初中数学八年级上整式乘法及因式分解知识点及经典题型
整式的乘法及因式分解知识点
1．幂的运算性质：
a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()
n
m a ＝ a mn （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．
例： (－a 5)5
3．()n
n n
b a ab = （n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．
4．n
m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
5．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．
6．负指数幂的概念：
a －p ＝p
a 1 （a ≠0，p 是正整数）
任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．
也可表示为：p
p
n m m n ?
?? ??=?
?
? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）
7．单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
8．单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
9．多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
10、因式分解中常用的公式，例如：
（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2
=(a+b)(a-b)；
(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2
；
(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2
)；
(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2
)． 下面再补充两个常用的公式：
(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
；
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2
-ab-bc-ca)；
11、凡是能用十字相乘法分解因式的二次三项式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ?=- >0而且
是一个完全平方数。（a 、b 、c 是常数）
整式的乘法及因式分解相关题型：
一、有关幂的典型题型：
公式的直接应用：（1）2
2253)(63
1
ac c b a b a -?? （2）423
3)2()2
1(n m n m -?-
1、若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为
2、如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是
3、已知102m =，103n =，则3210
m n
+=____________．
练习题：若._____34,99221
3
=-=??++-m m y x y x y
x n n m m 则
如果2x a =，3y a =，则23x y
a
+=______________． 4、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 5、若142-=y x ，1327+=x y ，则y x -等于（ ）
（A ）－5 （B ）－3 （C ）－1 （D ）1
6、计算:2003
2）（-·200221）（等于( )． (A)－2 (B)2 (C)－
21 (D)2
1 7、计算：1003
1002
)16
1()
16(-
?-＝ ． 8、已知,2,2
1
==
mn a 求n m a a )(2?的值 练习题：（2）若的求n n n x x x 22232)(4)3(,2---=值
（3）若0352=-+y x ，求y
x 324?的值．
9、若1
4
2-=y x
，1
3
27+=x y ，则y x -等于（ ）
（A ）－5 （B ）－3 （C ）－1 （D ）1 10．如果55
2=a ，44
3=b ，33
4=c ，那么（ ）
（A ）a ＞b ＞c （B ）b ＞c ＞a （C ）c ＞a ＞b （D ）c ＞b ＞a
练习题：如果a=223，b=412,c=87
,比较a 、b 、c 的大小
乘法法则相关题目：
法则应用：)3
1
1(3)()2(2
x xy y x -
?+-?-； （2）)12(4)392(32--+-a a a a a （3）))(2(y x y x -+ （4）(－4x 2＋6x －8)·(－1
2
x 2)
（5）（2x 2
y ）3
·（-7xy 2
）÷14x 4y 3
（6）3
2
23
2512152???
??-÷??? ?????? ??xy y x y x
（7）2
2221524125??
?
??-???? ??-÷??? ??-+n n n n b a b a b a
（8）()()[]()()[]
2
3
4
5
64y x x y y x y x +?-÷+-；（9）()()[]()()[]
2
3
5616b a b a b a b a -+÷-+
1、 (－3x 2
)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝
2、在(ax 2＋bx －3)(x 2－
1
2
x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝ 3、一个长方形的长是10cm ，宽比长少6cm ，则它的面积是
，若将长方形的长和都扩大
了2cm ，则面积增大了 。 4、若 (ax 3m y 12)÷(3x 3y 2n )=4x 6y 8 , 则 a = , m = ,= ;
5．先化简，再求值：（每小题5分，共10分） （1）x （x -1）+2x （x +1）－（3x -1）（2x -5），其中x =2． （2）3
42)()(m m m -?-?-，其中m =2-
（3）2
2
()()()2a b a b a b a +-++-，其中1
33
a b ==-，． 6、已知：3
2
a b +=
，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 7、在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：2
2
a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24x =的解．
乘法公式相关题目:
3、2
2
2
____9(_____)x y x ++=+；2
235(7)x x x +-=+（______________）
4、已知15x x +=，那么331x x +=_______；2
1x x ?
