第5章 微扰理论-量子跃迁
§6.含时微扰论
前面，我们解决的是H ?与t 无关，但不能直接求解，而利用0
2
0V m
2P H ?+=有解析解，并且0
1V V H ?-=较小，通过微扰法求解)r (E )r ()p ?,r (H ?ψψ=的近似结果。有时也能用试探波函数，通过变分来获得。
现在要处理的问题是：体系原处于0H ?的本征态（或叠加），而有一与t 有关的微扰)t (H ?1
附加到该体系。显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1H ?在一段时间中不变），在0H ?的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。而且无法获得解析结果。有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0
H ?的本征态的几率又不随时间变化。当然，这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。
H ?与t 有关，体系原处于)P ?,r (H ?0
，随t 加一微动)t (V ψψH ?t
i =?? , )t (V H ?)t (H ?0
+= 因0
H ?不显含t ，而有 )r (E )r (H ?n
0n n 0??= 则 ψψ0
H ?t
i =??
的通解为 ∑-=ψn
t iE
n n 0n
e
a )t ,r (
? 0H 的定态
∑=n
n )t ,r (a ψ
t iE
n n
e )r ()t ,r (?ψ=
而 n a 是常数
))0,r (),r (())t ,r (),t ,r ((a n n n ψ=ψ=?ψ 不随t 变
当nk n a δ=时，即0t =，处于)r (k ?时
)t ,r (e )r ()t ,r (k t iE
k k
ψ?==ψ-
即微扰不存在时，体系处于定态)t ,r (k ψ上。
当微扰存在时，特别是与t 有关时，则体系处于0
H ?的各本征态（或定态） 的几率将可能随时间发生变化。设
V H ?H ?0
+= ψ=?ψ?H
?t
i
当然，ψ仍可按0
H ?的定态n ψ展开，但由于n ψ不是H ?的定态，所以展开系数是与t 有关。 ∑=ψ'
n 'n 'n )t ,r ()t (a )t (ψ∑-='
n t iE
'n 'n 0
'
n e
)r ()t (a
?
代人S.eq.，并与)t ,r (n ψ标积，得 )t (a e
V )t (a E )t (a E )t (a dt
d i 'n '
n t )E E (i 'nn n 0
n n 0n n 0
'n 0n ∑-+=+
得方程
)t (a e
V )t (a dt
d i 'n '
n t )E E (i 'nn n 0
'n 0
n ∑-=
)t (a e
V 'n '
n t
i 'nn 'nn ∑=ω
)E E (0
'n 0n 'nn -=ω
?=r d )r ()t ,r (V )r (V 'n *n 'nn ?? （n ?为0H ?的本征态）
)t (a n 是t 时刻，以H ?描述的体系，处于0H ?的本征态n ?中的几率振幅。实际上，上式是S.eq.在0
H ?表象中的矩阵表示，这方程的解依赖初态和V 。 假设V 很小，可看作一微扰，则可通过逐级近似求解。令
+++=)
2(n )1(n )0(n
n a a a a 则有 0)t (a dt
d i )
0(n =
)t (a e
V )t (a dt d i )
0('n '
n t
i 'nn )
1(n 'nn ∑=ω )t (a e
V )t (a dt
d i )
1('n '
n t
i 'nn )
2(n 'nn ∑=ω
于是有解 n )0(n A )t (a = 与t 无关
由初条件0t t =时，体系处于
00
k
t iE
k 0k e )r ()t ,r (-=?ψ，即得
nk n A δ=
即
nk )
0(k n
)t (a δ= 于是有
t
i nk k 'n '
n t
i 'nn )
1(n nk 'nn e
V e
V a dt
d i ωωδ==∑
∴ ?=t
t 1t i 1nk )
1(k n
01
nk dt e
)t (V i 1)t (a ω
又由 )t (a e
V )t (a dt
d i )
1(k 'n '
n t
i 'nn )
2(k n
'nn ∑=ω
1
k 1n 120
2
1nn 11
0t i 1k
n
t
t t i 2nn 1n t
t 22)
2(k n
e
)t (V e
)t (V dt dt )i 1()t (a ωω?∑?= 由此类推
??∑
?--=2
0m 01
m 210t
t 1t t 1m m m m t t m m
)
m (k n
dt dt dt )
i 1
()t (a
1
m 2m n 1m n 2
m 1m m
1m nn 1
m t i 1m n n
t i m nn
e
)t (V e
)t (V --------??ωω
1
k 1n 1
t i 1k n
e
)t (V ω
而 ∑==0
i )
i (k n
k n )t (a )t (a
若nk V 很小，即跃迁几率很少，我们只要取一级近似即可，则
1t i 1t
t nk )
1(k n
dt e
)t (V i 1)t (a 1
nk 0ω?=
这表明，体系在0t 时刻处于0H ?态)t ,r (0k ψ，在t 时刻，体系可处于0
H ?的定态)t ,r (n ψ，而其几率振幅为)t (a )
1(k n
（k n ≠）。因此，我们在t 时刻，测量发现体系处于这一态的几率为 2
1
t i 1t
t nk 22
)
1(k n
n k dt e
)t (V 1)t (a P 1
nk 0
ω?==→
例：一线性谐振子，被时间相关的位势所扰动
x )t (P )t ,x (V =
而 2
)
t (0e
P )t (P τπ
-=
-∞→t （即-∞=0t ），体系处于基态。
① 求+∞→t ，振子处于第n 个激发态的几率？
2
)
1(0n
n 0)t (a P +∞==→ 2
1
t in )t (02dt e
0x n P 11
2
1?∞
+∞
-+-=
ωτπ
2
4
n 02
2
22e
0x n P 1τ
ωπτπ
-=
2
n 22
2
2
02
22e
x n P τ
ωτ-=
② 当τ很大 0P n 0→→
我们看到，微扰是渐渐加上，体系经微扰后仍处于基态（没有简并），称Adiabatic
Approximation （当有简并时，并不如此，而是连续地过渡到)(H τ时的本征态上）。
③ 当τ很小，即微扰在很短时间加上，即在非常快的过程（微
扰施加），则体系状保持不变，这称为Sudden approximation 。
因τ很小。 0
x n P P 2
2
2
2
0n 0≈=
→τ
∴ 末态≈初态。
0t t < 0H 0t t > 'H 0 i ? i Φ 当突然加一外场00H H '→，波函数不变
??
?
??>Φ
<=ψ∑j 0j
j
i
t t b t t ?
