降落伞选择的优化模型

降落伞选择优化模型

摘 要

本文针对灾区空投物资时选取降落伞的问题，建立了降落伞选择优化模型。在保证空投任务完成的前提下，选择不同大小的降落伞个数需满足费用最小。（结尾这句不好） 首先，确定伞降落时的阻力系数k 。根据降落伞降落的情形进行受力分析，由牛顿定律得出关系，建立微分方程，利用拟合，运用数学软件Matlab 求出阻力系数k=3.0035。 其次，计算出不同半径的最大载重量分别为150.0726、235.8947、235.8947、462.3535、603.8903及每把伞的总费用分别为446.0193、596.2742、821.529、1176.7838、1562.0837。 然后，满足使用费最小的情况下，采用线性规划建立优化模型，并运用Lingo 软件求解出只需用半径为3的降落伞。

最后，运通limgo 2 2.53 3.540,0,6,0,0x x x x x =====，得出需要半径为3的降落伞为6个，满足使用费最小，且最小费用为4929.2。

1、利用拟合，运用数学软件Matlab 求出阻力系数k=3.0035。这句话不好！ 2．为150.0726、235.8947、235.8947、462.3535、603.8903及每把伞的总费用分别为446.0193、596.274

2、821.529、1176.7838、1562.0837最好用表格描述

关键词： 阻力系数 拟合 优化模型 MATLAB LINGO

1 问题重述（OK ）

为向灾区空投救灾物资，需选购一些降落伞。 1.1 题目给出的条件

1 空投物资重2000kg ，空投高度500m 。

2 降落伞落地速度不能超过20/m s 。

3 降落伞面为半径r 的半球面，用每根长L 共16 根绳索连接的载重m 位于球心正下方球面处。

4 降落伞价格（下面这个有问题！）

=+c c 123降落伞价格伞面费（,由r 决定）伞绳费（

,由绳索总长度及单价4m/元决定）+固定费用(=200元)c 5 降落伞在降落过程中受到空气阻力与降落速度和伞面积的乘积成正比。然后用 半径r=3m,载重m=300kg 的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各时刻t 的高度x （见 附录A ），从而确定阻力系数。 1.2 所求问题

试确定降落伞的选购方案，即共需多少个降落伞，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。

2 模型假设及符号说明（OK ）

2.1 模型假设

1 空投物资的2000kg 可以任意分割；

2 假设空投物资的瞬间伞打开；

3 降落伞和绳的质量可以忽略不计；

4 降落伞的落地速度不会超过20m/s ；

5 空气的阻力系数只与空气有关与其它因素无关；

6 每个降落伞载的物重都不会超过降落过程中的最大载重。

7 偶然情况忽略不计，空投情况正常。

8 g=10 2.2 符号说明

f 空气阻力 k 阻力系数

Mr 半径为r 的降落伞的最大载重 r s 半径为r 的降落伞的伞面积 ()x t t 时刻降落伞的下降高度 r x 径为r 的降落伞数目

1C 伞面费 2C 绳索费

3C 固定费用 L 根绳索的长度 a 降落伞的加速度 g 重力加速度 F 合 物体受的合外力

3 问题分析

根据题目所给出的条件进行分析

（下面有些字母没有用公式编辑器，而且字线并未做符号说明，其他还好）

首先，由条件4分析得出降落伞所受的阻力与降落速度和伞面积的关系，伞在降落

过程中做减速运动。同时利用二阶微分方程求出x 与t 的关系。再对k 进行拟合，求出k 值。然后用一阶微分方程求出v 与t 之间的关系。由前面的两个关系运用Matlab 解出不同半径降落伞的最大载重量。

其次，由条件3分析得出每条伞绳的长度L 与三面半径r 之间的关系，可以确定好伞绳索的费用，再分别计算出不同半径降落伞的总费用，根据费用最小化，利用目标规划求出不同半径的降落伞所需的个数。

最后，求所需的降落伞的总数量，并且确定了每个伞的半径，从而满足了空投条件下，使用费用最低。

4 建立模型及求解

4.1求解阻力系数k

因为降落伞在降落的过程中所受的阻力与降落伞下降的速度和伞的面积的乘积成正比，得

f kvs = (1)

由受力分析可知货物受竖直空气阻力和竖直向下的重力作用，则货物在竖直方向的合力为

=F mg f -合 (2)

由牛顿第二定律得

=F ma 合 （3）

由（1）（2）（3）联立得出

mg kvs

a m

-=

（4） 由物体位移x 和时间t 的二次微分等于加速度建立方程得:

22(0)0

(0)0d X mg f dt m v x ?-=???

=??=???