?- ??
?=_______。
5、若2
2
916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是__________。
A y x y x y x ?-=+--)(22，则A =_____________________
6、证明x 2
+4x+3的值是一个非负数
练习题：a 2
-6a+10的值是一个非负数。
7、当代数式x 2+4x+8的值为7时,求代数式3x 2
+12x-5的值.
因式分解：
基础题：（1）2220.25a b c -（2）29()6()1a b b a -+-+
（3）42222244a x a x y x y -+ （4）22()12()36x y x y z z +-++
2、分解因式：
2
168()()x y x y --+-= . 3. （2011广东广州市，19，10分）分解因式8(x 2－2y 2
)－x(7x ＋y)＋xy ．
4. (2011 浙江湖州，18，6)8因式分解：3
9a a -
5、分解因式：2
222c b ab a -+- 6、分解因式：652
++x x
练习题：分解因式：（1）672
+-x x 、（2）101132
+-x x （3）2
2
1288b ab a --
7、分解因式（1）262234+---x x x x
解：原式=)1162(222x x x x x +-
--=[]6)1
()1(2222-+-+x x x
x x
设t x x =+1，则21
222-=+t x x
∴原式=[
]6)222
2---t t x （
=()10222--t t x =()()2522
+-t t x =??
? ??++??? ??-+215222x x x x x
=???
??++??? ??-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2
--+x x x
（2）144234+++-x x x x
解：原式=22241
(41)x x x x x -++
+=??????+??? ??--??? ?
?+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21
222+=+y x x
∴原式=22(43)x y y -+=2
(1)(3)x y y --
=)31)(11(2----x
x x x x =()()1312
2----x x x x
例15、分解因式（1）4323+-x x
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x =)
1)(1(3)1)(1(2
-+-+-+x x x x x =
)44()43(2++--x x x x
=)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =
)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x
=2
)2)(1(-+x x =2
)2)(1(-+x x
（2）3369-++x x x
解：原式=)1()1()1(3
6
9
-+-+-x x x
=)1()1)(1()1)(1(3
3
3
3
6
3
-++-+++-x x x x x x =)111)(1(3
3
6
3
+++++-x x x x =)32)(1)(1(3
6
2
++++-x x x x x
初二数学—整式的乘法知识点归纳与练习
解析《整式乘法》知识点 五、同底数幂的乘法 1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作a n，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，a n的结果叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a m﹒a n=a m+n。 4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m﹒a n。 5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。 八、同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m÷a n=a m-n（a≠0）。 2、此法则也可以逆用，即：a m-n = a m÷a n（a≠0）。 十、负指数幂 1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。 十一、整式的乘法 （一）单项式与单项式相乘 1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2、系数相乘时，注意符号。 3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。 5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。 6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。 （二）单项式与多项式相乘 1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。 2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。 （三）多项式与多项式相乘 1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。 2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。 3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。 4、运算结果中有同类项的要合并同类项。 5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。 十二、平方差公式 1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。 2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。 3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。 4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成
人教版初中数学因式分解知识点训练及答案
人教版初中数学因式分解知识点训练及答案 一、选择题 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．m （a +b ）＝ma +mb B ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21 C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1） D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A 、是整式的乘法，故A 不符合题意； B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意； C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意； D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意； 故选C ． 【点睛】 本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 2．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y 【答案】D 【解析】 【分析】 判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系． 【详解】 解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20， 2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>, 0x y ∴->， x y ∴>， 故选:D ． 【点睛】 本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大. 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222 111x y x x y -+=-++
