五年级奥数全套专题系列：应用题

不定方程与不定方程组

知识框架

一、知识点说明

历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义

（1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

（2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解

三、不定方程的试值技巧

（1）奇偶性

（2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）

（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）

（1） 利用整除及奇偶性解不定方程 （2） 不定方程的试值技巧 （3） 学会解不定方程的经典例题

一、 利用整除性质解不定方程

【例 1】 求方程 2x －3y ＝8的整数解

【考点】不定方程

【解析】 方法一：由原方程，易得 2x ＝8＋3y ，x ＝4＋

3

2

y ，因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，并且，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x k

y k

?

=+???=?，其中k 为任意数．说明由y

取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．

方法二：根据奇偶性知道2x 是偶数，8为偶数，所以若想2x －3y ＝8成立，y 必为偶数，

当y ＝0，x ＝4；当y ＝2，x ＝7；当y ＝4，x ＝10……，本题有无穷多个解。

【答案】无穷多个解

【巩固】 求方程2x ＋6y ＝9的整数解

【考点】不定方程

例题精讲

重难点

【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但2?9，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．

说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。

【答案】无整数解

【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解

【考点】不定方程

【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数

即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16……

x＝1时，17－2x＝15，y＝3，

x＝6时，17－2x＝5，y＝1，

x＝11时，17－2x＝17 －22，无解

所以方程有两组整数解为：

16

,

31 x x

y y

==??

??

==??

【答案】

16

,

31 x x

y y

==??

??

==??

【巩固】求方程3x＋5y＝12的整数解

【考点】不定方程

【解析】由3x＋5y＝12，3x是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y也为3的倍数，所以y为3的倍数即可，所以y的取值为0、3、6、9、12……

y＝0时，12－5y＝12，x＝4，

x＝3时，12－5y＝12－15，无解

所以方程的解为：

4

0 x

y

=?

?

=?

【答案】

4

0 x

y

=?

?

=?

【例 3】求719213

x y

+=的所有正整数解．

【考点】不定方程

【解析】按照顺序逻辑讨论，从y值讨论，由y=1开始，当y=2时，x=25，当y=9时，x=6. 【答案】x=25，y=2

X=6，y=9

【巩固】求62290

x y

+=的自然数解

【考点】不定方程

【解析】按照顺序逻辑思维先考虑y的取值，当y=0时，x=15，当y=3时，x=4.

【答案】x=15，y=0

X=4，y=3

二、利用余数性质解不定方程

【例 4】求方程3x＋5y＝31的整数解

【考点】不定方程

【解析】方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得x＝315

3

y

-

，即x＝10－2y＋

1

3

y

+

，

要使方程有整数解1

3

y

+

必须为整数．

取y＝2，得x＝10－2y＋1

3

y

+

＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2

当y＝5，得x＝10－2y＋1

3

y

+

＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5

当y＝8，得x＝10－2y＋1

3

y

+

＝10－16＋3无解

所以方程的解为：

72

,

25 x x

y y

==??

??

==??

方法二：利用余数的性质

3x是3的倍数，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为：

取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）

y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合题意）

y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）

y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）

y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合题意）

y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）

当y＞6时，结果超过31，不符合题意。

所以方程的解为：

72

,

25 x x

y y

==??

??

==??

【答案】

72

,

25 x x

y y

==??

??

==??

【巩固】解方程7489

x y

+=，（其中x、y均为正整数）

【考点】不定方程

【解析】方法一：7489

x y

+=，4y是4的倍数，和89除以4余1，所以7x除以4余1（7÷4≡3），可以看成3x除以4余1，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x＜13）

x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍）

x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍）

x＝3，3x＝9，9÷4≡1（符合题意）

x＝4，3x＝12，12÷4≡0（舍）

x＝5，3x＝15，15÷4≡3（舍）

x＝6，3x＝18，18÷4≡2（舍）

x＝7，3x＝21，21÷4≡1（符合题意）

x＝8，3x＝24，24÷4≡0（舍）

x＝9，3x＝27，27÷4≡3（舍）

x＝10，3x＝30，30÷4≡2（舍）

x＝11，3x＝33，33÷4≡1（符合题意）

x＝12，3x＝36，36÷4≡0（舍）

所以方程的解为：

3711

,,

17103 x x x

y y y

===???