∴ 在'H 0的能级s Φ几率为
2
2
s
i
s b =?Φ
④ 求∞→t 体系处于第10个激发态的几率。 由于 1n 2
110x n δα
=
ωαm =
∴ 一级微扰为0，一级跃迁几率为0
以此类推，仅当)
10(010
a 时才不为0
（最低级近似为第十级近似 2
1n 1m x 1m +=
+α
）
即最低要到第十级近似下才不为0
??∑
?=2
0100a
210t
t 1t t 9n n n t t 1010
)10(010dt dt dt )
i 1(
a
10
0t i 10
n
t i 9n n
t i 10n 10P r )t (V r
)t (V r
)t (V 1
01n 19
8n 9n 8
910
9n 109
∝ωωω
∴ 200100P P ∝→
例2：处于基态（-∞→t ）的氢原子，受位势t
0e
E x e )t (V γ-??=（0>γ）（为实参数）扰动
① 求+∞→t 时，处于nlm 态的几率
2
t )E E (i t
02nlm 1n e
e
100x nlm eE 1P ?∞
+∞
---=
γ
dt e
dt e
100
x nlm E e 0t
)i (0
t
)i (22
2
021n 1n ??∞
--∞
-++=
ωγωγ
2
1
n 1
n 2
2
2
02
i 1i 1100
x nlm E e ωγωγ-+
+?
=
()
221
n 2
2
2
2
2
024100
x nlm E e ωγ
γ
+
=
② 求 max )nlm (P
3
2
1n 2
32
21n 2
)
(16)
(80P ωγ
γ
ωγ
γ
γ
+-+=
=??
∴ 2
1n 2
ωγ=
2
2
1
n 22
02
max )
nlm (100
x nlm 1
e P ωε
=
③ 选择定则：由 )Y Y (3
2r
x 1111-=-π
∴ 2
11112
00Y Y lm 3
210
r nl 100x nlm -?
=-π 2
1
m 1l 1.m 1l 2
413210
r nl δδδδπ
π-?
=-
∴ 对r 选择定则为： 1l ±=?
0,1m ±=? 2
2
2
1n 22
22
02
11n 10
r 1n )
(32e P ωγγ
ε+=
±
当→γ很大（即微扰时间很短），0P 11n ≈±，所以氢原子受扰动后仍处于基态（Sudden 近似） 当→γ很小（微扰缓慢加上），0P 11n ≈±，所以氢原子扰动仍处于基态（非简并态）
§7.微扰引起的跃迁几率
1.常微扰下的跃迁率：
在某些实验中，微扰常常是不依赖于t 的（在作用时间内）
?=t
01t i nk )
1(k n
dt e
V i 1)t (a 1
nk ω
r d )r ()r (V )r (V k *
n nk ???=
（即从0t =开始加上一个与t 无关的外作用)r (V ）
nk
t
i nk
nk e
1V 1ωω-=
（0)0(a )
1(k n
=，k n ≠） ∴ 0t =时，体系处于0
H ?本征态k ，而在t 时刻，体系处于0
H ?本征态n 的几率为 2
nk
nk 2
2
nk
n k t
cos 1V 2P ωω-?
=
→
（当1V nk
nk <<ω时，一级近似就满足了）
2
nk
nk 2
2
2
nk
t
2
sin V 4ωω?
=
(跃迁几率)
而我们知
)(t
t
2
sin
2lim
2
2t ωδπωω=→∞
即T 很大时，
)(T 2
T 2
sin
nk 2
nk
nk 2
ωδπωω≈
由此可见，0k 0n E E ≈时，n k P →最大，而0
k 0n E E ≠时，n k P →小
（T
m 2nk πω=
时，n k P →为0， ,2,1m =）
0nk =ω时，最大
这表明，当T 大时，0T nk >>ω，保持0T =时的0k E 变化不大的跃迁几率较大。而这范围很小（ T
2π≈
）,总跃迁几率为
0n
n f n k dE
)E (P P ρ?→=0n
n f 2nk
nk 2
nk
2
dE
)E (t
cos 1V 2ρωω-=
?
( )E (0n f ρ是末态能量为0n E 的态密度，要注意的是0H ?的能级密度，而不是H ?的。)
而单位时间跃迁几率（称为跃迁速率或跃迁率） nk 0
n f nk
nk 2
nk
d )E (t sin V 2dt
dP w ωρωω?∞+∞
-==
我们也知
)(t sin lim
t ωδπω
ω=∞
→
所以，当t 足够大，则有
nk nk 0
k f 2
nk
d )()E (V 2w ωωδρπ?=
)E (V 20
k f 2
nk
ρπ
=
（0
k 0
n E E ≈）
它表明：
① 单位时间跃迁几率与时间无关。通常称为Fermi 黄金定则。 ② 当t 一定大后，跃迁贡献是来自同初态能量相同的末态。
应该强调，使公式成立的条件：t 足够大，（εε-,）虽然很小，但主要贡献都包括；但t 不能太大，以保证1wt <<，所以要求2
nk V 要小，使一级近似满足要求。
2．周期性微扰下的跃迁率
设微扰随时间作周期性变化 )e
e
(2
V t cos V V t
i t
i 00ωωω-+=
= （0V 与t 无关）
在一级近似下
11nk t
0t i )
1(k n
dt )t (V e
i 1a 1
nk ?=
ω
)e
1e 1(
)2V (1nk t
)(i nk t
)(i nk 0nk nk
ω
ωω
ωωωωω
--+
+-=-+
根据前面分析，当t 足够大时，引起体系从0H ?的)r (k ?态发生跃迁的总跃迁率到0
H ?的0n ?态，是0nk ≈±ωω，即ω ±≈0
k 0n E E 。一般而言，对原子来说，其跃迁的能量单位为eV
∴ 秒/10
5.1eV 115
nk
?==
ω 而可见光 5000≈λ? ∴ 秒/10
4c 215
?≈=
λ
πω.因此 ，当
0nk ≈+ωω， 则 ωω-nk 很大 0nk ≈-ωω， 则 ωω+nk 很大 所以仅一项起作用
当t 足够大时，总跃迁率（从k 态出发）
)E E ()2
V (2w 0
k 0n f 2
nk
0ωρπ ±≈=
例：设有均匀的周期性电场作用在一个氢原子上，该氢原子在0t =时处于基态，试用微扰论求氢原子电离的跃迁率。
t cos )r (e V 0ωε?=
解：由于讨论的是电离，即氢原子中电子被电离而具有确定动量的自由电子，为简单起见，设末态是具有确定动量的平面波。
如末态为平面波：
r
k i 2
3e
)
2(1?π
∴ )'k k ('k k -=δ
1k k d k =?
由这可见，在k 空间中态密度为1。
???
?
? ??∴=-=??3
333r k i )2(1
1k )2(k d k 'k k ()2('k k e ππδπ，则）则，但如末态为 因此，末态在k d 3中的态数为
k
k 2
k 2
3k
k dE
kd M dkd k k d dE
)E (Ω=
Ω==
ρ
所以跃迁到k d Ω立体角中的跃迁率为
k 2
2
02
k f i kd M i
r f 4
e 2d w Ω?=
Ω→
επ
∴ ??=
→k M i
r f 4
e 2w 2
2
02
f
i
επ
注意：这时
r
k i 2
3e
)
2(1f r ?=
π
a r 2
30e
)
a (1i r -
=
π
由 )kr (j )(cos P )i )(1l 2(e l 0
l r k l l r k i ∑∞
=∧?--+=θ
)kr (j )(Y )(Y )i (l k k lm m
,l r r *
lm l ?θ?θ-π=∑4
)](Y )(Y )(Y [r 3
4r r r 1l *
0r r 1l *0r r 10z 00?θε?θε?θεπε--+++=
?