《-整式乘除与因式分解》知识点归纳及经典例题
第十五章 整式乘除与因式分解 知识点归纳： 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：532)()()(b a b a b a +=+?+ 2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???- 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m φ 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 5、零指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算： 6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：=?-xy z y x 3232 。 7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。如：)(3)32(2y x y y x x +--= 。 8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 9、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：))((z y x z y x +--+ = 10、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。
整式的乘法讲义
课 题 整式的乘法 授课日期及时段 2014年7月22日8:00——10:00 教学目标 掌握幂运算以及单项式与多项式之间的运算，会用科学计数法表示较大的数或较小的数 重点、难点 幂运算以及用科学计数法表示一个数。 教 学 内 容 一、疑难讲解 二、知识点梳理 知识点一：同底数幂的乘法 (1)法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 (2)符号表示：n m n m a a a +=?(m ，n 都是正整数)． (3)拓展：①当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有同样的性质，即a m ·a n ·…·a r ＝a m ＋n ＋…＋r (m ，n ，…，r 都是正整数)． ②法则可逆用，即n m n m a a a ?=+ (m ，n 都是正整数)． 谈重点 同底数幂的特征 “同底数幂”是指底数相同的幂，等号左边符合几个同底数幂相 乘，等号右边，即结果为一个幂．注意不要忽视指数为1的因式． 例1、计算 （1）75)()(x x -?- （2）)()(2b a b a +?+ （3）26a a ?- （4）32)2()2(x y y x -?- 例2、已知25123x x x x a a =??+，解关于y 的方程1-=a ay 。
知识点二：幂的乘方 (1)法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (2)符号表示：mn n m a a =)((m ，n 都是正整数)． (3)拓展：①法则可推广为[(a m )n ]p ＝a mnp (m ，n ，p 都是正整数) ②法则可逆用：n m mn a a )(=(m ，n 都是正整数) 警误区 幂的乘方的理解 不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算是转化为指 数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)． 例3、计算 （1）42)(xy - （2）33)2(ab - （3）3223)()(x x -?- （4）344321044)(52)2(2)2(x x x x x ?+-?+- 知识点三：积的乘方 (1)法则：积的乘方，等于各因式乘方的积。 (2)符号表示：n n n b a ab =)((n 为正整数)． (3)拓展：①三个或三个以上的数的乘积，也适用这一法则，如：(abc )n ＝a n b n c n .a ，b ，c 可以 是任意数，也可以是幂的形式．②法则可逆用：n n n ab b a )(=.(n 为正整数)． 警误区 积的乘方的易错点 运用积的乘方法则易出现的错误有：(1)漏乘因式；(2)当每个因 式再乘方时，应该用幂的乘方的运算性质，指数相乘，而结果算式为指数相加；(3)系数计算错误． 例4、已知：的值。求b a b a 3210,610,510+==
初中数学因式分解难题汇编及答案
初中数学因式分解难题汇编及答案 一、选择题 1．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ） A ．-2 B ．2 C ．-50 D ．50 【答案】A 【解析】 试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可． 当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2． 考点：因式分解的应用． 2．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．8 D ．-8 【答案】B 【解析】 【分析】 利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值． 【详解】 ∵()()253215x x x x -+=-- ∴2k -=- 解得2k = 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键． 3．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( ) A ．23 B ．2 C ．83 D ．163 【答案】C 【解析】 【分析】 利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进 行计算即可． 【详解】 ∵12,23 x y xy -==， ∴43342x y x y - =x 3y 3(2x-y)
