法向量的求法及其空间几何题的解答
状元堂一对一个性化辅导教案
教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日
学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解
难度星级★★★★
教学内容
上堂课知识回顾（教师安排）：
1.平面向量的基本性质及计算方法
2.空间向量的基本性质及计算方法
本堂课教学重点：
1.掌握空间法向量的求法及其应用
2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距
3.熟练灵活运用空间向量解决问题
得分：
平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量
1、定义：如果α⊥→
a ，那么向量→
a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1，设→
n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:.|
|||arccos 2,2
→→→
→→
→??->=
<-=
AB n AB
n AB n π
π
θ 图2-1-2:2|
|||arccos 2,π
π
θ-??=->=<→
→→
→
→
→
AB n AB n AB n
(2)、求面面角:设向量→
m ，→
n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为：
θ
β
α
→
m
图2-2
→
n
θ
→
m
α
图2-3
→
n
β
|
,cos |sin ><=→
→AB n θA
B
α
图2-1-2
θ
C
→
n 图2-1-1
α
θ
B
→
n
A C
|
|||arccos
,→
→
→
→→
→??>== m n m θ（图2-2）; | |||arccos ,→ → → →→ →??->== m n m πθ(图2-3) 两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，→ m 的方向对平面α而言向外，→ n 的方向对平面β而言向内；在图2-3中，→ m 的方向对平面α而言向内，→ n 的方向对平面β而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角βα--l 的平面角。 2、 求空间距离 （1）、异面直线之间距离: 方法指导：如图2-4,①作直线a 、b 的方向向量→ a 、→ b ， 求a 、b 的法向量→ n ，即此异面直线a 、b 的公垂线的方向向量； ②在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量→ AB ； ③求向量→ AB 在→n 上的射影d ，则异面直线a 、b 间的距离为 | |||→ → →?= n n AB d ,其中b B a A b n a n ∈∈⊥⊥→ →,,, （2）、点到平面的距离: 方法指导：如图2-5,若点B 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为n ，则点P 到 平面α的距离公式为| |||→ → →?= n n AB d （3）、直线与平面间的距离: 方法指导：如图2-6,直线a 与平面α之间的距离： || AB n d n ?= ，其中a B A ∈∈,α。n 是平面α的法向量 （4）、平面与平面间的距离: 方法指导：如图2-7,两平行平面,αβ之间的距离： 图2-4 n a b A B 图2-7 α β A B → n n A a B α → n 图2-6 图2-5 → n A α M B N O | |||→ → →?= n n AB d ，其中,A B αβ∈∈。n 是平面α、β的法向量。 3、 证明 （1）、证明线面垂直：在图2-8中,→ m 向是平面α的法向量，→ a 是直线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（→ → =a m λ）。 （2）、证明线面平行：在图2-9中,→ m 向是平面α的法向量，→ a 是直线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0=?→→ a m ）。 （3）、证明面面垂直：在图2-10中，→ m 是平面α的法向量，→ n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量垂直（0=?→ → n m ） （4）、证明面面平行：在图2-11中, → m 向是平面α的法向量，→ n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量共线（→ → =n m λ）。 三、高考真题新解 1、（2005全国I ，18）（本大题满分12分） 已知如图3-1,四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ， ⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且PA=AD=DC= 2 1 AB=1，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 解:以A 点为原点,以分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz 如图所示. )1,0,0().(=→AP I ，)0,0,1(=→AD ，设平面PAD 的法向量为)0,1,0(-=?=→ →→AD AP m )0,1,0(=→ DC 又，)1,0,1(-=→ DP ，设平面PCD 的法向量为)1,0,1(=?=→ → → DP DC n 0=?∴→→n m ，→ →⊥∴n m ，即平面PAD ⊥平面PCD 。 图2-11 α → m β → n 图2-10 β α → m → n 图2-9 α → m a → a 图2-8 α a → m → a 图3-1 C D M A P B ).(II )0,1,1(=→ AC ，)1,2,0(-=→ PB ，510 arccos | |||arccos ,=??>=∴<→ →→ →→ →PB AC PB AC PB AC ).(III )21,0,1(-=→CM ，)0,1,1(--=→CA ，设平在AMC 的法向量为)1,2 1 ,21(-=?=→→→CA CM m . 又)0,1,1(-=→CB ,设平面PCD 的法向量为)1,2 1 ,21(---=?=→→→CB CM n . )32 arccos(| |||arccos ,-=??>=∴<→→→ →→ →n m n m n m . ∴面AMC 与面BMC 所成二面角的大小为)32arccos(-.]3 2 arccos [-π或 2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分) 如图3-2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 已知AB ＝AA 1＝a ，B C ＝2a ，M 是AD 的中点。 (Ⅰ)求证：AD ∥平面A 1BC ； (Ⅱ)求证：平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1； (Ⅲ)求点A 到平面A 1MC 的距离。 解:以D 点为原点,分别以DA,DC,DD 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D-xyz 如图所示. ).(I )0,0,2(a BC -=→ ,),,0(1a a BA -=→ ,设平面A 1BC 的法向量为)2,2,0(221a a BA BC n =?=→ →→ 又)0,0,2(a AD -=→ ,0=?∴→→AD n ,→ →⊥∴n AD ,即AD//平面A 1BC. ).(II ),0,22(a a MC =→ ,)0,,22(1a a MA -=→,设平面A 1MC 的法向量为: )2 2,22,(2 221a a a MA MC m -=?