课时跟踪检测 (二十九) 等差数列及其前n项和

课时跟踪检测 (二十九) 等差数列及其前n 项和 一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2017·桂林调研)等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A ．1

4

B ．12

C ．2

D ．－12

解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝1

4，故选A ．

2．等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63

D ．27

解析：选B 法一：∵S 9＝9(a 1＋a 9)

2＝9a 5＝9×6＝54．故选B ．

法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，

∴S 9＝9a 1＋9×8

2

d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B ．

3．(2017·陕西质量监测)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )

A ．21

B ．22

C ．23

D ．24

解析：选C 3a n ＋1＝3a n －2?a n ＋1＝a n －23?{a n }是等差数列，则a n ＝473－2

3n ．∵a k ＋

1·

a k <0， ∴????473－23k ????453－23k <0，∴452

2，又∵k ∈N *， ∴k ＝23．

4．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________．

解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0． ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2． ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6．

答案：6

5．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．

解析：∵????? a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴????

?

a 5>0，a 6<0，

∴S n 的最大值为S 5． 答案：S 5

二保高考，全练题型做到高考达标

1．(2017·太原一模)在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝3

4，则a 1＝( )

A ．－1

B ．0

C ．14

D ．12

解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2， 又∵a 2a 4＝3

4，数列{a n }单调递增，

∴a 2＝12，a 4＝32．

∴公差d ＝

a 4－a 22＝1

2

．∴a 1＝a 2－d ＝0． 2．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10

B ．15

C ．－5

D ．20

解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式， ∴a n ＝4n ＋1，a p －a q ＝4(p －q )＝20．

3．(2017·河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )

A ．11

4

B ．32

C ．7

2

D ．1

解析：选A 设{a n }的公差为d ，由题意得，S n ＝

na 1＋

n (n －1)

2

d ＝d 2

n 2＋??

??a 1－d 2n ，又{a n }和{

S n

}都是等差数列，且公差相同，∴???

d ＝ d 2

，a 1

－d

2＝0，

解得???

d ＝12

，a 1

＝1

4，

a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝11

4

．

4．(2017·沈阳教学质量监测)设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( )

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

解析：选A 由题可得{a n }的公差d ＝

3－7

4－2

＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，则{a n }

是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，于是S 9＝2a 52·9>0，S 10＝a 5＋a 62·10＝0，S 11＝2a 6

2·11<0，

故选A ．

5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n

S 2n

为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等

差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )

A ．b n ＝n －1

B ．b n ＝2n －1

C ．b n ＝n ＋1

D ．b n ＝2n ＋1

解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，

S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋1

2

n (n －1)d ＝k ???

?2n ＋1

2×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0． 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝14

．

所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1．

6．在等差数列{a n }中，公差d ＝1

2，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝

________．

解析：因为S 100＝

1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910

， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝2

5，

则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×2

5

＝10． 答案：10

7．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．

解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ????

?

d <0，a 8>0，a 9<0，

即????

?

d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，

解得－1

8

．

答案：?

???－1，－7

8 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值

为________．

解析：因为等差数列{a n}的前n项和为S n，S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，

所以a m＝S m－S m－1＝2，a m＋1＝S m＋1－S m＝3，数列的公差d＝1，a m＋a m＋1＝S m＋1－S m －1

＝5，

即2a1＋2m－1＝5，

所以a1＝3－m．

由S m＝(3－m)m＋m(m－1)

2×1＝0，

解得正整数m的值为5．

答案：5

9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为S n，且S k＝110．(1)求a及k的值；

(2)设数列{b n}的通项b n＝S n

n，证明：数列{b n}是等差数列，并求其前n项和T n．

解：(1)设该等差数列为{a n}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，

所以S k＝ka1＋k(k－1)

2·d＝2k＋

k(k－1)

2×2＝k

2＋k．

由S k＝110，得k2＋k－110＝0，

解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10．

(2)证明：由(1)得S n＝n(2＋2n)

2＝n(n＋1)，

则b n＝S n

n＝n＋1，

故b n＋1－b n＝(n＋2)－(n＋1)＝1，

即数列{b n}是首项为2，公差为1的等差数列，

所以T n＝n(2＋n＋1)

2＝

n(n＋3)

2．

10．(2017·南昌调研)设数列{a n}的前n项和为S n,4S n＝a2n＋2a n－3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，当n≥5时，a n>0．

(1)求证：当n≥5时，{a n}成等差数列；

(2)求{a n}的前n项和S n．

解：(1)证明：由4S n＝a2n＋2a n－3,4S n＋1＝a2n＋1＋2a n＋1－3，

得4a n＋1＝a2n＋1－a2n＋2a n＋1－2a n，

即(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n－2)＝0．

当n≥5时，a n>0，所以a n＋1－a n＝2，

所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．

(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1， 又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列， 所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1， 而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，

所以a n ＝?

????

3(－1)n －

1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，

所以S n ＝?????

32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，

n 2－6n ＋8，n ≥5.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．(2016·安庆二模)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n

＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n

≤n ＋8

n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．

解析：a n ＝S 2n －1?a n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2

＝(2n －1)a n ?a 2n ＝(2n －1)a n ?a n

＝2n －1，n ∈N *．

λa n ≤n ＋8n 就是λ≤(n ＋8)(2n －1)n ?λ≤2n －8n ＋15，f (n )＝2n －8

n ＋15在n ≥1时单调递增，其最小值为f (1)＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9．

答案：9

2．已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ． 解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd ． 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，

得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3， 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3， 解得d ＝2，a 1＝－12

．

法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3， 得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1， ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )

＝4n ＋1－(4n －3)＝4， ∴d ＝2．

又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1， ∴a 1＝－1

2

．

(2)由题意，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n

＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －1

2

＝2n 2－3n ＋52

．

②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2．