???

===???

方法二：利用欧拉分离法，由原方程，

8971

222

44

x x

y x

-+

==-+

，

()1

x+

的取值

为4的倍数即可，所以方程的解为：3711

,,17103x x x y y y ===??????===?

?? 【答案】3711

,,17103x x x y y y ===??????===???

【例 5】 求方程5322x y +=的所有正整数解．

【考点】不定方程

【解析】 因为能被5整除的数的末位数字是0或者5，所以3y 的末尾数字应为2或者7，所

以当y=4时，x=2.

【答案】x=2，y=4.

三、 解不定方程组

【例 6】 解方程1800120080016000

15a b c a b c ++=??++=?

（其中a 、b 、c 均为正整数）

【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答

【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得96480

15

a b c a b c ++=??++=?，根据消元的思想将第二个

式子扩大4倍相减后为：(964)4()80415a b c a b c ++-++=-?，整理后得5220a b +=，根据等式性质，2b 为偶数，20为偶数，所以5a 为偶数，所以a 为

偶数，当2a =时，52220b ?+=，5b =，所以8c =，当4a =时，54220b ?+=，5b =，所以无解。所以方程解为258a b c =??

=??=?

【答案】258a b c =??

=??=?

【例 7】 解不定方程153100

3

100

x y z x y z ?

++=???++=? (其中x 、y 、z 均为正整数)

【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答

【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得159300

100

x y z x y z ++=??++=?，根据消元思想与第二个

式子相减得148200x y +=，根据等式的性质两边同时除以2得：74100x y +=，根据等式性质4y 为4的倍数，100为4的倍数，所以7y 为4的倍数，所以y 为4的倍数试值如下481218,11,4788184x x x y y y z z z ===??????

===??????===???

【答案】4812

18,11,4

788184x x x y y y z z z ===??????

===??????===???

【随练1】 解不定方程：2940x y +=（其中x,y 均为正整数）

【考点】不定方程

【解析】 方法一：2x 是偶数，要想和为40（偶数），9y 也为偶数，即y 为偶数，也可以化

简方程2940x y +=，40920522

x y

x y -==-+知道y 为偶数，所以方程解为：112

,24x x y y ==????==??

【答案】112

,24

x x y y ==????==??

【随练2】 求不定方程7111288x y +=的正整数解有多少组？

【考点】不定方程

【解析】 本题无论x 或是y ，情况都较多，故不可能逐一试验．检验可知1288是7的倍数，

所以11y 也是7的倍数，则y 是7的倍数．

课堂检测

设7y z =，原方程可变为11184x z +=，z 可以为1，2，3，……16．由于每一个z 的值都确定了原方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解．

【答案】16组

【作业1】 求23734x y z ++=的正整数解．

【考点】不定方程

【解析】 本题按照逻辑顺序思维，先确定z 的值再讨论x 与y 的值 【答案】略

【作业2】 求x+2y+5z=18的自然数解

【考点】不定方程

【解析】 本题按照逻辑顺序思维，先讨论z 的取值，因为5z 的值变化较大 【答案】z 分别等于0、1、2.共三组解

教学反馈

家庭作业

一、 知识点概述：

分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．

关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系

例如：（1）a 是b 的几分之几，就把数b 看作单位“1”．

（2）甲比乙多1

8

，乙比甲少几分之几？

方法一：可设乙为单位“1”，则甲为19188+=，因此乙比甲少191

889

÷=.