=→→→, 又),,2(1a a a BD --=→ ,),,0(1a a BA -=→,设平面A 1BD 1的法向量为: )2,2,0(2 211a a BA BD n =?=→ →→, 0=?∴→→n m ,→ →⊥∴n m ,即平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1. ).(III 设点A 到平面A 1MC 的距离为d, )2 2,22, (2 221a a a MA MC m -=?=→ → → 是平面A 1MC 的法向量, 又)0,0,22( a MA =→ ,∴A 点到平面A 1MC 的距离为:a m MA m d 21 | |||=?=→→ → . 四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲” (1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右图 手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题） 立体几何知识点和例题讲解 一、知识点 <一>常用结论 1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂 直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉= 112233222222123 123 a b a b a b a a a b b b ++++++. 8．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ=r r =1212122222 2 2 1 1 1 222|| || |||| x x y y z z a b a b x y z x y z ++?=?++?++r r r r （其中θ（090θ<≤o o ）为异面直线a b , 所成角，,a b r r 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 9.直线AB 与平面所成角：sin |||| AB m arc AB m β?=(m 为平面α的法向量). 10、空间四点A 、B 、C 、P 共面OC z OB y OA x OP ++=?，且 x + y + z = 1 11.二面角l αβ--的平面角 cos ||||m n arc m n θ?=或cos |||| m n arc m n π?-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 12.三余弦定理：设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角 为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 13.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A B d =||AB AB AB =?222212121()()()x x y y z z =-+-+-. 14.异面直线间的距离： || || CD n d n ?= (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点， d 为12,l l 间的距离). 15.点B 到平面α的距离：|| || AB n d n ?= （n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 16.三个向量和的平方公式：2 2 2 2()222a b c a b c a b b c c a ++=+++?+?+? 222 2||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++?+?+? 17. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有 222 2123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ?++=222123sin sin sin 2θθθ?++=. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 18. 面积射影定理 'cos S S θ =.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、' S ，它们所在平面所成锐二面角的θ). 19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直 径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为6 12 a ,外接球的半径为 64 a . 20. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法） 21. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 〈二〉温馨提示： 1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？ ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次 . ② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是 ． ③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是 ． 二、题型与方法 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力． A B C D 1 A 1 C 1 B 解答过程：解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥． 在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ， AD ∴⊥平面11BCC B ． 取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ， OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ， ，，1(120)B ，，， 1(123)AB ∴=-，，，(210)BD =-，，，1(1 23)BA =-，，． 12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥． 1AB ∴⊥平面1A BD ． （Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ． (113)AD =--，，，1(020)AA =，，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ， 1 00AD AA ?=?∴?=??，，n n 3020x y z y ?-+-=?∴? =??，，03y x z =??∴?=-??，． 令1z =得(301)=-，，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ， 1AB ∴为平面1A BD 的法向量． cos 1 3364222AB AB AB -->===-n n ． ∴二面角1A A D B --的大小为6arccos 4 ． （Ⅲ）由（Ⅱ），1AB 为平面1A BD 法向量， 1(200)(123)BC AB =-=-，，，，，． ∴点C 到平面1A BD 的距离11 222 22 BC AB d AB -===． x z A B C D 1 A 1 C 1 B O F y 小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B 点到平面1AMB 的距离转化为容易求的点K 到平面1AMB 的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法. 