必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案
1直线的倾斜角与斜率：
(1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着
交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做
直线的倾斜角?
倾斜角[0,180 ), 90斜率不存在■
(2)直线的斜率：k y2
X2 —^(为X2), k
X1
tan . ( R(X1, yj、巳佑y：))
2 ?直线方程的五种形式:
(1)点斜式:
注：当直
y y1 k(x X1)(直线1过点R(X1,y1)，且斜率为k ).
1■线斜率不存在时，不冃匕用点斜式表示，此时万程为X X0 .
(2)斜截式：y kx b ( b为直线1在y轴上的截距).
(3)两点式：
y y1 x X1 (
(% y2, X1 X2). y2 y1 X2 X1
注：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线；
②方程形式为：(x2 x1)(y y1) (y2y1 )(x x1) 0时，方程可以表示任意直线.
(4)截距式：
X y
1 ( a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b 0).
a b
注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线.
(5) —般式：Ax By C 0 (其中A、B不同时为0).
AC A
一般式化为斜截式：y x ，即，直线的斜率：k
B B B
注：(1)已知直线纵截距b，常设其方程为y kx b或x 0.
已知直线横截距x0,常设其方程为x my x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0 .
已知直线过点(X。，y°)，常设其方程为y k(x x°) y或x x°.
(2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合.
3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
(1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点.
(2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点.
(3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点.
4.两条直线的平仃和垂直:
(1 )若11 : y k1x b1,12 ： y k2X b2
① 11//12k1k2,b1 b2 ;② 1112k1k2 1
(2 )若11 : A1x B1y C1 0, 1 2 : A Q X B2 y C2 0,有
① 11 //12 A i B2 A2 B i 且 A C? A2C1.② 11 12 A i A2 B i B2 0 .
5.平面两点距离公式：
(只(人，％)、F2(x2,y2)) , RP2 pg x?)2⑶ y?)2. x轴上两点间距离：
X 。
线段RP 2的中点是M (X o ,y 。)，贝y
y o
6 ?点到直线的距离公式：
-
|Ax 0 By 0 C
点 P(x o ，y o )到直线 l : Ax By C 0 的距离：d _,
— ?
J A 2
B 2
7.两平行直线间的距离：
C l C 2 两条平行直线l 1: Ax By C 1 0, 12： Ax By C 2 0距离：d .
J A 2
B 2
&直线系方程：
(1) 平行直线系方程：
① 直线y kx b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.? ② 与直线l: Ax By C 0平行的直线可表示为Ax By C 1 0.
③
过点P(x °,y °)与直线l : Ax By C 0平行的直线可表示为：
A(x X 。)B(y y °)
0 ?
(2) 垂直直线系方程：
① 与直线l : Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bx Ay C 1 0. ②
过点P(x 0, y 0)与直线l : Ax By C 0垂直的直线可表示为：
B(x X 0) A(y y °) 0 .
(3) 定点直线系方程：
①经过定点P °(X 0,y 。)的直线系方程为y y 。 k(x x °)(除直线x 沧)，其中k
是待定的系数.
l 2)，其中入是待定的系数.
AB
X B X A
X 1
X 2
2 y 1
y 2
2
② 经过定点P 0(x 0,y °)的直线系方程为 定
的系数.
(4)共点直线系方程： 经过两直线h ： A ,x 点
的直线系方程为
A(x X 0) B(y y °) 0,其中代B 是待
A 1x
B 1y B"
C 1 C 1
0, |2: A 2x B 2y C 2 (A 2x B 2y
0交
C 2) 0 (除
9.曲线 C 1 : f (x, y) 0与 C 2: g(x, y) (1)圆的标准方程：
(x a)2
(y b)2 2
r (r
0 )?
(2) 圆的一般方程： 2 2
x y Dx Ey
F 0( D
2
E 2 4F
0)?
(3) 圆的直径式方程:
若人
B(X 2，y 2)
以线
段
AB 为 直径的
圆的方程
(x xj(x X 2) (y yj(y y ?)
注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是
(D
f)
R D 2 E 2 4F -
(2) —般方程的特点：
①x 2
和y 2
的系数相同且不为零；② 没有xy 项;
D 2
2
E 4
F 0
0的交点坐标
10 .圆的方程:
.
是：
0的解
?