（5） 用Matlab 解微分方程得

222222

ks t m

g gmt m g X m e k s ks k s -=??+-（t ） (6)

则

222222

()500ks

t m m g mgt m g

x t e k s ks k s -=--+ (7）

(具体过程见附录B)

题目已经给t-x 数据（见附录A ）

对给定的数据以)(t h 为拟合函数进行拟合，23,300,10,2r m m kg g s r π====

得出（详细过程见附录C ）

3.0035k =

4.2求降落伞最大载重量

由速度对时间的微分等于加速度得：

(0)0dv mg kvs dt

m v -?=

???=? （8） 用Matlab 解得（过程见附录D ）

ks

t m gm gm v e ks ks

-=- （9）

由（6）（7）联立建立方程组

2222222()()2500ks t m

ks t m mg mg v t e ks ks mg m g m g

X t e ks k s k s s r X x

π--?=-??

?=

+-??

?=?

=-? （10） k=3.0035 , g=10 , r=[2 2.5 3 3.5 4]

因为降落伞在下落过程中其质量是不变的，所以我们把v(t)关系式中t 看做一 值，则关于m 的方程为

v(m)=ks t m

gm gm e ks ks

-- （11）

从上式我们可以知道)(m v 是关于m 的单调递增函数:

又如果存在平衡状态则必须满足kvs mg =，那么ks mg v =而又通过对m

kst

e ks

mg

ks mg t v --=

)(分析，只有在ks

mg

t v t →

+∞→)(时，才有，这与实际矛盾，故降落伞是一直做加速度减小的加速运动，不存在平衡状态。因此，求最大载重量取伞在下降到地面的瞬间达到

最大速度s m t v /20)(=,此时()500X t m =，由方程组调用MATLAB 分别解得半径为r 的降落伞在满足空投条件下的最大载重量)(r M 如下表（程序见附录E ），（下面表格有问题）

4.3 线性规划求解降落伞数量和费用

由分析可知每种伞的单价

321C C C C ++=

由分析可得L =，

2C 为: 42162??=r C

则购买每把不同半径的降落伞所需总费用C 如下:

由上表利用目标规划求出最优解，

2 2.5

3 3.54

2 2.5

3 3.55min 446.0193596.2742821.52911761562.0387150.072235.894339.6833462.3535603.89032000.r c x x x x x x x x x x s t x =++++++++≥??

?目标函数： 为自然数

用Lingo 软件解出

22.533.540060=0

x x x x x =??=??

=??=??? 最小费用

min 4929.2c =（程序见附录F ）

结果说明

共需6个降落伞，每个伞的半径3m,最小费用费用为4929.2元。

5 模型检验

1当

36

x=时，由表4-1可算出降落伞的总载重量为339.68836=2038.1kg>2000kg

?件成立。

2 当m=339.6883, t=30s,r=3时，带入（7）式得v=20m/s，此时降落伞还没有落地。所以条件成立。

6 模型评价及推广

本模型根据题目所给的条件综合考虑了不同半径的伞的载重量以及所需的费用，运用Matlab和Lingo两个软件进行科学求解出模型的最优解。

此模型还可以运用到码头集装箱运送货物，以及海上救援等情况。

7 参考文献

[1] 吴建国等. 数学建模案例精编. 北京，中国水利水电出版社，2005,5.

[2] 孙祥徐流美吴清编著《MATLAB7.0基础教程》清华大学出版社2005.5

[3] 袁新生等. Lingo和Excel在数学建模中的应用. 北京，科学出版社，2007.

8 附录

附录A

附录B

X=dsolve('m*D2X+k*S*DX=m*g','X(0)=0,DX(0)=0','t')

附录C 拟合k

function F=myfun1(x,xdata)

s=2*pi*3^2;

m=300;

g=9.8;

F=500-m^2*g/(x(1)^2*s^2)*exp(-x(1)*s*xdata/m)-m*g*xdata/(x(1)*s)+m^2*g/ (x(1)^2*s^2);

输入下列命令：

xdata=[0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30];

ydata=[500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 ];

x0=[1];

x=lsqcurvefit(@myfun1,x0,xdata,ydata)

附录D 求解V

v=dsolve('m*Dv+k*S*v-m*g=0','v(0)=0','t')

附录E 求最大承载量

function F=myfun(x)

r=2.5; %依次输入不同半径

g=10;k=3.0035;

s=2*pi*r^2;

F=[x(1)^2*g/(k^2*s^2)*exp(-k*s*x(2)/x(1))+x(1)*g*x(2)/(k*s)-x(1)^2*g/(k^2*s^2)-500;

g*x(1)/(k*s)-g*x(1)/(k*s)*exp(-k*s*x(2)/x(1))-20];

输入以下命令：

x0 = [1; 1]; % 初始点

options=optimset('Display','iter'); % 显示输出信息

x = fsolve(@myfun,x0,option) %在m文件中更改r的值，然后在命令窗口重复输入以上命令就可分别求出不同半径的降落伞的最大载重量。

附录F

程序：

min=446.0193*x1+596.2742*x2+821.529*x3+1176.7838*x4+1562.0837*x5; 150.9726*x1+235.8947*x2+339.6883*x3+462.3535*x4+603.8903*x5>=2000;

x1>=0;

x2>=0;

x3>=0;

x4>=0;

x5>=0;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);