考点2 异面直线的距离 此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离. 例2已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离. 思路启迪：由于异面直线CD 与SE 的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离. 解答过程： 如图所示，取BD 的中点F ，连结EF ，SF ，CF ， EF ∴为BCD ?的中位线，EF ∴∥CD CD ∴,∥面SEF , CD ∴到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离. 又 线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF 的距离，设其为h ，由题意知，24=BC ,D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点， 2,2,62 1 ,62=====∴SC DF CD EF CD 3 3222621312131=????=????= ∴-SC DF EF V CEF S 在Rt SCE ?中，3222=+=CE SC SE 在Rt SCF ?中，30224422=++=+=CF SC SF 又3,6=∴= ?SEF S EF 由于h S V V SEF CEF S SEF C ??= =?--3 1 ，即332331= ??h ，解得332=h 故CD 与SE 间的距离为 3 3 2. 小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程. 此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 例3． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程： 解析一 BD ∥平面11D GB ， BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求 点O 平面11D GB 的距离, 1111C A D B ⊥ ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A , 又?11D B 平面11D GB ∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1, 作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1?中，2222 1 2111=??=??=?AO O O S OG O . 又3 6 2,23212111=∴=??=??= ?OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于3 6 2. 解析二 BD ∥平面11D GB ， BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离. 设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则 ，由于632221,111111=??= =?--D GB GBB D D GB B S V V 34 222213111=????=-GBB D V , ,3626 4==∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于 3 62. 小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. B A C D O G H 1 A 1 C 1D 1 B 1O 此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点. 例4、如图，在Rt AOB △中，π6 OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二 面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （错误！未找到引用源。）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （错误！未找到引用源。）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． 思路启迪：（错误！未找到引用源。）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 解答过程：解法1：（错误！未找到引用源。）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O =， CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ?平面COD ． ∴平面COD ⊥平面AOB ． （错误！未找到引用源。）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则，DE AO ∥ CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角． 在Rt COE △中，2CO BO ==，112 OE BO ==， 225CE CO OE ∴=+=． 又132 DE AO ==． ∴在Rt CDE △中，515tan 3 3 CE CDE DE ===． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan 3 ． 解法2：（错误！未找到引用源。）同解法1． （错误！未找到引用源。）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(0023)A ，，，(200)C ，，，(013)D ，，， (0023)OA ∴=，，，(21 3)CD =-，，， cos OA CD OA CD OA CD ∴<>= ，6642322 = =． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为6arccos 4 ． 小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特 O C A D B E O C A D B x y z 殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：?? ? ??2,0π. 考点5 直线和平面所成的角 此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容. 例5. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==． （Ⅰ）证明SA BC ⊥； （Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． 考查目的：本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系， 二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力． 解答过程： 解法二： （Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ， 由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =． 又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -， (200)A ，，，(020)B ，，，(020)C -，，，(001)S ，，，(201)SA =-，，， (0220)CB =，，，0SA CB =，所以SA BC ⊥． （Ⅱ）取AB 中点E ，2202 2 E ?? ? ? ?? ，，，G 连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，2214 4 2G ?? ? ? ?? ，，． 