=(xy)3(2x-y) =23×1 3 =8 3 ， 故选C． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（） A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a C．6x2y3＝2x2?3y3D．mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】 解：A、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意； B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从左到右的变形是整式乘法，不合题意； C、6x2y3＝2x2?3y3，不符合因式分解的定义，不合题意； D、mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1不符合因式分解的定义，不合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别． 5．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是( ) A．(m－n)(m＋n) B．(－x－y)(－x－y) C．(x4－y4)(x4＋y4) D．(a3－b3)(b3＋a3) 【答案】B 【解析】 A.(m－n)(m＋n)，能用平方差公式计算； B.(－x－y)(－x－y)，不能用平方差公式计算； C.(x4－y4)(x4＋y4)，能用平方差公式计算； D. (a3－b3)(b3＋a3)，能用平方差公式计算. 故选B. 6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
整式的乘法与因式分解培优
第二章 整式的乘法 【知识点归纳】 1.同底数幂相乘， 不变， 相加。a n.a m = (m,n 是正整数) 2.幂的乘方， 不变， 相乘。(a n )m = (m,n 是正整数) 3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n = (n 是正整数) 4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。 5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）= 6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。 7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）= 8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。 9.公式的灵活变形： （a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ， a 2+ b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。 【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数 式234a -+2221 2(3)4b a b --的值 【例2】已知两个多项式A 和B ， 43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？
【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？ 【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 . 【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值. 【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ； （2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ． 【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示： （1）请你写出图3所表示的一个等式： ． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．
整式的乘法专题复习一
整式的乘法复习专题一(幂的运算) 知识点一：同底幂的乘法和除法 a m ?a n =a m+n ； a m ÷a n =a m-n 延伸：a m ?a n ?a p =a m+n+p 逆用：a m+n =a m ?a n ；a m-n =a m ÷a n 底数互为相反数的转化：1 21 222)(;)(---=-=-n n n n a a a a 针对性练习： 1. 102·107= ； a·a 3·a 4= ； x n+1·x n-1=_____； 52()()x x -÷-=______；10234 x x x x ÷÷÷ =______. 2. x 3·x· =x 5； x 4n ·_____=x 6n ； (－y)2·_____=y 4；÷8 a =3 a ； 3. 若a x =2，a y =3，则a x+y =_____；a x÷y =_____. 4. 已知x m+2=2，x n-2=6，则x m+n =_____. 5. x·____=－x 7； (－a 4)·a 3=____； (－a)4·a 3=____； －a 4·a 2=____； 6. (a －b)·(b －a)2·(b －a)3 = ； 7. 若5x =2，5y =3，则5x+y =_____； 5x+2=_____； 5x+y+1=_____； y x -5= ；1 5-y = . 8. 若x m-2·x 3m =x 6，求m 2-2m+2的值 9. 计算：x 2·2x 5-(-x 3) ·x 4+x 6·(-x) 知识点二：负指数和零指数： p p p a a a ?? ? ??==-11(a≠0)；10=a (a≠0). 针对性练习： 1. 2 2-= ；2 ) 2(--= ；221- -??? ??= ；2 21-?? ? ??= . 2. 0 )2(-= ；0 2= ；0 73-?? ? ??= ；()0 1π-= . 3. 若0 (2)x -=1，则x . 4. 已知2 (1) 1x x +-=，且x 是整数，则x= . 知识点三：幂的乘方和积的乘方 () mn n m a a =；()m m m b a ab =. 逆用：()() m n n m mn a a a ==；()m m m ab b a =? 针对性练习： 1. 221()3ab c -=________,23()n a a ? =_________. 2. 5237()()p q p q ????+?+???? = ,23( )4n n n n a b =. 3. 3() 214()a a a ?=； 221()()n n x y xy -? =__________. 4. 100100 1()(3)3?- =_________； =?2012201388 1-）（_________。 5. 若a 2323=，则a= ；若4312882n ?=，则n=_________. 6. 若2,3n n x y ==，则()n xy =_______，23()n x y =________. 7. 若5x =2，5y =3，则5x+y =____； 52x+2=____； 53x+2y =____;1 25 -x = . 8. 计算8 23 32 ()()[()]p p p -?-?-的结果是( ) 9. 