方程组g (爼
I5.圆系方程: 2 X 2 y Dx Ey F 0(D 2 E 2 4F 0) (i )过点 A( x i , y-i ), B(X 2,y 2)的圆系方程 :
(X X i )(x X 2) (y y i )(y y 2) [(X X i )(y i
y 2) (y y i )(x i X 2)] 0
(X 为)(x X 2) (y y i )(y y 2) (ax by c) 0,其中ax by c 0 是直 线AB 的方程.
(2)过直线I : Ax By C 0与圆C : 2 2
x y
Dx Ey
F 0的交点的圆系方程：
2 2 x y Dx Ey F
(Ax By C) 0, 入是待定的系数.
(3)过圆G ： 2 2 x y D i x E i y F i 0与圆C 2： 2 x y 2 D 2x E 2y F 2 0的交 点的圆系方程： x 2 2 y D i x E i y F-i (x 2 2
y D 2X E 2 y F 2) 0,入是 「
1十「产 (3)二元二次方程 Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F
① A C 0; ② B 0; ii .圆的弦长的求法： (1) 几何法：当直线和圆相交时，设弦长为 I ，弦心距为
y ： 2 2 2 0表示圆的等价条件是：
③ D 2 E 2 4AF 0
，半径为r , d 2 r 2 ;
(2) 代数法：设|的斜率为k , I 与圆交点分别为 A(x i ,y i ), |AB| i k 2 |X A X B I i ； ly A y B l v k y 2 I 的求法是将直线和圆的方程联立消去 B(X
2，y 2)，则 (其中 | X i X
2
1,1 y i 解) 12. 点与圆的位置关系： ① P 在在圆外
② P 在在圆内
③ P 在在圆上
d .(a X ))2 (b y 。)2
13. 直线与圆的位置关系：
直线A X By C
Aa Bb C |
点 P(X 0, y °)与圆(X (y ° (y ° a)2 (X o (X o a)2 a)2 (X o
a) 2
b) 2 b)2 (y 。 (y 2 r r 2 . b)2 b)2 y 或x ，利用韦达定理求
的位置关系有三种 【P 到圆心距离
与圆(x
a)2
(y
b)2 位置关系有三种
(
d . ----------------- J A 2 B 2
圆心到直线距离为d , 判别式为 .
d r 相离
:设两圆圆心分别为 O i ,O 2，半径分别为r i ,r 2, 外离
由直线和圆联立方程组消去 0; d r 相切 (或
后，所得一元二次方程的
14.两圆位置关系
r i
d
r
i
r i
r
2
外切
4条公切线；d
3条公切线；d
相交 2条公切线.
r i
内含
内切
r 相交
OQ d
无公切线 1条公切
内含
内弹相交外严相离
离等于
半径，
即d r ，求出k ；或利用 0，求出k .若求得k 只有一值，则还有一条斜率不 存在的直线x
x 0 .
2 2 2 2
17.
把两圆 x y D i X E i y F i 0与 xy D 2X E ?y F 2
0方程相减
即得相交弦所在直线方程：(D 1 D 2)x (E 1 E 2)y (F 1 F 2) 0 . 18. 空间两点间的距离公式 ：
若 A (知 y 1,w), B (X 2,y 2,Z 2)，则 AB " xj 2 (y ? yj 2 亿 乙)2
待定的系数. 特别地，当 1 时，X 2
y
2 2 2
D 1x E-i y F ] (x y D 2x
E 2y
F 2) 0 就
是
(D 1 D 2)X
(E 1 E 2)y
(F 1 F 2) 0表示两圆的公共弦所在的直线方程，
即过两圆
交点的直线.
16?圆的切线方程：
(1)过圆x 2
y 2 r 2上的点
2
P(X 0,y °)的切线方程为：x °x y °y r .
(2)过圆(x a)2
(y b)2
2 r 上的点P(x °,y °)的切线方程
为：(x a)(x ° a)
(y b)(y °
b)
2
r .
(3)过圆x 2
y 2 Dx Ey
F 0上的点P(x 。，y 。)的切线方程为：
D(X 0 x) E(y ° y)
X °x y 0y F 0.