221442OG ??= ? ???，，，22122SE ??= ? ? ?? ，，，(220)AB =-，，． D B C A S D B C A S O E y x z O D B C A S 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直． 所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余． (2220)D ，，，(2221)DS =-，，． 22cos 11 OG DS OG DS α= = ，22sin 11β=， 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为22arcsin 11 ． 小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值. 考点6 二面角 此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视. 例6．如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30． （I ）证明BC PQ ⊥； （II ）求二面角B AC P --的大小． 命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ α β=，所以CO α⊥， 又因为CA CB =，所以OA OB =． 而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=， 从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ?平面OBC ，故PQ BC ⊥． A B C Q α β P A B C Q α β P O H （II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=， BO α?，所以BO β⊥． 过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角． 由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=， 不妨设2AC =，则3AO =，3sin302 OH AO == ． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以3BO AO ==， 于是在Rt BOH △中，3 tan 232 BO BHO OH ∠= ==． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2． 解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图） ． 因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=． 不妨设2AC =，则3AO =，1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=， 所以3BO AO ==． 则相关各点的坐标分别是 (000)O ，，，(300)B ，，，(030)A ，，，(001)C ， ，． 所以(330)AB =-，，，(031)AC =-，，． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ?=??=??，得33030x y y z ?-=??-+=? ?， 取1x =，得1(113)n =，，． 易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量． 设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，． A B C Q α β P O x y z 所以121215 cos 5 ||||51n n n n θ= ==?． 故二面角B AC P --的大小为5 arccos 5 ． 小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点7 利用空间向量求空间距离和角 众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性. 例7．如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面； （2）若点G 在BC 上，2 3 BG = ，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ； （3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ． 命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力． 过程指引： 解法二： （1）建立如图所示的坐标系，则(301)BE =，，，(032)BF =，，， 1(333)BD =，，，所以1BD BE BF =+，故1BD ，BE ，BF 共面． 又它们有公共点B ，所以1E B F D ，，，四点共面． （2）如图，设(00)M z ，，，则203GM z ?? =- ??? ，，， 而(032)BF =，，，由题设得2 3203 GM BF z =-+=， C B A G H M D E F 1B 1A 1D 1C N M E F 1B 1A 1D 1C z x 得1z =． 因为(001)M ，，，(301)E ，，，有(300)ME =，，， 又1(003)BB =，，，(030)BC =，，，所以10ME BB =，0ME BC =，从而1ME BB ⊥，ME BC ⊥． 故ME ⊥平面11BCC B ． （3）设向量(3)BP x y =，，⊥截面1EBFD ，于是BP BE ⊥，BP BF ⊥． 而(301)BE =，，，(032)BF =，，，得330BP BE x =+=，360BP BF y =+=，解得1x =-，2y =-，所以 (123)BP =--，，． 又(300)BA =，，⊥平面11BCC B ，所以BP 和BA 的夹角等于θ或πθ-（θ为锐角）． 于是1 cos 14 BP BA BP BA θ= = ． 故tan 13θ=． 小结：向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量的坐标，再用公式求夹角；点面距离一般转化为AB 在面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值. 考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算 棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积V 等于底面积与高的乘积. 棱锥体积V 等于3 1 Sh 其中S 是底面积，h 是棱锥的高. 课后练习题 15.【2012高考四川文14】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M N M C B A 与DN 所成的角的大小是____________。 N M B 1 A 1 C 1 D 1B D C A 28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分) 如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在 AB 上。 A B C P （Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小。 29.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 已知直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点。 （Ⅰ）求异面直线1CC 和AB 的距离； （Ⅱ）若11AB A C ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值。 43．【2012高考上海文19】本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2 π ，2AB =，23AC =，2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积 （2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） 用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）． 利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos 则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥ 第27讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识 在ABC ?中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2 a b c p ++=,则 1,正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===, 2,余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+-,2 2 2 2cos b a c ac B =+-,2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 3,射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+. 4,面积:211sin 2sin sin sin 224a abc S ah ab C rp R A B C R = ==== = (sin sin sin )rR A B C ++ 2 221(cot cot cot )4 a A b B c C = ++. A 类例题 例1．在ΔABC 中，已知b =asinC ,c =asin (900 -B )，试判断ΔABC 的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。 解 由条件c = asin (900 - B ) = acosB = c b c a ac b c a a 222 22222-+=-+ 2 2222c b c a =-+? 是直角A b c a ?+=?2 22 1sin sin sin =?=A A C c A a 是直角?? ?C a c C c a sin sin =?=?. Q C a b sin =?=? c b ΔABC 是等腰直角三角形。 例2．（1）在△ABC 中，已知cosA =13 5，sinB =53 ，则cosC 的值为（ ） A ．6516 B ．6556 C ．65566516或 D ． 65 16- 解 ∵C = π - (A + B ),∴cosC = - cos (A + B ),又∵A ∈(0, π),∴sinA = 13 12,而sinB =53 显然sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5 4 ∴cosC = - cos (A + B ) = sinAsinB - cosAcosB =65 1654135531312=?-?.选A . 说明 △ABC 中,sinA > sinB ?A > B . 根据这一充要条件可判定B 必为锐角。 （2）在Rt △ABC 中，C ＝90°，A ＝θ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ， 用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 a l ⊥，在β内 b l ⊥，其方向如图，则二 方法一：在α内 面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 方法二：设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=12 12arccos |||| n n n n 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a 、 b 分别为异面直线a 、b 的方向 法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设 向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则 异面直线a 、b 的距离 用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD . 第18讲 平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。 二、例题解析 例1、（2000年全国高考题）椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。 解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ） 21PF F ∠Θ为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?= -?-u u u r u u u u r （ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5 53,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22 PA PB +的最大值和最小值。 分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO +=u u u r u u u r u u u u r 故可利用向量把问题转化为求向量OP u u u r 的最值。 解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}OA OB =-=u u u r u u u r 用向量方法求空间角和距离 前言: 在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、 证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点?向量进入高中教材，为立体 几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1. 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角； 直线和平面所成的角；(平面和平面所成的角)二面 角. (1)求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, r r 则两异面直线所成的角 =arccos| $啤| |a||b| =arccos 1?唏 |n i ||n 21 ，n 是平面的法向量, =arcsin | r 1 那 | 在内b l ，其方向如图，则二 agb =arccos |a||b 的两个半平面的法向量，其方向 ，则二面角 l 的平面角 平面角 a l ， 2. 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 (II )求BC i 和面EFBD 所成的角; (III )求B 到面EFBD 的距离 解：(I)记异面直线DE 与F?所成的角为 ， uuu uuur 则等于向量DE 与FC 1的夹角或其补角, 方法一：设n 是平面 uur 的距离d |AB||cos 的法向量，在 uuu r | 冲| |n| 内取一点B,则A 到 和点0在 内 uuu 的向量表示，可确定点 0的位置，从而求出|A0| . 方法二：设AO 于O,利用AO 方法一：找平面 使b 且a P ，则异面直线a 、b 的距离就 转化为直线a 到平面 的距离，又转化为点A 到平面 的距离. 