)i (2
1y 0x 0*
0εεε-+=
+， )i (2
1y 0x 0*
0εεε+-=
-
∴ 6
2022
10
03032
2k 2
0)
a k 1(k
a 6434)a ()2()4(d i
r f +=
Ω??π
ππεπε
∴ 6
2023
10
023032
2
2
f i )a k 1(k
a 64m
34)a ()2()4(4e 2w +=
→
πππεππ
30
06
02
03
0)
(
)(
a 3
256ωωωω
ωε-=
??????
?
??=+∴-==
-=-=+=02200
202020002i i 22a k 1,a k a 2e ,a 2e E ,E k m 2ωωωωωωωω 注意： 可以看到，在03
4ωω=处几率达到极大。
3．辐射场下原子的跃迁率
当微扰影响较小时，一级近似很好
2
1
t
0t i nk
1n k dt e
)t (V 1P 1
nk ?=
→ω
现考虑原子被置于一个纯辐射场中
2V )A ?e P ?(m
21H
?++= 在原子区域中，无外电场 0=?，∴ 0A =??,则A 满足
0t
A c
1A 2
2
2
2
=??-
?
令 ωωωd e )(A A )
c r
n t (i ?--+∞
∞-?=
则有 )(A )(A *ωω-= （由于A 为实）
0)(A n =?ω （0A =??）
∴ P A m
e V m 2P H ?02
?++= （电磁场弱，忽略2A 项） 在电磁波很弱条件下，一级微扰很小，则 2
122
2
1
1
k P
?e
n )(A d e dt m
e
P t )c r n (i t t )(i n k nk ?ω∞+∞-ω-ω→?ωω=??
可以证明：
n k k n P P →→= 即受激辐射和退激发跃迁率相等
同样可以证明在
① 弱辐射场 ② 长波近似
③ 辐射是非极化的（极化各向同性，某几率条件下）。
单位时间跃迁几率，即跃迁率
2
nk
nk 2
2
02
n k r )(u 344e
w ωπ
πε =
→
（2
00c
1=
εμ， A 1H 0
??=
μ）
其中)(u nk ω为能量密度分布，即光强度分布。)(cu nk ω为单位时间通过单位面积的能量分布。
§8.磁共振
均匀磁场 0B
（在Z 方向 ），将使电子的简并态（自旋 ↓↑, ）发生分裂，其能量差
002B E E E B μ=ω=-=?-+ 其中 m e B 2 =μ
当电子吸收一光子 ω ，则将电子激发到较高能级，即自旋向上的态。
A. 跃迁几率和跃迁率
设：有一垂直于静场 0B
的磁场。于是，总磁场为
B B t sin b B t cos b B z y x =ω=ω=
若振荡场比静场小 0B b <<
电子的总哈密顿量在 0H ? 表象，即在 z
S ? 表象，中 ()()()H ?H ?H ?'+=0
???
? ?
?μ-μ=00
00
B B )H ?(B B ()
???
?
??μμ='ωω-0
0t
i B
t
i B be be
H ?
设 0=t 时刻，电子自旋态的本征值为 2 -。在一级近似下，从本征值为 2 -
的自旋态跃迁到本征值为 2 的自旋态的几率
2
022
0100
0011?'???
? ??????
??μμ???
?
??=
'
μ'
ω'
ω-+
+→-t
t B i t i B
t i B t d e be be
P B
()2
2
2
01?'μ=
'
ω-ω-t
t )(i B t d e
b
()2
002
2121
????
?
?????ω-ωω-ω??? ??μ=t )(t sin bt B 若 )(I ω 为单位频率中的态密度，则总的跃迁几率为
()?ωω=∞
+→-+→-0
d P I Q
()()ω?????
?????ω-ωω-ω??? ??μ?ω=∞d t )(t sin bt I B 2
020
2121
()
()t I b B
02
2ωμπ=
( 若 t 足够大或 ()ωI 在共振区变化很缓慢 )
所以，单位时间的跃迁几率（ 跃迁率）为
()()
02
2ωμπ=
+→-I b W B
()
02
2ωχ'χπ=
-
+I H
B. 两能级间的震荡
电子的总哈密顿量在 0H ? 表象，即在 z
S ? 表象中为 ()
???
?
??μ-μμμ=ωω-0
0B be be
B
H ?B t i B
t
i B B 设 t 时刻，电子状态或称自旋态的表示为
()()????
??=ψ21c c t
???
?
?????? ??μ-μμμ=???? ??ωω-210
21c c B be be
B c c dt d i B t i B
t
i B B 于是有
2101c be c B c
i t
i B B ω-μ+μ=
2012c B c be c i B t
i B μ-μ=ω
1012c e
b
B c e
b
i c t
i B B t
i B ωωμμ-μ=
12
02010012
=μ-μ-ωμ+μ+μ-ω-+-c ])B ()b (B [c )B B (i c
B B B B B
令 t
i e
c λ=1
02
02
02
2
2=μ+ωμ-μ-λω+λ])b (B )B [(B B B
()
2]
)b (B )B [(42
B 0B 20B 2
μ+ωμ-μ+ωω-=
λ
2422
20)
b ()B (B B μ+ω-μω-=
所以，-λ=λ时，有解
()
????
?
?
?μμ+ω-μ+
ω+μ-=?
??? ?
?=ψ--λωλ---t
i t
i B 2
B 2
0B 0B t
i 2
1e
e b
2)
b (4)B 2(B 2e
c c
+λ=λ时，有解
()
????
? ?
?μμ+ω-μ-ω+μ-=????? ??''=ψ++λωλ+++t
i t
i B 2
B 2
0B 0B t
i 21e
e b
2)
b (4)B 2(B 2e
c c 于是有
()????
?
?
?μ+ω-μ-
ω+μ-μ=?
???
?
?
=ψ++λωλ+++t
i t
i t
i 2
B 2
0B 0B B 2
1e
e
e
)b (4)B 2(B 2b
2c c 普遍解为
()()?
???
?
?++=ψ+-+
-2211t Bc Ac Bc Ac ??????
?
??+αα+--α+--α+=ωλλλλ+-+-t
i t i t i 2
2t
i 2
2t i e ]Be e 24K K A
[e 4K K 2B
Ae 其中 ,/B 2K 00B ω-ω=ω-μ= /b B μ=α
若 0=t ，电子处于 0H ? 本征值为 0B B μ- 的本征态，其表示即为 ?
??
?
??10 ，则要求
04K
K 2B
A 2
2
=α
+-
-α+
1B 24K K A
2
2
=+α
α
+--
所以，
1B B 24K
K 4K
K 22
2
2
2
=+α
α
+-
α++
α-
14K K 4K
2B
2
2
22
=α
++α
+
2
2
2
2
4K 24K
K B α
+α
++
=
2
2
2
2
2
2
4K 24K
K 4K
K 2A α
+α
++
α
++
α=
2
2
4K
α
+α
=
最后有解
()()???
?
??++=ψ+-+
-2
211Bc Ac Bc Ac t ??????? ??