方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少1

199

÷=

. 二、 怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数

在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。

例如：

我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。

解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。

（二）、两种数量比较

分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。

知识框架

分数、百分数应用题（一）

例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”）， 解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。

（三）、原数量与现数量

有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。这类分数应用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字，然后在分析。

例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。

完善后：水结成冰后体积增加了→ “水结成冰后体积比原来增加了” →原来的水是单位“1”

冰融化成水后，体积减少了→ “冰融化成水后，体积比原来减少了” →

原来的冰是单位“1”

解题关键：要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析

（1） 寻找单位“1”。 （2） 理解量率对应。 （3） 抓住不变量。

【例 1】 一桶油第一次用去

5

1

，第二次比第一次多用去20千克，还剩下22千克。原来这桶油有多少千克？

【巩固】 一堆煤，第一次用去这堆煤的20%，第二次用去290

千克，这时剩下的煤比原来这

例题精讲

重难点

堆煤的一半还多10千克，求原来这堆煤共有多少千克？

【例 2】 缝纫机厂女职工占全厂职工人数的

20

7

，比男职工少144人，缝纫机厂共有职工多少人？

【巩固】 菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的

31，第二天卖出余下的5

2，这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？

【例 3】 男生人数是女生人数的5

4

，男生人数是学生总人数的几分之几？

【巩固】 兄弟两人各有人民币若干元，其中弟的钱数是兄的

5

4

，若弟给兄4元，则弟的钱数是兄的

3

2

，求兄弟两人原来各有多少元？

【例 4】 甲是乙的32，乙是丙的5

4

，甲是丙的的几分之几？

【巩固】 某工厂计划一月份生产一批零件，由于改进生产工艺，结果上半月生产了计划的

53，下半月比上半月多生产了5

1

，这样全月实际生产了1980个零件，一月份计划生产多少个？

【例 5】 甲的54等于乙的7

3

，甲是乙的几分之几？

【巩固】 五（2）班有学生54人，男生人数的75%和女生人数的80%都参加了课外兴趣小组，

而未参加课外兴趣小组的男、女生人数刚好相等，这个班男、女生各有多少人？

【例 6】 两种糖放在一起，其中软糖占

20

9

，再放入16块硬糖以后，软糖占两种糖总数的4

1

，求软糖有多少块？

【巩固】 小明看一本课外读物，读了几天后，已读的页数是剩下页数的

8

1

，后来他又读了20页，这时已读的页数是剩下页数的

6

1

，这本课外读物共有多少页？

【例 7】 人合买一台彩电，老大出的钱是其他两人出钱总数的

2

1

，老二出的钱是其他两人出钱总数的

3

1

，老三比老二多出400元。问这台彩电多少钱？

【巩固】 条公路修了1000米后，剩下部分比全长的5

3

少200米，这条公路全长多少米？

【例 8】 两班共有96人，选出甲班人数的

4

1

和乙班人数的51，组成22人的数学兴趣小组，

问甲、乙两班原来各有多少人？

【巩固】 某书店出售一种挂历，每售出1本可得18元利润。售出一部分后每本减价10元出

售，全部售完。已知减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的3

2

。书店售完这种挂历共获利润2870元。书店共售出这种挂历多少本？

【例 9】 某工厂第一车间人数比第二车间的

5

4

多16人，如果从第二车间调40人到第一车间，这时两个车间的人数正好相等，原来两个车间各有多少人？

【巩固】 老师买来一些本子和铅笔作奖品，已知本子本数与铅笔支数的比是4∶3，每位竞

赛获奖的同学奖8本本子和5支铅笔，奖了7位同学后，剩下的本子本数与铅笔支数的比是3∶4，老师买来本子、铅笔各多少？

【例 10】 某区举行小学生春季运动会，其中某校参加的人数占运动员总人数的

1

15

，若这个学校再去10名运动员，则该校人数占运动员总人数的2

23

，这次运动会共有运动员多少人？这个学校原来有多少人参加运动会？

【巩固】 甲、乙、丙三人合作生产一批机器零件，甲生产的零件数量的一半与乙生产的零

件的

3

5

相等，又等于丙生产零件数量的四分之三，已知乙比丙多生产50个零件，求这批零件共有多少个。

【随练1】 京新小学六年级有两个班共有学生90人，期末两个班共选出三好学生14人，其

课堂检测