方法二：在a 上取一点A,在b 上 uuu r d | AB || cos | ft n a 取一点B,设a 、b 分别为异面直 n b )，则异面直线a 、b 的距离 例1.如图，在棱长为2的正方体 棱AD i ,AB ,的中点. 移植于点面距离的求法). (I)求异面直线DE 与FC i 所成的角; a 线a 、b 的方向向量,求n (n a , B ABCD A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别是 D . C 二 B 向量法解立体几何 1、四川19．（本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ． （Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1； （Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值； 2. (全国大纲文)如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形， 2,1AB BC CD SD ====． （I ）证明：SD ⊥平面SAB ； （II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 3、重庆文．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ， ,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积； （Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。 4、 . （湖北文）如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为3， 点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱 1B B 上，且A E =,BF = （I ） 求证：1C F C E ⊥；（II ） 求二面角1E C F C --的大小。 5、、（2006年高考题）如图1，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，M N 是它们的公垂线，点A 、B 在1 l 上，C 在2l 上，MN MB AM ==。证明：NB AC ⊥。 6、如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D 、E 分别是BC 、A 1B 1的中点. （1）证明：BE//平面A 1DC 1； （2）若AB=BC=AA 1=1，∠ABC=90°求二面角B 1—BC 1—E 的正切值. 7、、如图，四棱锥ABCD P -的侧面PAD 垂直于底面ABCD ,090=∠=∠BCD ADC ,22====BC AD PD PA ,3=CD , M 在棱PC 上，N 是AD 的中点，二面角C BN M --为030。 （1）求 MC PM 的值；（2）求直线PB 与平面BMN 所成角的大小。 8、如图，在四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为平行四边形， SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==SB =,120,BAD E ∠=在棱SD 上，且3SE ED =． （I ）求证：SD ⊥平面;AEC （II ）求直线AD 与平面SCD 所成角的大小 9、如图所示，三棱柱'''C B A ABC -中，四边形''B BCC 为菱形，o BCC 60'=∠，ABC ?为等边三角形，面 ⊥ABC 面''B BCC ，F E 、分别为棱'CC AB 、的中点； （Ⅰ）求证：//EF 面BC A '＇；（Ⅱ）求二面角B AA C --'的大小。 1．如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3 ，则MN 与平面 BB 1C 1 C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )． A. 63 B.265 C.155 D.10 5 3．已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于( )． A. 64 B.104 C.22 D.32 4．(2012·临沂模拟)过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD .若PA ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )． A ．30° B．45° C ．60° D．90° 5．(2012·潍坊模拟)如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ， F 且EF ＝ 2 2 ，则下列结论中错误的是( )． A ．AC ⊥BE B ．EF ∥平面ABCD C ．三棱锥ABEF 的体积为定值 D ．异面直线A E ，B F 所成的角为定值 6．在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD → ＝5a ＋6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为P 、 Q ，则PQ → ＝________. 7．到正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点：①有且只有1个；②有且只有2个；③有且只有3个；④有无数个．其中正确答案的序号是________． 8．已知ABCDA 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A → )＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD → |.其中正确命题的序号是________． 9．如图，在四棱锥PABCD 中，底面是边长为23的菱形，∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ， PA ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点． (1)证明：MN ∥平面ABCD ； (2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角AMNQ 的平面角的余弦值． 10．如图，已知斜三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面ABB 1A 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°， M 是A 1B 1的中点，MB ⊥AC . (1)求证：MB ⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1BB 1C 的余弦值． 11．(12分)(2012·唐山二模)如图，在四棱锥PABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形， AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.E 是PB 的中点． (1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若二面角PACE 的余弦值为 6 3 ，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． 空间向量坐标法---解决立体几何问题 一．建立恰当的空间直角坐标系，能求点的坐标； 1、三条直线交于一点且两两垂直; 方便求出各点的坐标。 2、如何求出点的坐标： 先求线段的长度(特别是轴上线段)：由已知条件可全部求出来；若不能，则可先设出来。 （1）轴上的点--------X 轴--（a,0,0）, y 轴--（0,b,0）, z 轴--（0,0,c ） （2）三个坐标面上的点------已知或求出过点作垂直轴的线段长度， X0y----（a, b, 0）, y0z------（0 ,b , c ）, x0z-----（a, 0, c ） （3）其它的点：已知或求出过点作垂直面的线段长度； （4）中点坐标：A(x 1, y 1, z 1 ), B(x 2, y 2, z 2 )----则线段AB 的中点：212121 (,,)222 x x y y z z +++ 3、动点问题的处理-------待定系数法 法一：直接设出来，然后根据已知条件求出来 （1）轴上：)0,0,(x ，)0,,0(y 、),0,0(z ；（2）面上：)0,,(y x 、),0,(z x 、),,0(z y ；（3）其它：(,,)a b c 。 法二：A(x 1, y 1, z 1 )、B(x 2, y 2, z 2 )，M 是AB 上的动点：设(,,)M a b c ，由 AB AM λ→→ =，用λ表示点的坐 标。 4、有向线段的坐标：A(x 1, y 1, z 1 ), B(x 2, y 2, z 2 )-----则212121(,,)AB x x y y z z → =--- 二、重要公式或结论： 设111(,,)AB x y z → =，222(,,)CD x y z → = 向量的数量积：121212AB CD x x y y z z → → ?=++， cos ,a b a b a b ?=?r r r r r r 向量的模：AB → = 向量的夹角：cos ,a b a b a b ?=?r r r r r r 两向量共线：121212//,,AB CD AB CD x x y y z z λλλλ→→→?=?===u u u r 两向量垂直：0AB CD AB CD ⊥??=u u u r u u u r u u u r u u u r 1、如图，长方体1111,ABCD A B C D -12,1,AB AA == AD=1，AE 垂直BD 于E ，F 为11A B 的中点. （1）建立适当的坐标系求各点的坐标 及AE u u u r 与BF u u u r 的坐标。 （2）M 是FD 上的点：若2FM MD =，求M 点的坐标 若FD MD λ→ → =，求M 点的坐标（用λ表示） A 1 A B C D 1 B F 1 C 1 D E 平面向量与解析几何 例1、椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的取值范围就是___。 解:F 1(－5,0)F 2(5,0), 设P(3cos θ,2sin θ ) 21PF F ∠Θ为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?= --?--u u u r u u u u r （ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得:55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围就是(5 53,553-) 例2、已知定点A(-1,0)与B(1,0),P 就是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点,求22PA PB +的最大值与最小值。 分析:因为O 为AB 的中点,所以2,PA PB PO +=u u u r u u u r u u u u r 故可利用向量把问题转化为求向量OP u u u r 的最 值。 解:设已知圆的圆心为C,由已知可得:{1,0},{1,0}OA OB =-=u u u r u u u r 0,1OA OB OA OB ∴+=?=-u u u r u u u r u u u r u u u r 又由中点公式得2PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r 所以222()2PA PB PA PB PA PB +=+-?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =2(2)2()()PO OA OP OB OP --?-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =224222( PO OA OB OP OP -?-+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u =222OP +u u u r 又因为{3,4}OC =u u u r 点P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4上所以5,2,OC CP ==u u u r u u u r 且OP OC CP =+u u u r u u u r u u u r 所以OC CP OP OC CP OC CP -≤=+≤+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即37OP ≤≤u u u r 故2222022PA PB OP ≤+=+≤u u u r u u u r u u u r 所以22 PA PB +的最大值为100,最小值为20。 例3、O 就是平面上一定点,A 、B 、C 就是平面上不共线的三个点,动点P 满足||||(AC AB OA OP ++=λ,[)∞∈＋，0λ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 分析:因为||||AB AC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 、分别是与、同向的单位向量,由向量加法的平行四边形则知||||AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r 就是与∠ABC 的角平分线(射线)同向的一个向量,又()AB AC OP OA AP AB AC λ-==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,知P 点的轨迹就是∠ABC 的角平分线,从而点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心。 法向量解立体几何专题训练 一、运用法向量求空间角 1、向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需要用法 向量。 2、设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥ 四、应用举例： 例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系， 则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2) 于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直，则有 1330 1320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=? ?==-++=⊥?? ???? ?? 11111(1,1,2), (0,0,2), cos 3 ||||1tan 2 n AA CDE n AA C DE C n AA n AA θθθ∴=--=∴--?== = ?∴= 向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 （II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则 1111 cos 14 |||| 1EC FD EC FD β?= = = ? 例2：（高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。用向量方法解立体几何题(老师用)
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