α
+α
++
+
αα
+-α
+α-α+α-
α+α=ωλλλλ+-+-t
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2
2
2
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2
2
t
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2
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2
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4K
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K e 24K
K 4K
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e
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+α
+α
+α+α-=ωω-)]t 24K
cos(
4K
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t 24K
sin(
e
4K
i 22
2
2
2
2
2
2
2
2
/t i 2
2
2
/t i 2
2
t 时刻，处于 0H ? 本征值为 0B B μ 的本征态，其表示即为 ???
? ??01 的几率为 )t 24K
(
sin 4K
4P 2
2
2
2
2
2
B 0
B
α
+α
+α=
μ
仍处于 0H ? 本征值为 0B B μ- 的本征态，其表示即为 ???
? ??10 的几率为 )t 24K
(
sin 4K
K )t 24K
(
cos P 2
2
2
2
2
2
2
2
2
B 0
B
α
+α
++
α
+=μ
-
我们直接看到，电子所处的态随时间在这两个态之间以一定的几率震荡。
C. 一级近似公式的精确性
我们能直接看到，在 1<<αt 时，精确解和一级近似解才符合。
量子力学简答100题及答案 1
1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数? ?? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ 1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。 25、自旋 S = 2 σ ，问 σ是否厄米算符？ σ是否一种角动量算符？ 26、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。
第五章微扰理论习题
第五章 微扰理论 第一部分：基本概念与基本思想题目 1. 定态微扰理论主要研究什么样的物理体系？ 2. 00//????? 在微扰理论中，中的和各应满足什么条件？H H H H H =+ 3. 讨论无简并微扰理论的适用条件，说明其表达式的物理意义。 4. 何为吸收和发射? 说明自发发射和受激发射? 为什么量子力学无法解释自发发射? 5. 讨论原子中的电子与光的相互作用时,为什么忽略电子和磁场间的相互作用? 6. 与定态微扰理论相比,含时微扰理论所要解决的问题有何不同? 7. 何为Stark 效应? 8. 试述变分法的基本思想及其所解决的问题? 9. 中心力场中电子跃迁选择定则是什么? 第二部分: 基本技能训练题 1. 设氢原子中价电子所受有效作用势为 222 2020 () 014s s s e e a e U r e r r λλπε=--=<≤其中 试用微扰理论求基态能量(准确到一级). 2. 00102030000123100()()**()()()()()?, : H , |||| ,设在表象中的矩阵表示为其中和试用微扰理论求能量本征方程的本征值准确到二级。 H H E a E b a b E E E E a b E ????=??????<<<<
3. 转动惯量为I 电偶极矩为D 的空间转子处于均匀电场ε中，若电场很小，用微扰法计算转子基态能量的二级修正。 4. 设体系未受微扰时只有二个能级E 10及E 20， 现在受到微扰H /作用, 微扰矩阵元为12211122////, ; a,b ,H H a H H b ====都是实数用微扰公式计算能量到二级修正. 5. 基态氢原子处于平行电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即 0t -0 t 0e t 0 ( 0 ) τεετ?当当的参数 求经过长时间后氢原子处于2p 态的几率。 6. 粒子处于宽为a 的一维无限深势阱中，若微扰为 /a 0x 2()a x a 2 b H x b ?-≤≤??=??<≤??求粒子能量的一级修正。 7. 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 8. 用狄拉克符号求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 9. 对于处于宽度为a 的一维无限深势阱中的粒子（质量为m 0），受到微扰 V(x)＝V 0cos (2π/a)x 求体系的能量(准确到二级)。 10. 设在H 0表象中0102()() E a b H b E a ??+= ?+?? （a,b 为实数）
量子力学第十一章
第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） )(34/ /'2 22 2 k k k k k k r q W ωρπ→ = （1） 式中2 ' → k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→ k k r / 仅有一项 2 /k k x )(34/ /'2 22 2 k k k k k k x q W ωρπ = （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ? ∞ ∞ -= ) 0(' /ψ （3） 式中)(2 )(!)0(ax H k a x k k k πψ = ， μω= a ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2 12 { 1 )0(1 )0(1 )0(+-++ = k k k k k x ψ ψ α ψ （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： mn n x n dx δψ ψ =?)0(* )0( dx k k x k k k k k ? ∞ ∞ -+-++ ? = }2 12 { 1 )0(1 )0(1 *)0(' 'ψ ψ α ψ
1 ,1 ,' ' 2 112 1+-++ = k k k k k k δα δα （5） 由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是： ,1' -=k k 这时2 1,1' k k x x k k k α= =- （6） ,1' +=k k 这时2 11 ,1'+= =+k k x x k k k α 因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。 （2）每秒钟从基态0=k 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： )()2 11( 34102 2 2 210ωρα π q W = )(321010 2 2 2 ωρμωπ q = ~447~ [2]设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 （解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端） a x k a x k πψsin 2)(= （1） 根据此式计算矩阵元： dx a x k x a x k a x a x k k ππsin sin 2 ' '??= ?= dx a x k k a x k k x a a x ?=+--= ' ' ])(cos )([cos 1 ππ 利用不定积分公式： 2 cos sin cos p px x p px pxdx x x + ?= ? (2)
第5章 微扰理论-量子跃迁