2
2
(4)若 P(X 。, 2 y °)是圆x
2
y r 外一点，由P( X 0, y °)向圆引两条切线， 切点分别为
A,B
则直线AB 的方程为xx 0 2
yy 。 r
(5)若 p(
X 0 ,
y 0
)是圆(X
a)：
2 2
'(y b)
r 外一点，由P (x °, y °)向圆引两条切线， 2
切点分别为 A,B 则直线AB 的方程为(x o a)(x a) (y o b)(y b) r (6)当点P(x o ，y o )在圆外时，可设切方程为
y y °
k(x x °)，禾U 用圆心到直线距
、选择题
二、填空题
1 ?方程x y 1所表示的图形的面积为 _______________ 。 2?与直线7x 24y
5平行，并且距离等于 3的直线方程是 ______________
A
?
4x 2y 5 B . 4x 2y 5
C
?
x 2y 5
D . x 2y 5
2.
若 A( 2,3), B(3, 2),C(1,m)三点共线
则m 的值为（
）
A
.1
B.
2
1 c
C. 2
D. 2
2
3.
直线冷 否
a b
1在y 轴上的截距是（
)
A . b
B . b 2
C . b 2
D . b
4. 直线kx y 1 3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点（
）
A . (0,0)
B . (0,1)
C . (3,1)
D . (2,1)
5. 直线xcos ysin
a 0 与 xsin
y cos b 0的位置关系是
A . 平行
B .垂直
C . 斜交
D .与a,b,的值有关
6. 两直线3x y
3 0与6x my 1
0平行，则它们之间的距离为（
1已知点A （1,2）, B （3,1），则线段 AB 的垂直平分线的万程是（ ）
A . 4
B . —>/13
13
C .舒
D - 270 10
7.已知点 A(2,3), B( 3, 2)
，若直线l 过点P （1,1）与线段AB 相交，则直线1的
斜率k 的取值范围是（
)
k
c
2
k
3 -
4
B.
3 - 4
k
)
2 2
3?已知点M(a,b)在直线3x 4y 15上，则 a b 的最小值为 ________________
4.将一张坐标纸折叠一次， 使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(m, n)重合，则m n 的值是
__________________________ 。
5 .设a b k(k 0,k 为常数)，则直线ax by 1恒过定点 _________________________ .
三、解答题
1?求经过点 A( 2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是
1的直线方程。
2
.一直线被两直线l i ：4x y 6 0, I 2 : 3x 5y 6 0截得线段的中点是 P 点，当P 点 分别为(0, 0) ,
(0,1)时，求此直线方程。
a 及x
b 之间的一段图象近似地看作直线，设
a c
b ,
1
边厶ABC ，如果在第一象限内有一点 P(m,—)使得△ ABP 和厶ABC 的面积相等,
2
求m 的值。
2.把函数
证明:
fc
的近似值是：fa 計fb
fa
4 .直线y
2
1和x 轴，y 轴分别交于点
3
代B ，在线段AB 为边在第一象限内作等
1 1
5.( , ) ax by 1 变化为 ax (k a)y 1,a(x y) ky 1
0,
k k
对于任何a R 都成立，则
x y 0
ky 1 0
1.B
2.A
3.B
4.C
5.B
6.D
7.C 线段AB 的中点为 k
AB
由kx
cos 把3x k pA 填空题 0,则y
sin 2,k pB 1.2 方程x 2.7x 24y 70 设直线为7x 3
(2,3
),垂直平分线的k 2， 2
m 2 可 ,m -3 2
b 2
3k 得 k(x 3) sin ( cos )
0变化为6x 2y
3
,k i k pA ,或k
4
1对于任
何
6 0,则
k pB
1所表示的图形是一个正方
形,
0,或 7x 24y 80 0
24y c 0,d
c 5 24^
3.3 .a 2 b 2
的最小值为原点到直线
3x 4y
y | 2(x 2),4x
R 都成
立,
1 ( 6) 、6
2 22
其边长为 、、2
3,c 70,或
15的距
离:
2y 5 0
7.10 20
80
15 5
n 3 ,
—m 7 小
23
1 2( 2)
m _ 2 也关于y 1
2(x 2)对称，则 2
，得
5
n 3 1 21
—
n
m 7 2
5
(7,3)与点(m, n)
2)对称，则点 1 2(x 4. 44 点(0, 2)与点(4,0)关于y
5