特殊的平行四边形单元精编讲义

第十八章 四边形

第一节 平行四边形

一 、课标导航

二 ．核心纲要

1． 平行四边形的定义

两组对边分别平行四边形叫做平行四边形．平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”． 2．平行四边形的性质 (1)边：对边平行且相等． (2)角：对角相等，邻角互补． (3)对角线：对角线互相平分．

(4)对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点． (5)面积＝底×高． 3．平行四边形的判定

(1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等四边形是平行四边形；

③一组对边平行四边形且相等的四边形是平行四边形； (2)角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4．三角形的中位线

(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；

(2)定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．

A

B

C

D

5．平行四边形中的面积关系

(1)

1

2ABC ABD DBC ADC ABCD

S S S S S ????====?

； (2)

12341

2

ABCD

S S S S S ====?

；

(3)

1231

2ABCD

S S S S =+=?

； (4)

13241

2

ABCD

S S S S S +=+=?

；

(5)14

23

S S S S =或S 1S 3

＝

S 2S 4．

6．已知三点确定平行四边形的方法

已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，那么，以A 、B 、C 为顶点，可在平面上画出平行四边形的个数是3个，其作法分别为过三角形ABC 的三个顶点作对边的平行线，交点即为平行四边形的第四个顶点，如图所示．

本节重点讲解：一个图形，四个性质，五个判定，五个面积关系． 三、全能突破

A

B

C

D

E

S S S 4

321S A B

C

D

P

S 13S 2

4

S S A

B

C

D

A

B

C

D

E

F

基础演练

1．在平行四边形中，一定有( )．

A ．两条对角线相等

B ．两条对角线垂直

C ．两条对角线互相平分

D ．一条对角线平分一组对角

2．在□ABCD 中，∠A ＝145°，则∠B ，∠C 的度数分别是( )．

A ．30°，150°

B ．35°，145°

C ．40°，140°

D ．45°，135°

3．如图18－1－1所示，在周长是10cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC ，BD 相交于点O ，点E 在AD 边上，且OE ⊥BD ，则△ABE 的周长是( )．

A ．2cm

B ．3cm

C ．4cm

D ．5cm

4．□ABCD 的周长是28cm ，AC 与BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△OBC 的周长大4cm ，那么AB 等于( )．

A ．8cm

B ．9cm

C ．10cm

D ．11cm

5．如图18－1－2所示，在□ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，若AE ＝2，AE ∶ED ＝2∶1，则□ABCD 的周长是( )．

A ．10

B ．12

C ．9

D ．15

6．下列命题：(1)一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形；(2)一组对边相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，其中，错误的有( )个．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．如图18－1－3所示，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为( )．

A ．5

B ．10

C ．20

D ．40

8．若平行四边形相邻两边为a ＝3，b ＝5，它们与对边的距离分别为a h 和b h ，那么a h ∶b h 等于( )．

A ．5∶3

B ．3∶5

C ．10∶3

D ．3∶10

能力提升

9．如图18－1－4所示，E 是□ABCD 内任一点，若ABCD S 四边形＝6，则图中阴影部分的面积为( )．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

10．国家级历史文化名名城――金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图18－1－5所示)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB ∥EF ∥DC ，BC ∥GH ∥AD ，那么下列说法中错误的是( )．

A ．红花、绿花种植面积一定相等

B ．紫花、橙花种植面积一定相等

C ．红花、蓝花种植面积一定相等

D ．蓝花、黄花种植面积一定相等

A

B

C

D

E

F 图18－1－3

图18－1－2

图18－1－1

O

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

11．平行四边形的两条对角线长分别是x ，y ，一边长为12，则x ，y 可能是下列各组中的( )．

A ．8与14

B ．10与14

C ．18与20

D ．10与38

12．如图18－1－6所示，在ABCD ?中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于点G 、H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG ＝GH ＝HC ；③EG ＝

1

2

BG ；④ABE AGE S S ??=．其中正确的结论有( )．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

13．若以A (－0.5，0)、B (2，0)、C (0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )．

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

14．如图18－1－7所示，□ABCD 的对角线BD 上有点E 、F ，若要使四边形AECF 是平行四边形，则要添加一个条件，可以添加的条件是＿＿＿＿＿．

15．如图18－1－8所示，P 是平行四边形ABCD 内一点，且PAB S ?＝5，PAD S ?＝2，则阴影部分的面积为＿＿＿＿．

16．如图18－1－9所示，平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 边于点M ，而MD 平分∠AMC ，若∠MDC ＝45°，则∠BAD ＝＿＿＿＿＿，∠ABC ＝＿＿＿＿．

17．已知，如图18－1－10所示，在□ABCD 中，延长DA 到点E ，延长BC 到点F ，使得AE ＝CF ，连接EF ，分别交AB 、CD 于点M 、N ，连接DM 、BN ．