§6.含时微扰论 前面，我们解决的是H ?与t 无关，但不能直接求解，而利用0 2 0V m 2P H ?+=有解析解，并且0 1V V H ?-=较小，通过微扰法求解)r (E )r ()p ?,r (H ?ψψ=的近似结果。有时也能用试探波函数，通过变分来获得。 现在要处理的问题是：体系原处于0H ?的本征态（或叠加），而有一与t 有关的微扰)t (H ?1 附加到该体系。显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1H ?在一段时间中不变），在0H ?的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。而且无法获得解析结果。有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0 H ?的本征态的几率又不随时间变化。当然，这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。 H ?与t 有关，体系原处于)P ?,r (H ?0 ，随t 加一微动)t (V ψψH ?t i =?? , )t (V H ?)t (H ?0 += 因0 H ?不显含t ，而有 )r (E )r (H ?n 0n n 0??= 则 ψψ0 H ?t i =?? 的通解为 ∑-=ψn t iE n n 0n e a )t ,r ( ? 0H 的定态 ∑=n n )t ,r (a ψ t iE n n e )r ()t ,r (?ψ= 而 n a 是常数 ))0,r (),r (())t ,r (),t ,r ((a n n n ψ=ψ=?ψ 不随t 变 当nk n a δ=时，即0t =，处于)r (k ?时
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-量子跃迁】
第11章量子跃迁 11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求： （a）跃迁选择定则； （b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率． 解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为 而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7） 可知跃迁选择定则为 （b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用 可求出 而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为 11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．
【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】 10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场 作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程 如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成 在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程 初始条件为 令 初始条件（5）亦即 以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得 以左乘上式两端，并对全空间积分，即得 再对t积分，由即得
因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为 根据选择定则终态量子数必须是 即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0． 跃迁到各激发态的概率总和为 其中 a o为Bohr半径．代入式（9）即得 电场作用后电子仍留在基态的概率为 10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）． 解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成
第17讲5简并微扰理论零级近似波函数的确定和能级的一级修正
第17讲 第五章 微扰理论 §5.2 简并情况下的定态微扰论—简并微扰理论 零级近似波函数的确定和能级的一级修正 ()()∑==k 1i i 0i 0n C φψ (32-2) 代入()()()()()()()00101n n n n ??H E E H 'ψψ-=- (31-8b ) 式就可以确定()0i C ，并求出()1n E 。即求出波函数的零级近似 ()0n ψ和能量一级修正()1n E 。 具体计算如下： 把(32-2)式代入()()()()()() ()01100??n n n n H E E H ψψ'-=-（31-8b ） 得： ()()()()()()()∑∑=='-=-k i i i k i i i n n n H C C E ψE H 10101100??φφ （32-3） 以*i φ左乘上式两边并对整个空间积分，得： ()()()()()()()∑?∑??=='-=-k 1 i i *0i k 1i i *0i 1n 1n 0n 0*d H ?C d C E d E H ?τφφτφφτψφ 左边=()()( )[]()0d E H ?1n *0n 0=-?τψφ (利用厄米算符的定义式) 定义 ?'='i i *H d H ? τφφ (微扰矩阵元) (32-5) 则 ()() ()0C E H k 1i 0i i 1n i =-' ∑= δ( =1，2，3，…，k ) (32-4) 上式是关于()0i C (i =1,2,3…,k )的齐次线性方程组，它有非零 解（()0i C 不全为0的解）的充要条件为(零解时()00n =ψ，无意 义)： ()()()0121212221112111=-''''-''''-') E H (H H H )E H (H H H )E H (n kk k k k n k n (32-7)
《量子力学》考试知识点(精心整理)
《量子力学》考试知识点 第一章：绪论―经典物理学的困难 考核知识点： （一）、经典物理学困难的实例 （二）、微观粒子波－粒二象性 考核要求： （一）、经典物理困难的实例 1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。 2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。 第二章：波函数和薛定谔方程 考核知识点： （一）、波函数及波函数的统计解释 （二）、含时薛定谔方程 （三）、不含时薛定谔方程 考核要求： （一）、波函数及波函数的统计解释 1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波 2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程 1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2.简明应用：量子力学的初值问题 （三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质 2. 简明应用：定态薛定谔方程 第三章：一维定态问题
一、考核知识点： （一）、一维定态的一般性质 （二）、实例 二、考核要求： 1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振 2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、 第四章量子力学中的力学量 一、考核知识点： （一）、表示力学量算符的性质 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 （三）、连续谱本征函数“归一化” （四）、算符的共同本征函数 （五）、力学量的平均值随时间的变化 二、考核要求： （一）、表示力学量算符的性质 1.识记：算符、力学量算符、对易关系 2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性 2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。 （三）、连续谱本征函数“归一化” 1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系
股市价格量子跃迁论
