数值分析试题集

2 A J ：；［则 || A 「一—

仙二 -------------

'a+1 2

3

设「_1 J ，当a

满足条件

时，A 可作LU 分解。

(试卷一)

一 (10 分)已知％ =1.3409, x 2 =1.0125都是由四舍五入产生的近似值， 判断x-i x 2及x 1 - x 2

有几位有效数字。 二

(

1

多项式

三(15分)设f(x)? C 4［a,b ］，H (x )是满足下列条件的三次多项式

H (a)二 f (a) , H (b)二 f (b) , H (c) = f (c) , H (c)二 f (c)

( a ：：： c ：： b )

求f (x) -H(x)，并证明之。

1

四(15分)计算，

: =10』。

o

1 +X

五(15分)在［0，2］上取X 。= 0, X 1 = 1, X 2 = 2，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代 数精度。

六(10分)证明改进的尢拉法的精度是 2阶的。 七(10分)对模型y ■ = ■?y ,

■：■ 0，讨论改进的尢拉法的稳定性。

八(15分)求方程x 3 4x 2 - 7x - 1 = 0在-1.2附近的近似值，；=10 "。

(试卷二)

一 填空(4*2分)

1 { k (x) }k￡是区间［0，1］上的权函数为'(x)=x 2的最高项系数为1的正交多项式族，其中

1

（x ） =1，贝y . X 0（ x ）dx = ------------ ， 1（X ）工 -------

数值分析试题集

3 2 * * *

4设非线性方程f (x)二(x -3x - 3x -1)(x ? 3) = 0，其根& = -3 ,他 =-1，则求为的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 -------------------------------------- 。

广1 —0.5 a '

二(8 分)方程组AX=b，其中A= — 0.5 2 -0.5，X, R3

l -a -0.5 1 』

1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，a取何值时雅可比迭代

收敛最快？

2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。

"V " = f(X y)

三(9分)常微分方程初值问题丿'的单步法公式为y n* = y n」+2hf (x n, y n)，求该

、、y°= y(x°)

公式的精度。

四(14分)设A X =b为对称正定方程组

1求使迭代过程X k 1二X k ?〉(b-A?X k)收敛的数〉的变化范围；

『2 -1 -1、、

1、『0

、

2用此法解方程组-12 0-X2=1

L1 0

(取初值X。=( 1,1,1)T，小数点后保留4位，给出前6次迭代的数据表)

(试卷三)

on

一设A= ，求A的谱半径P (A)，范数为1的条件数cond (A)1。

(—5 1丿

设f (x) =3x2 5,x i =i, (i =0,1,2，…)，分别计算该函数的二、三阶差商

f [X n , x n1 x 2],f[x n, X n 1 ,x n '2 , x n '3]

设向量x = (% , X2 , X3)T

X" + 2x2+ x3,问它是不是一种向量范数？请说明理由。

若定义||x

若定义11X ||二

2

-1

-1 x1 3x2

-1

2

X3，问它又是不是一种向量范数？请说明理由。

-1

0 ,将矩阵分解为

1」

A二LU，其中L是对角线元素l H0(^ 1,2,3)的

、 2

五 设有解方程12 - 3x 2cosx =0的迭代法x n 1 = 4亠cosx n

3

1证明：对任意x 0三(-：：,：：)，均有lim Xn = x ( x 为方程的根);

2取X 。=4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过 10；，列出各次迭代值;

3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。 六对于求积公式

1求该求积公式的代数精度； 2 证明它为插值型的求积公式。

(试卷四)

一填空题(每空5分，共25分)

1设精确值为x =0.054039412，若取近似值x^ 0.05410281，该近似值具有 效数字。

2

2 设 f(x) =3x 5，X i =i (i = 0,1,2,)，则三阶差商 f[x n ,x n 1,x n 2,x n 3]

(1 1、

3 A =

，贝U P(A)= -------------- 。

5 1丿 勺+1 2"

T 亠

4 设A=

，当a 满足条件 ------------ 时，必有分解式 A=LL ，其中

'、、a 4 丿

素为正的下三角阵。

1

1

2 1112 3

5 求积公式 f(x)d^ - f(—) _一 f(—) ? _ f(—)的代数精度为 --------------- 。

0 3 4 3 2 3 4

二(10分)设f (X )? C 3[ 0,1]，试求一个次数不超过 2的多项式P(x)，使得

p(0) = f(0) =1, p(1) = f(1) =e, p(1) = f (1) =e

三(20分)1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式

1

1 1

f(x)dx ： 3

【2f (4)

------- 位有

L 是对角线元

b

f (x)dx :

a

b 「a I

f (a) f (b)

(b - a)2

12

1

f (b) - f (a)

-f (!) 2f

2

且其余项为

「窘宀)((a?) 2利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式X

n h2

f(X)dX ：「f (X n)-f (X o) 1

12

x o

这里：T n =h」f(X o) f(X!)f(x nj p - f(X n) , X i

IL2 2

四(15分)试确定系数：?，[,，使微分方程的数值计算公式

y i ? (y nj y n) h y.」y n)

具有尽可能高的局部截断误差。

(符号说明：Y nj = y (X n _1), y n = Y (X p))

3 2

五(15分)方程X - X -1 = 0在X。= 1.5附近有根，对于给定的迭代关系式

, 1

X k 1 =1 兀，试问：

X k

1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。

2、估计该迭代式的收敛速度。

广1-0.5 a 、「1

、

六(15分)方程组AX = b，其中A =-0.52-0.5，b =2

-0.51>L丿

试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的a取值，并用2至3个a的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。

(说明：数值实验的数据请以列表形式写出。)

(试卷五)

一填空题(每空5分，共25分)

1已知X1 =1.3409，X2 =1.0125都是由四舍五入产生的近似值，X1 X2的有效数字是几

位---------- 。

2

2设f(x) =3x 5，X i =i (i =0,1,2,)，则二阶差商f[X n,X n 1,X n 2H --------------------------- 。

‘1 1、

3 A = ，则II A || 1 = ---------------------- 。

心1丿

a +1 2、

4设A= ，当a满足条件----------- 时，A可作LU分解。

T 4丿

n

5设X i (i =0,1, 2, ,n)是互异节点，对于k=0,1, 2厂，n，、x：l i(x)二 ----------- 。

i=0