已知55 44 33 2,3,4a b c ===,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.a 初二数学因式分解精选100题 提升课堂托辅中心 初二数学因式分解精选100题 2013年1月25日 一、选择题 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A (a +3)(a -3)=a 2-9 B x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C a 2 b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x 1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ） A -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 21xy 2+21x 2y =2 1xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ） (A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ） (A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +4 5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是 （ ） (A) 412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)224914b ab a ++- (D) 13292+-n n 6.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（） (A)4x(B)-4x(C)4x4(D)-4x4 7.下列分解因式错误的是（） (A)15a2+5a=5a(3a+1) (B)-x2-y2= -(x2-y2)= -(x+y)(x-y)(C)k(x+y)+x+y=(k+1)(x+y) (D)a3-2a2+a=a(a-1)2 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（） (A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2 9.下列多项式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是（）(A)①②(B)②④ (C)③④(D)②③ 10.两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（） (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数 11下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（） A a(a＋b－1)=a2＋ab－a B a2 –a－2=a(a－1)－2C－ 4 a2＋9b2=(－2a＋3b)(2a＋3b) D．2x＋1=x(2＋1/x) 12下列各式分解因是正确的是（） 整式的乘法和因式分解 一、整式的运算 1、已知a m =2，a n =3，求a m +2n 的值； 2、若32=n a ，则n a 6= . 3、若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。 4、已知2x +13x 1=144，求x ； 5．2005200440.25?= . 6、( 23 )2002×(1.5)2003÷(－1)2004 ＝________。 7、如果(x +q )(3x 4)的结果中不含x 项（q 为常数），求结果中的常数项 8、设m 2+m 1=0，求m 3+2m 2+2010的值 二、乘法公式的变式运用 1、位置变化，x y y x 2、符号变化，x y x y 3、指数变化，x 2y 2x 2y 24 4、系数变化，2a b 2a b 5、换式变化，xy z m xy z m 6、增项变化，x y z x y z 7、连用公式变化，x y x y x 2y 2 8、逆用公式变化，x y z 2 x y z 2 三、乘法公式基础训练: 1、计算 （1）1032 （2）1982 2、计算 （1）a b c 2 （2）3x y z 2 3、计算 （1）a 4b 3c a 4b 3c （2）3x y 23x y 2 4、计算 （1）19992-2000×1998 （2）2 2007 200720082006 -?． 四、乘法公式常用技巧 1、已知a 2b 213，ab 6，求a b 2，a b 2的值。 变式练习：已知a b 27，a b 24，求a 2b 2，ab 的值。 2、已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 变式练习：已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 整式的乘除与因式分解复习 一、整式的乘法 1．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：m n m n a a a +?=（m ，n 都是正整数）。 例1：计算 （1）821010?；（2）23x x ?-（-）（）；（3）n 2n 1n a a a a ++???（4）()()103x x -?-=；（5）322(3)---?- （6）23132--??-+ ??? = 。 例2：计算 （1）35b 2b 2b 2+?+?+（）（）（）；（2） 23 x 2y y x -?（）（2-） 例3：已知x 22m +=，用含m 的代数式表示x 2。 例4已知2a x =，3b x =，求23a b x -的值。 例5已知36m =，92n =，求2413 m n --的值。 1整式的除法运算 例：()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。 例2：已知32214369 m n a b a b b ÷=，则m 、n 的取值为（ ） A 、 4,3m n == B 、4,1m n == C 、1,3m n == D 、2,3m n == 例3若5320x y --=，则531010x y ÷=_________。 例4若3129 327m m +÷=，则m =__________。 2．幂的乘方（重点）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如 53a （）是三个5a 相乘，读作a 的五次幂的三次方。 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 m n mn a a =（）（m ，n 都是正整数）。 例4：计算 （1）m 2a （）；（2）()4 3m ??-?? ；（3）3m 2a -（） 3．积的乘方（重点）积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。如：()()()()3 ab ab ab ab =?? 积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。如： n n n ab a b ?（）= 例5：计算 （1）()()2332x x -?-；（2）()4xy -；（3）()3 233a b - 人教版初中数学因式分解真题汇编含答案 一、选择题 1．下列分解因式正确的是（ ） A ．24(4)x x x x -+=-+ B ．2()x xy x x x y ++=+ C ．2()()()x x y y y x x y -+-=- D ．244(2)(2)x x x x -+=+- 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底． 