股市价格量子跃迁论.1 (2011-07-29 19:45:15) 标签： 杂谈 股市分析的根本目的：锁定顶和底 众所周知，目前的证券理论不能预测股灾，股灾真的是突发事件吗？真的是被股市大鳄或大消息打下来的吗？为什么美国股市在1987年10月的一个星期一当天就狂跌五百多个点？很多评论将之归咎于股市的计算机化，但计算机的使用已有多年，再找不出任何答案可以解释为什么股票跌得如此迅猛(图)？难道股价的崩坍真的不可知晓吗？ 换言之，价格的顶峰(和低谷)可能确定吗？如何确定？ 一切股市分析都围绕一个基本的目的：如何精确地确定股价的顶和底。著名的道琼斯理论，能确定顶和底吗?不能!要之何用. 不管多出名，若不能准确锁定顶和底，都是垃圾理论。相反，若一种理论或法则能帮你锁定价格波动的顶和底，就是成功的理论。可惜，综观现今学术界，在庞大的金融学和经济学中，竟没有一个理论能达此目标，不能准确得出股价的顶和底,而艾略特波动理论,造成的混乱大家都有目共睹了. 所以，我们得重头建立新的价格理论，新理论必需算得出价格的所有顶和底（至少是最重要的）。为此目的，必需先抛弃没用的旧理论，进而，建立与事实吻合的新理论，解出股市所有的顶和底。理论的价值不在于如何自圆其说，而在于解释世界、预言未来。 动力之源--两类解释谁对? 为了确定价格波动的峰和谷，先得解决一个很简单却不易回答的问题：价格怎么会动起来的呢？价格的动因是什么？ 真的是"供求关系决定价格起落"这么简单吗？哪又是什么控制供求关系呢？是庄家吗？如果一只股票成交量远远大于任何庄家的资产、根本无人能影响它(如微软)，肯定不能是庄家，那它的供求又是什么东西在控制着呢？或者根本就没有谁在蓄意控制，价格之运动根本就源于市场的自组织行为？(就象在没有红绿灯时人们过马路那样自动成群通过)；或者“供求决定价格”只是很肤浅的错觉，真正的原因是隐藏在深处的一种全新的神秘自然力？甚至这种自然力超越了股市，它还有控制着其他如天气、地震、物种盛衰变迁呢？ 股市在某天突然开始发力往上冲（如图），对这个“爆发点”的解释有两大阵营：一派认为肯定是因为某个大消息或大庄家或大阴谋推动，否则怎么可能会"突然"就动起来呢？听起来满有道理，叫“消息操控派”；另一派刚相反，
量子力学讲义VI. 含时微扰论与量子跃迁
VI. 含时微扰论与量子跃迁 1．定态微扰问题与量子跃迁问题在研究目标与处理方法上有何不同？ 答：定态微扰与量子跃迁，是量子力学中两个不同类型的问题，它们的研究目标与手段都不一样．定态微扰是定态问题，它考虑加入微扰作用之后，如何求出体系总哈密顿量的本征值与本征函数的修正项．其出发点为定态波动方程．量子跃迁问题是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间变化的问题，是依据含时波方程 实际计算量子态间跃迁概率的问题．一般说来，这两类问题都需应用近似方法求解． 2．含时微扰在含时情况不同时，对体系产生的效果有何不同？ 答：如果微扰作用平缓稳定，则将产生定态扰动效果，如能级与量子态偏移，简并消除等．如果扰动作用是以淮静态 方式加于体系的(即变化极其缓慢)，将不会产生跃迁效应．相反，若扰动作用时间不长，则只可能发生跃迁而不会发生定态扰功效应．对于一般情况，两种效应都可能发生．这里，扰动时间长短，或变化快慢，是相对体系本身的所谓特征时间 而言的．如对于原子，其特征时间为(秒)。因此人为施加的宏观扰动都可视为定态扰动·(为体系能级间距所对应的角频率)． 3.非相对论量子力学中是如何处理光的吸收和辐射问题的？ 答：在通常量子力学(非相对论量子力学)中，处理光的吸收与辐射问题采用的是半经典方法．这种方法将入射光用经典的电磁被来描述，光与原于(主要与原子中的电子)的相互作用也用经典电动力学的方法来表示．例如将量子电磁体系展开为为电偶极矩．电四极矩、磁偶极矩等多极结构．以电磁波与不同近似的多极结构的相互作用为周期件微扰，以便以后使用量子跃迁方法求出相应的跃迁概率与跃迁速率．由于这种方法综合运用了经典电动力学理论与量子跃迁理论，故称之为半经典方法．这类方法在非相对论量子力学中经常应用． 4.用沿正方向传播的右旋圆偏振光照射原子，造成原子中电子的受激跃迁．求选择定则． 解：右旋偏振光中的电场的旋转方向符合右手螺旋法则．因波长远大于原于半径，可以略去电场的空间变化(相当于 只考虑电偶极跃迁)．如以表示光波电场的振幅，则电场的时间变化为
量子跃迁中的选择定则
量子跃迁中的选择定则 张扬威 （华中师范大学物理学院2008级基地班，武汉，430079） 摘 要 本文根据量子跃迁过程中遵从的角动量守恒和宇称守恒运用量子化 概念，推导出电偶极近似条件下，在不同的外场中单电子原子以及多电子原子 辐射跃迁时的选择定则，并结合具体实例，说明这些规律的实质。 关键词 辐射跃迁 选择定则 角动量守恒 宇称守恒 原子态 电偶极近似 1 、 引言 推微观粒子在不同的量子化状态间变化，称为跃迁。跃迁有很多种，不同跃迁遵从不同的跃迁选择定则。原子辐射跃迁的选择定则是原子能级之间发生跃迁所满足的条件，它对于研究光的吸收和发射具有很重要的意义。由于电偶极矩跃迁强度比其它形式的跃迁强度大很多（倍），原子的辐射跃迁选择定则是指电偶极辐射跃迁选择定则。它是从大量光谱的观察分析和研究中总结出来的，本文则运用量子力学的理论对它进行推导研究。 510~1082、 入射光为单色偏振光 引入周期性微扰下的跃迁概率的基本知识： 设微扰Hamilton 算符为（式中为与无关的厄米算符） '0(0)A cos ()(0)i t i t H t t F e e t ωωω∧ ∧ ∧ ?=<=+≥或 （1） 体系在处于'0t =(0)n ?态， 跃迁到态的概率为 't =t (0)m ?2 2 (0)(0)2()()n m m mn m n W a t F E E πδω→== ?±h h （2） 若该单色偏振光是沿x 轴 方向传播，偏振方向沿z 轴，在电偶极近似条件下，它的电场为 0cos z t εεω= 0x ε= 0y ε= （3） 电子的电偶极矩为 D er ex =?=?r （4） 微扰作用势为 ' 00cos ()2 i t i t z ez H D ez ez t e e ωωεεεεω∧?=?===+r uv （5） 对比（1）式可得 0 2 ez F ε∧ = （6） 带入（2）式可得 22 2 (0)(0)0()2n m mn m n e W z E E πεδω→= ?h h ±（7） 由（7）式可以得出，原子能否由n 态跃迁到m 态，决定于电子位矢的z 分量在这两个态之
多量子跃迁
多量子跃迁 在一个磁场下，确实不只有两个共振频率，在我们的实验条件下观测到七个共振信号，如果实验条件选得更好，测量仪器精度更高，或许可观测更多．这些信号由盯Rb和85Rb产生，第一个来自87Rb，第二个来自85Rb，这两个信号较大．2)观察到这些共振频率间存在某种整数倍关系，虽然有些不是非常严格的整数，但极为接近，误差在2％内，或许来自于测量误差．出现整数倍的原因可能是水平磁场不稳定，或共振峰出现在三角波两侧，使共振点有两个三个，但这可在调节频率时仔细观察示波器，使共振峰出现在三角波的顶部(即对应于一个磁场)加以避免；另一可能是射频场电源的频率发生畸变，产生谐波，在相同磁场下不同谐波也会满足共振条件．畸变的原因是射频场线圈是电感性负载，加上射频信号源后，信号源波形发生变化．实验发现，当射频信号(正弦波)幅度大于10．0V时，波峰和波谷处其形状有变化，因此要避免它．实验中用示波器监视，并在波形不变的条件下进行． 我们认为出现多共振峰的原因可能是满足了多量子跃迁规律的缘故，即nhu=△EMr．如果第一个磁共振信号的频率对应单能量子的跃迁，那么频率是它二分之一倍的磁共振信号对应于能量小二倍的双量子跃迁．从表2可觅，射频场强度越大(即能量越大)磁共振峰也越多，如果降低射频场强度，小的共振峰也随之减少．当射频场电压幅度小于1V时，就观察不到小频率对应的共振信号．我们认为，
强磁场下也存在高于一级的塞曼效应，但一般情况下它的磁共振信号太弱，很难检测到，当射频场能量增加时，参于这些子能级跃迁的粒子数增加．因此，我们可以观测到这些小信号． 光泵磁共振实验中小信号的讨论 作者：张清，陈一冰，王煜，张桂樯 作者单位：复旦大学物理系,上海,200433 刊名： 物理实验 英文刊名：PHYSICS EXPERIMENTATION 年，卷(期)：2000,20(10) 被引用次数：8次 3．2．4正确选择扫场的幅度 由于扫场幅度较大时，会出现光抽运信号，影响磁共振信号的观察。正确选择扫场的幅度可消除这种影响。具体方法是：在水平磁场与地磁场水平分量、扫场反方向的情况下，由大到小调节扫场幅度旋钮，光抽运信号逐渐消失；当光抽运信号完全消失后，再将扫场幅度进一步减小，以不影响正常观察与测量为限。 光泵磁共振实验中关键问题的分析与对策 刊名： 潍坊学院学报 英文刊名：JOURNAL OF WEIFANG UNIVERSITY
量子力学讲义V. 定态微扰论
V. 定态微扰论 1．证明：非简并定态微扰中，基态的能量二级修正永为负。 答：已知，微扰论中，对能量为的态，能量二级修正 如态为基态，最低，在上式的取和中，的任一项均有，故永为负。 2.证明：定态微扰论中，能量的一级近似是总哈密顿算符对零级波因数的平均值． 答：设满足的正交归一化零级波函数以表出。已知。则 正是能量一级近似. 3. 能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？ 答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有什么直接的关联．我们知道，能级简并主要是由于体系哈密顿量具有某种对称性．只要保持这种对称以那么即使是精确解，其能级也是简并的．如氢原子．如果对称性受到彻底破坏或部分破坏，那么—般说来，简并应当消除或部分消除．应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解．非简并态微扰的近似解，能级当然是非简并的．简并态微扰法中由于微扰的作用．不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到的解一般也是近似解． 4.一维谐振子，其能量算符为 (1) 设此谐振子受到微扰作用 (2) 试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。 解：的本征函数、本征值记为。如众所周知