(1)求证：△AEM ≌△CFN ．

(2)求证：四边形BMDN 是平行四边形．

18．如图18－1－11所示，在ABCD ?中，分别以AD 、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．

图18－1－4H

F

G

E

A

B

C D

红绿橙

紫蓝

黄H G F

E

A

B

C

D

图18－1－6

图18－1－

5

图18－1－7

图18－1－8

图18－1－9

D C

B

A

C

A

B

C

D

E F

M

图18－1－10

A

B

C D

M

N

E F

图18－1－11

A

B

C

D

E

F

19．如图18－1－12所示，在□ABCD 中，AB ＞BC ，∠A 与∠D 的平分线交于点E ，∠B 与∠C 的平分线交于F 点，连接EF ．

(1)延长DE 交AB 于M 点，则图中与线段EM 一定相等的线段有哪几条？说明理由(不再另外添加字母和辅助线)．

(2)EF 、BC 与AB 之间有怎样的数量关系？为什么？

(3)如果将条件“AB ＞BC ”改为“AB ＜BC ”，其他条件不变EF 、BC 与AB 的关系又如何？直接写出结论．

20．如图18－1－13所示，已知点C 是线段AB 上的点，△ACD 与△BCE 都是等边三角形，F 、G 、M 、N 分别是线段AC 、CE 、CD 、CB 的中点，求证：FG ＝MN ．

21．如图8－1－14所示，ABCD ?内一点E 满足ED ⊥AD 于点D ，且∠EBC ＝∠EDC ，∠ECB ＝45°，找出图中一条与EB 相等的线段，并加以证明．

F

E

M

M

F

E

A

B C

D

A

B

C

D

图18－1－12

N M F

G

E

D B

C A

图18－1－13

图18－1－14

D

C B A

E

中考链接

22．(2012·黑龙江)如图18－1－15所示，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝30°，则∠PFE 的度数是( )．

A ．15°

B ．20°

C ．25°

D ．30°

23．(2012·武汉)在面积为15的ABCD ?中，过点A 作AE 垂直直线BC 于点E ，作AF 垂直直线CD 于点F ，若AB ＝5，BC ＝6，则CE ＋CF 的值为( )．

A

．

11

B

．

11

C

．

112+

或112-

D

．

112+

或12+

24．(2012·鞍山)如图18－1－16所示，点G 、E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP 、EP ．

求证：FP ＝EP ． 巅峰突破

25．如图18－1－17所示，等腰Rt △ABD 中，AB ＝AD ，点M 为边AD 上一动点，点E 在DA 的延长线上，且AM ＝AE ，以BE 为直角边，向外作等腰Rt △BEG ，MG 交AB 于点N ，连NE 、DN ．

(1)求证：∠BEN ＝∠BGN ． (2)求NG ∶AB 的值．

(3)当M 在AD 上运动时，探究四边形BDNG 的形状，并证明之．

26．如图18－1－18所示，四边形ABCD 中，∠C ＝∠DAB ，∠CDA ＝∠CBA ，连接BD ，延长DA 到H ，使AH ＝AD ，连接BH ，BC ＝3，CD ＝4，DB ＝6，求BH 的长．

图18－1－15

A

B

P F C

D

图18－1－16

P

F E

G

A

B C D

图18－1－17E

A M D

N

B

G

图18－1－18

H

A

C

D

B

第二节 矩形、菱形、正方形

一、课标导航：

二、核心纲要： 1.矩形：

（1）定义：有一个角是直角的的平行四边形叫矩形. （2）性质：

①边：对边平行且相等 ②角：四个角都是直角

③对角线：对角线互相平分且相等

④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形. （

3）判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形. ②对角线相等的平行四边形是矩形. ③有三个角是直角的四边形是矩形. （4）其他判定（需要证明）：

①对于平行四边形，若存在一点到两对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形.若平行四边形ABCD 中，22

22PB PD PC PA +=+,则平行四边形ABCD 是矩形，证明方法如下右图所示，将△PAB 平移至△DMC ，证明D C ⊥PM ；

②对角线相互平分且相等的四边形是矩形；

③对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形.

2.菱形：

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（2）性质：

①边：对边平行且四边相等；

②角：邻角互补，对角相等；

③对角线：对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角；

④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；

⑤菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半.

（3）菱形的判定：

①一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四边相等的四边形是菱形.

3.正方形：

（1）定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. （2）性质：

①边：对边平行，四条边都相等；

②角：四个角都是直角；

③对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；

④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形；

（3）判定：

①有一组邻边相等的的矩形是正方形；

②有一个角是直角的菱形是正方形；

③定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. （4）其他判定（需要证明）

①对角线互相垂直的矩形是正方形；

②对角线相等的菱形是正方形；

③一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

④四边均相等，对角线相等的四边形是正方形；