【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()2 1x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2 x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确； D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 2．已知a 、b 、c 是ABC V 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC V 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状． 【详解】 已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0， ∵a+b-c ≠0， ∴a-b=0，即a=b ， 则△ABC 为等腰三角形． 故选C ． 【点睛】 此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 3．若多项式3212x mx nx ++-含有因式()3x -和()2x +，则n m 的值为 （ ） 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法 专题一 幂的性质 1．【2012·湛江】下列运算中，正确的是（ ） A ．3a 2－a 2＝2 B ．(a 2)3＝a 9 C ．a 3?a 6＝a 9 D ．(2a 2)2＝2a 4 2．【2012·泰州】下列计算正确的是（ ） A ．3x · 622x x = B ．4x ·82x x = C ．632)(x x -=- D ．523)(x x = 3．【2012·衢州】下列计算正确的是（ ） A ．2a 2＋a 2＝3a 4 B ．a 6÷a 2＝a 3 C ．a 6·a 2＝a 12 D ．( －a 6)2＝a 12 专题二 幂的性质的逆用 4．若2a =3，2b =4，则23a+2b 等于（ ） A ．7 B ．12 C ．432 D ．108 5．若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值． 6．计算：(1)(－0.125)2014×(－2)2014×(－4)2015； (2)(－19 )2015×811007． 专题三 整式的乘法 7．下列运算中正确的是（ ） A ．2325a a a += B ．22(2)()2a b a b a ab b +-=-- C ．23622a a a ?= D ．222(2)4a b a b +=+ 8．若（3x 2－2x +1）（x +b ）中不含x 2项，求b 的值，并求（3x 2－2x +1）（x +b ）的值． 9．先阅读，再填空解题： （x +5）（x +6）=x 2+11x +30； （x －5）（x －6）=x 2－11x +30； （x －5）（x +6）=x 2+x －30； （x +5）（x －6）=x 2－x －30． （1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________． （2）根据以上的规律，用公式表示出来：________． （3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________． 专题四 整式的除法 10．计算：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=________． 11．计算：2362743 19132 ）（）（ab b a b a -÷-． 12．计算：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a +b ）4． 状元笔记 【知识要点】 1．幂的性质 (1)同底数幂的乘法：n m n m a a a +=? (m ，n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (2)幂的乘方：()m n mn a a =(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (3)积的乘方：()n n n ab a b =(n 都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别 乘方，再把所得的幂相乘． 2．整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． (2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加． (3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 八年级14.1整式的乘法知识点总结 【知识点一】整式的混合运算 例题一、计算：()()()2443][-a a a a -+-?? 例题二、计算：3 222132213??? ??-???? ??-+xy y y x 例题三、计算：()()()()y x y x y x y x 4333223+--++ 【知识点二】利用幂的运算法则解决问题 例题一、已知510=a ，610=b ，求b a 3210+的值。 例题二、解方程：486331222=-++x x 例题三、已知0352=-+y x ，求y x 324?的值。 【知识点三】整式除法的运用 例题一、已知()p n y mx y x y x 72323212--=?? ? ??-÷，求n,m,p 的值。 例题二、已知一个多项式与单项式457-y x 的积为()2 234775272821y x y y x y x +-，求这个多项式 【知识点四】整式化简求值 例题一、先化简，再求值： ()() ()x x x x x x x x -+-----321589622，其中61-=x 例题二、先化简，再求值： ()()()?? ? ??--++--+-y x x y x x y x y x 2563222，其中2,1=-=y x . 【知识点五】开放探求题 例题一、若多项式()()4 3 2 2+ - + +x x n mx x展开后不含有3x项和2x项，试求m,n的值。例题二、甲乙二人共同计算一道整式乘法：()()b x a x+ +3 2，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为10 11 62- +x x；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为10 9 22+ -x x。 （1）你能知道式子中b a,的值各是多少吗？ （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果。 例题三、若x是整数，求证 1 21 22 3 + -+ -- x x x x x是整数。 数学因式分解习题： 1、提公因式法因式分解 （） 2226m n mn -＝ (4)9123y 23--y =___________________ (6)x n x m 221624-- 2、利用平方差公式因式分解 29a - ＝ (6)22814y x -=____________________ 3、利用完全平方公式因式分解 （4）24129m m -+＝ （5） ________________102522=+-n mn m 4、利用十字相乘法因式分解 （8）256x x -+= （9）2412x x +-= 5、将下列多项式因式分解 （1）2510a b abc - （2）81182+-a a （5）245a a -- （6）2441a a -+ （7）220m m -- （三）把下列各式分解因式: 3、2244y xy x -+- 4、212x x -- 7、-x x 253+ 8、 322344x y x y xy ++ 9、2()10()25x y x y +-++ 10、22(2)(2)x y x y +-+ (四)用适当的方法计算： （3）22300600297297-?