（3） 在表象（以为基矢）中，的矩阵元中不等于0的类型为 （4） 因此，不等于0的微扰矩阵元有下列类型： （5） （6） 按照非简并态能级三级微扰修正公式，能级的各级微扰修正为： （7） （8） （9）本题显然可以精确求解，因为
令 可以写成 （10） 和式（1）比较，差别在于，因此的本征值为 （11） 因为，将作二项式展开，即得： （12） 和微扰论结果完全一致。 5. 氢原子处于基态．沿z方向加一个均匀弱电场，视电场为微扰，求电场作用后的基态波函数(一级近似)．能级(二级近似)，平均电矩和电极化系数．(不考虑自旋．) 解：加电场前，基态波函数为 ，（波尔半径）（1） 满足能量方程 （2）
浙江大学硕士研究生考试量子力学和普通物理复习提纲
硕士研究生考试量子力学复习提纲I. 波函数与Schr?dinger方程 - 束缚态 波粒二相性，态迭加原理，波函数的统计解释 定态，一维方势阱，一维谐振子 II.力学量与算符 算符的运算与平均值 厄米算符的本征值和本征函数 力学量的测量值 对易关系:共同本征函数;测不准关系 平均值随时间的变化; 守恒定律 III.中心势场中的粒子 中心势场中的运动 氢原子 IV.表象理论(矩阵表述) 态、表象、算符的矩阵表示及幺正变换，Dirac符号量子力学的矩阵表述, 海森堡方程 线性谐振子的代数解法（占有数表象） 角动量J2、JZ 的本征。 V. 定态微扰论 定态非简并微扰论 定态简并微扰论 氢原子的一级Stark效应
VI. 含时微扰论与量子跃迁 ( 含时微扰论 跃迁几率 光的发射和吸收 选择定则 VII. 弹性散射 一维势垒贯穿问题 分波法, 波恩近似 VIII. 电磁场中的粒子 电子自旋 两角动量相加轨道角动量—自旋耦合， IX.多粒子系统 全同性原理 无相互作用的多粒子体系波函数 泡利不相容原理 硕士研究生考试普通物理复习提纲 一、掌握物理学研究问题的基本概念及方法：国际单位制与量纲、参考系与坐标系、理想模型法、理想实验、对称性与守恒定律等 二、质点运动学 质点，运动学方程，位置矢量和位移矢量
瞬时速度和瞬时加速度，速度和加速度在直角坐标系中的表示形式 自然坐标系，切向和法向加速度 掌握已知运动方程求和，已知加速度求方法三、质点动力学 动量、动量守恒定律、冲量定理及平均冲力的计算 牛顿定律及其应用、非惯性系与惯性力 功、恒力的功和变力的功的计算，质点和质点组的动能定理 保守力和非保守力，重力、弹簧弹力、万有引力的功及其相关的势能 势能与保守力的关系，机械能守恒定律及应用 四、角动量守恒和刚体力学 质点或质点组对某参考点和轴的角动量定理及其守恒定律 质心及转动惯量的计算、平行轴定理
量子力学中微扰理论的简单论述论文
量子力学中微扰理论的简单论述
摘要：在量子力学中，由于体系的哈密顿函数算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就什么重要。常用的近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和绝热近似等，不同的近似方法有不同的实用范围，在下文中将讨论分立谱的微扰理论。对于体系的不含时的哈密顿函数的分立谱的的微扰理论可以分为非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论。 关键词：近似方法；非简并定态微扰理论；简并定态微扰理论
目录 1 非简并定态微扰论 (1) 2 简并定态微扰论 (8) 2.1理论简述： (8) 2.2简并定态微扰论的讨论 (10) (11) 11
v .. . .. 0 引言 微扰理论是量子力学的重要的理论。对于中等复杂度的哈密顿量，很难找到其薛定谔方程的精确解。我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与箱归一化粒子。这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。应用微扰理论，可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。 量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法。当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。基本的方法是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态，波函数）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，可以进而研究比较复杂的量子系统。 微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。不含时微扰理论的微扰哈密顿量不含时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量含时间。 1 非简并定态微扰论 1.1 理论简述 近似方法的精神是从已知的较简单的问题准确解出发，近似地求较复杂的一些问题的解，当然，还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。下面我们将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。[1] 假设体系的哈密顿量H 不显含t ，定态的薛定谔方程 H E ??=
求解量子力学微扰论的高级修正
求解量子力学微扰论的高级修正 贵州师范大学侯天江 摘要:本文从理论上详细求解了非间并定态微扰情况下波函数的三级近似，间并定态情微扰情况下能量至三级波函数至二级修正，最后综合应用上述两种情况的方法来解决氢原子二级斯塔克效应。在很多高校量子力学教材和网络期刊上非间并定态微扰理论已经求解到了能量到二级修正波函数到二级修正，而能量三级修正在部分习题书上已经求解，但波函数三级修正目前为止还未有人求解。间并情况下很大部分书籍由久期方程求解了能量的一级修正，只提及了求解零级波函数的思想，并没有对此理论作出深入讨论。为此，在已有的理论基础之上本章将对微扰论进一步继续发展。 关键词：微扰论;非间并波函数三级修正;间并修正;二级斯塔克效应 Abstract:In this paper, a detailed theory for solving the inter-and non-steady-state wave function under the perturbation of the three-level approximation, and steady-state conditions between the perturbation energy to the three cases, the wave function to two amendments to the comprehensive application of the last two cases above to solve the hydrogen atom Stark effect II. Colleges and universities in many quantum mechanics textbooks and online journals and non-inter-state perturbation theory has been set for solving the energy wave function to the two amendments to the two amendments, and amendments to the energy in the three books have been part of exercises to solve, but the wave function c class so far has not been amended to solve. And is among the majority of cases of books from the equation to solve the energy level of the amendment refers only to the solution of zero-order wave function of thinking, did not conduct an in-depth discussion of the theory. To this end, the existing theory based on perturbation theory in this chapter will continue to develop further.
