业应用

感应加热、金属管道无损检测、电度表、电冶金等。

图薄铁片中磁场、电流分布曲线

金属管道裂纹无损检测系统如图4-8(a)所示。在被测管道上绕有N 匝线圈，该线圈的输入阻抗由两部分组成，其虚部与线圈电感相关，实部则与管道的涡流损耗有关。当线圈通有交变电流时，管道上将产生环向涡流，如果管道有如图4-8(b)所示的纵向裂纹，那么，流经裂纹的涡流将被隔断，使得被测管道段的涡流损耗减少，而涡流损耗正比于线圈的输入电阻，因此，可以通过检测线圈的输入阻抗的实部来判断裂纹的位置。但是，这种检测线圈不能检测图4-8(c)所示的环向裂纹。也不能检测透入深度小的管道深处的裂纹。

3．电度表

测量工频电能的电度表通常为感应式测量机构，图4-9给出了单相电度表的基本机构。电度表有两个线圈，分别绕在两个铁心上，一个线圈与负载并联，称为电压线圈，产生的磁通 φu 正比于电源电压；另一线圈与负载串联，称为电流线圈，产生的磁通 φi 正比于负载电流。两个铁心之间放置一铝制转盘，另外还有支撑铝盘的转轴、用作制动元件的永久磁铁、积算机构等。

电度表工作时，交变的φu 和

φi 穿 I N

S 永久磁铁转轴 U

I 铝薄平

板圆盘 N u N i

Z L Z L

负载电压(主)磁通 u u

i i 漏磁通

图4-9 电度表基本机构

(a) (b)

(a) (b) (c)

图4-8 管道无损检测

过铝盘，并在铝盘中产生环向涡流。φu在铝盘上产生的感应电流i u，如图4-10(a)所示，它与φi产生电磁力F1；φi在铝盘上产生的感应电流i i，如图4-10(b)所示，它与φu

产生电磁力F

2。F

和F

使铝盘产生转动力矩M，驱使铝盘转动。转动力矩与制动力矩

平衡时，铝盘将以稳定的转速旋转，铝盘的转速正比于负载的有功功率。如果电度表设计合理，铝盘旋转的圈数与电能成正比。