+ （4）22231019923?-? （五）把下列各式因式分解 2、 ()()224a b a b +-- 解：原式= 3、 323412x x x +-- 解：原式= 分式练习题 7.若关于x 的方程01 11=----x x x m ，有增根，则m 的值是（ ） A.3 B.2 C.1 D.-1 8.若方程,) 4)(3(1243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为（ ） A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1 9.如果,0,1≠≠= b b a x 那么=+-b a b a （ ） A.1-x 1 B.11+-x x C.x x 1- D.1 1+-x x 10.使分式442-x 与6526322+++-+x x x x 的值相等的x 等于（ ） A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 满足方程：2 211-=-x x 的x 的值是________. 12. 当x =________时，分式x x ++51的值等于2 1. 13.分式方程02 22=--x x x 的增根是 . 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时. 15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余 整式乘除与因式分解 一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质： a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2．() n m a ＝ a mn （m 、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3． ()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 练习： （1）y x x 2325? （2）)4(32 b ab -?- （3）a ab 23? （4）222z y yz ? （5）)4()2(2 32xy y x -? （6）22253)(63 1ac c b a b a -?? 4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2 （4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )2 5．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？ 6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1 （a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p p n m m n ? ?? ??=? ? ? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例：（1）223123abc abc b a ?? （2）4233)2()2 1 (n m n m -?- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 2 1)232(2?- （3）)32()5(-2 2 n m n n m -+? （4）xyz z xy z y x ?++)(23 2 2 9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3） 2)2n m +-（ 练习： 1．计算2x 3·(－2xy)(－ 1 2 xy) 3的结果是 2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝ 3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为 4．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是 5．－[－a 2(2a 3－a)]＝ 6．(－4x 2＋6x －8)·(－ 12 x 2 )＝ 7．2n(－1＋3mn 2 )＝ 8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝ 9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝ 10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－1 2 x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝ 11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为 ，体积为 。 12．一个长方形的长是10cm ，宽比长少6cm ，则它的面积是 ，若将长方 形的长和都扩大了2cm ，则面积增大了 。 中考数学知识点：整式的乘法_考前复习 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。更多整式的乘法如下：中考数学知识点：整式的乘法 整式的乘法 1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆; ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则; ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式; ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用; ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 2.单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同; ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号; ③在混合运算时，要注意运算顺序。 3.多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积; ②多项式相乘的结果应注意合并同类项; ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到 整式的乘法试题及答案 ↗(人教版. 整式的乘法与因式分解. 第14章.2分)1.计算(2a 2)3?a 正确的结果是( ) A . 3a 7 B 4a 7 C a 7 D . 4a 6 考点：单项式乘单项式;幂的乘方与积的乘方. 专题：计算题. 分析：根据幂的乘方与积的乘方、单项式与单项式相乘及同底数幂的乘法法则进行计算即可.↗(人教版. 整式的乘法与因式分解. 第14章.2分)2.若□×3xy =3x 2y ，则□内应填的单项式是( ) A . xy B .3xy C .x D . 3x 考点：单项式乘单项式.初二数学因式分解精选100题
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