量子力学中的微扰论
第一章近似方法 无论是经典力学还是量子力学，可以严格求解的物理系统总是少数。如在经典力学中，两个物体在万有引力作用下运动，即二体问题是可以严格解的，解出来就是位置随时间变化的关系；如果再加上一个物体，即三个物体之间存在着引力，它们的运动规律就是经典力学中著名的三体问题。19世纪末，法国数学家彭加勒证明了三体问题是不可解的，或说是不可积的，即无法表示为一个轨道的方程甚至无法表示为一个不定积分。彭加勒证明：对可积问题，初始条件作微量调整，最终轨道也只要作微量修正就行了；如果是不可积问题，初始条件的微小变动就会导致轨道完全不一样，即轨道对初始条件十分敏感。 实际的物理系统大多属于无法严格求解的问题。为了研究这些数学上无法严格求解的问题，我们可以使用各种近似方法、计算机模拟或数值计算等进行处理。在什么情况下使用什么样的近似方法，考虑哪些因素，忽略哪些因素，取舍之间蕴涵着丰富的物理内容。 如：经典力学中的三体问题，通常使用微扰论来解决，即把第三个物体的影响当作微扰来处理。譬如，地球与太阳是两体问题，加上月亮就构成了三体问题。月亮对地球轨道也有影响，但这个影响很小，这就可以用微扰的方法来处理。微扰论在经典力学中取得的主要成就有：海王星的发现、星际航行。 量子力学处理的是微观粒子，而实际问题大多包含多个微观粒子，因此量子力学处理实际问题的复杂性还来自于——多体性。对于具体物理问题的薛定谔方程，能够像粒子在一维无限深势井中运动和氢原子体系这样的问题能够精确求解的问题很少。在通常遇到的许多问题中，由于系统的哈密顿算符比较复杂，往往不能求出精确的解，只能求近似解。因此，量子力学中用来求问题的近似解的方法，就显得非常重要。近似方法通常从简单的问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解。 在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数，因此，引入各种即时方法以求解薛定谔方程的问题显得十分重要。常用的近似方法有微扰论、变分法、半经典近似、绝热近似、自洽场理论、玻恩-奥本哈默近似等。不同的近似方法有不同的适用范围，其中应用最广泛的近似方法就是微扰论。微扰论一般可以分为两大类：一类用于体系的哈密顿算符不是时间的显函数，主要讨论的是定态问题；另一类用于体系的哈密顿算符是时间的显函数的情况，主要讨论的是体系状态之间的跃迁问题。
电子跃迁
电子跃迁 电子跃迁本质上是组成物质的粒子（原子、离子或分子）中电子的一种能量变化。根据能量守恒原理，粒子的外层电子从低能级转移到高能级的过程中会吸收能量；从高能级转移到低能级则会释放能量。能量为两个轨道能量之差的绝对值。 跃迁的分类 电子跃迁过程中吸收、释放能量的形式是多样的。与辐射无关的称为无辐射跃迁，与辐射（光）相关的称为辐射跃迁。 无辐射跃迁 参与无辐射跃迁的能量有多种形式，有热能、电能等等。最常见的形式是热能。如电子从高能级向低能级跃迁时，即有可能释放出热量。 辐射跃迁 辐射跃迁分为受激吸收、自发辐射和受激辐射三类（由爱因斯坦最先提出）。 辐射（光）入射入物质，电子吸收光子能量，从低能级转移到高能级称为受激吸收。 在没有外界辐射（光）激励的情况下，电子从高能级转移到低能级并释放出光子，称为自发辐射。因为自发辐射具有随机性，所以这种情况辐射出的光的相位也是随机的。而且光强较弱，称为荧光。 在有外界辐射（光）激励的情况下，电子从高能级转移到低能级并释放出光子，称为受激辐射。由于受激辐射是由外界入射光子引起的，所以电子跃迁产生光子与入射光子具有相关性。即入射光与辐射光的相位相同。如果这一过程能够在物质中反复进行，并且能用其他方式不断补充因物质产生光子而损失的能量。那么产生的光就是激光。 普朗克认为光子能量是孤立的，因此跃迁吸收或者放出的光子能量可表示为：
其中h为普朗克常数6.626196×10^(-34)J·s。ν为产生光子的频率。在氢原子中光子能量又可以与轨道数联系起来，他们之间有一个李德博格常数联系起来，该理论可以预测电子的所处的轨道，从而预测氢原子的谱线，同时也可以拓展到其他元素谱线的预测。 跃迁实例编辑 电子跃迁的一个例子就是焰色反应。某些金属或它们的挥发性化合物在无色火焰中灼烧时使火焰呈现特征的颜色的反应.灼烧金属或它们的挥发性化合物时,原子核外的电子吸收一定的能量,从基态跃迁到具有较高能量的激发态,激发态的电子回到基态时,会以一定波长的光谱线的形式释放出多余的能量,从焰色反应的实验里所看到的特殊焰色,就是光谱谱线的颜色.每种元素的光谱都有一些特征谱线,发出特征的颜色而使火焰着色,根据焰色可以判断某种元素的存在.如焰色洋红色含有锶元素,焰色玉绿色含有铜元素,焰色黄色含有钠元素等. 如权能量子活化磁电子跃迁技术原理现在流行与各个行业当中最为普及的权能量子是高能生物陶瓷的能量材料，这种量子技术生产的工艺相当复杂,此产品是由近几十种的稀有金属经过特殊氧化的工艺后在2000度的高温下综合烧结为一体，这种特殊的材料具有卓越的电子跃迁属性，有着超强光、力、磁、电吸收及催化维一体的敏感性能。自然界有无数的放射源：宇宙星体、太阳、地球上的海洋、山岭、岩石、土壤、森林、城市、乡村、以及人类生产制造出来的各种物品，凡在绝对零度（-273℃）以上的环境，无所不有地发射出不同程度的红外线。现代物理学称之为热射线。由能量守恒定律得知，宇宙的能量不能发生，也不会消失，只可以改变能量的方式。热能便是宇宙能量的一种，可以用放射（辐射）、传导和对流的方式进行转换。在放射的过程中，便有一部份热能形成红外线、白金线。几十年前，航天科学家调查研究，太阳光当中波长为8~14微米的远红外线是生物生存必不可少的因素。因此，人们把这一段波长的远红外线称为“生命光波”。这一段波长的光线，与人体发射出来的远红外线的波长相近，能与生物体内细胞的水分子产生最有效的“共振”，同时具备了渗透性能，有效地促进动物及植物的生长。21世纪开始，权能量子带领光谱领域进入新的纪元，材料科技研究进入奈米科技的等级，可生成比远红外线光谱更长的光谱，就是白金线被现代科学命名为“权能量子光谱”。新技术权能量子的发现，释放波长为1000-1600微米，把跃迁的实际效能体现的淋漓尽致。 权能量子材料有多种形态体现和利用，如：用于微波炉、光波炉、炒锅、电饭煲、烤箱水溶喷涂态；也有30%、50%、70%、100%的粉末态，用在与食品级ABS塑料相溶，可注塑成千姿百态的、绝无塑化剂的隐患的环保制品；也有各种规格的颗粒状权能量子球，光线大致可分为可见光及不可见光。可见光经三棱镜后会折射出紫、蓝、青、绿、黄、橙、红颜色的光线（光谱）。红光外侧的光线，在光谱中波长自0.76至1000微米的一段被称为红外光，又称红外线。光谱波长能自1000至1600微米，被称为“权能量子能量”光谱。
微扰理论
第五章 微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密 顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。本章将介绍微扰论和变分法。 本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。 §5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级 Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录： 氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。 假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程 ?H E ψψ= 满足下列条件： ?H 可分解为 0?H 和 ?H '两部分，而且 0?H 远大于?H '。 00????? H H H H H ''=+ 0?H 的本征值和本征函数已经求出，即 0 ?H 的本征方程 (0)(0)(00?n n n H E ψψ=中， 能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。微扰论的任务就是从0 ?H 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰?H ' 后，?H 的本征值和本征函数。3. 0 ?H 的能级无简并。严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。例如我们要通过微扰计算?H '对 0 ?H 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)n E 无简并，它相应的波函数只有(0) n ψ一个。其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。4. 0H 的能级组成分离谱。严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分离谱内，(0)n ψ是束缚态。 在满足上述条件下，定态非简并微扰论的目的是从已知的 0 ?H 的本征值和本征函数出发求0H 的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进一个小参数λ，将?H '写成?H λ' ，将 ?H ' 的微小程度通过λ 的微小程度反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是 0???()n n n n H H H E ψλψψ'=+= 将能级n E 和波函数 n ψ 按λ 展开：