初等数学研究程晓亮刘影版课后习题答案

初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数

1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数

bi a +. 2（略）

3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：

.

这D ,d （2）解：按照自然数序数理论乘法定义

8

7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法）

()

1,1

11101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(22

1

2

1212

2

22

12

12

122

111

112

111212

222121+-≥

++++∴≥???? ??-++???? ??-+???? ??->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=?+++++++++++k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k

a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n k

a a a a a a k i a k k n 由归纳假设，得，且得，，且时，由当。，且成立，即时假设ΛΛΛΛΛΛΛΛ1+k 2

且互不相同.故新增k 个交点，所以()()()()[]1112

1

1-++=+=+k k k k f k f .

综合?1、?2，命题对于不小于2的所有自然数成立. 9举例：正整数集N 上定义的整除关系“|”满足半序关系.

证明：（1）（自反性）任意的正整数x ，总有x x |； （2）（反对称性）如果x y y x |,|，那么y x =；

（3）（传递性）如果z y y x |,|，那么z x |. 通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.

10证明：设N M ?，且 ①M ∈1

②若M a ∈，则M a ∈'.

若N M ≠.

令A 是所有不属于M 的自然数组成的集合，则A 是N 的非空子集，按照最小数

12证明：（1）根据自然数除法定义有c d

c

d b a b a =??=,，两式相乘，得

b

a bc d c ad ?=?，所以有：若bc ad =，则d c

b a =；若d c

b a =，则b

c a

d =

（2）bc ad d c

d b b a b d d c b a bd +=?+?=+()()(，根据除法定义，（2）成立.

（3）ac d c

d b a b d c b a bd =??=?)()(，根据除法定义，（3）成立.

13证明：'''''''')()(n m m n m n n m +=+=+=+.

14证明：设N b a ∈?,，下，下面证明b a b a b a <>=,,三种关系有且仅有一个成立.

（1）先证明三个关系中至多有一个成立.

假若它们中至少有两个成立，若令b a b a >=,同时成立，则存在*N k ∈，使得：k a k b a +=+=

于是a a >，与a a =矛盾.

同理可证，任意两种关系均不能同时成立. （2）再证明三中关系中至少有一个成立.

取定a ，设M 是使三个关系中至少有一个成立的所有b 的集合，当1=b 时，

'

b '成即

bc ad c a +-|

17证明：因为)1)(1(121++++-=---p p p p p p p p Λ，而有限个奇数的乘积仍是奇数，奇数个奇数的和也是奇数，因而121++++--p p p p p Λ是奇数， 于是Z s s p p p ∈+-=-),12)(1(1，同理有Z t t q q q ∈++=+),12)(1(1，

两式相加：)1)(()1)(1(2+++=++-=+t s q p t s p q p q p ，所以)(|q p q p q p ++.

18解：因为3153=+q p ，所以p 3和q 5必为一奇一偶. 若p 3为偶数，可验证质数5,2==q p ，则13log 2

+q p 1532log 2

+?=81

log 2=3-= 若q 5为偶数，可验证质数2,7==q p ，则13log 2

+q p 1

237

log 2+?=0= 所以031

3log 2

或-=+q p

. 19证明：根据减法是加法的逆运算知，设b a ,是有理数，b a -是这样一个数，它与b 的和等于a ．即a b b a =+-)(．但是，我们有 ])[()]([b b a b b a +-+=+-+(加法结合律)

a a =+=0

因此，)(b a -+这个确定的有理数，它与b 的和等于a ， )(b a b a -+=-∴

又如果差为x ，则有a b x =+，于是，两边同加)(b -有： )()(b a b b x -+=-++ )()]([b a b b x -+=-++ )(b a x -+=

即差只能是)(b a -+，定理得证． 20证明：做差，0332>-=-+a b a b a ，03

)

(232<-=-+b a b b a . 所以有b b

a a <+<

3

2 21证明：首先证明y x ≤当且仅当y x y ≤≤-.

事实上，若y x ≤，当0≥x 时，y x x ≤=且y x -≥，即y x y ≤≤-;当0

0≥x 时，y x x ≤=;当0

下面来证明：b a b a b a +≤+≤-.

事实上，对于b a ,显然有： a a a ≤≤- b b b ≤≤-

故有b a b a b a +≤+≤+-)(.

,))

3)(2(21(10Λ++++++=

2)1(2))2(1211(1122+<++=+++++≤

n n n n n n Λ 因为1>n ,故10<

23证明：假设1,1),(,≠==

q q p q

p

a n

两边n 次方得n n

q

p a =，

但是,1),(=q p 所以1,1),(≠=n n n q q p ，所以a 不是整数，这与已知条件矛盾， 所以n a 是无理数. 24证明：假设N q Z p q

p

b a ∈∈=

,,log ，

1，

所以)(|)1(2x f x x ++

28证明（反证法）：若π与3.8的和是有理数a ，即a =+8.3π，则π=-8.3a . 因为全体有理数称为一个域，对减法运算封闭，所以差8.3-a 仍是有理数，与π是无理数矛盾，所以π与3.8的和是无理数.

29两个无理数的商可能是有理数.例如：2是无理数，易证22也是无理数，

Z ∈=22

22

30不能，因为无理数对四则运算不封闭.例如022=-.

31解：由于xyi y x y x y x xyi y x yi x z )(44)()2()(222222222244-+--=+-=+= 所以4z 是纯虚数的条件是04)(22222=--y x y x ，0)(422≠-xy y x 即0,)21(≠±±=y y x

32证明：设1C 是C 的任一子域，R C ?1，且在1C 中方程12-=z 有解j z =.

1x

+()(0)ln(1)ln(10)1

(),0.001f x f x f x x x ξξξ

-+-+'=

==<<--+

即ln(1).1x x ξ+=

+ 又因11ln(1)1,11x x ξ+=<<++ 因此有ln(1).1x

x x x

<+<+ 2．若,,x y z 均为实数, 且2

2

2

2

1(0),.2

x y z a a x y z a ++=>++=

求证:

2220,0,0.333

x a y a z a ≤≤

≤≤≤≤ 证明 由22221()2x y a x y a ++--=有22

21()()0.4x y a x y ay a +-+-+= 其判别

式22

21()4()04

y a y ay a ?=---+≥(因x R ∈). 从而, 2320y ay -≤即20.3y a ≤≤

同理可证22

0,0.33x a z a ≤≤≤≤

3．设,,a b c 表示一个三角形三边的长, 求证:

证明 欲证

11a b ab +<+成立, 只需2

()11a b ab

+<+, 即证22()(1)a b ab +<+.

则只需2

2

(1)()0,ab a b +-+> 也就是22

2

2

10,a b a b +--> 即证

22(1)(1)0.a b --> 而1,1,a b << 所以22(1)(1)0a b -->成立. 命题得证.

6．若

1

1(0),n i i i a a ==>∑ 求1

11

((.n

n i i i a n a n

=+

≥+∏

证明 2112221111

1111...n a a a n a n a n a +

=++++144424443

项

22(1)n n ≥+

2222222222221111...(1)n n a a n a n a n a n a +

=++++≥+14444244443

项

…… ……

2

22221111...(1)n n n n n n n a a n a n a n a n a +

=++++≥+14444244443

8．证明 若1(1,2,...,),i a i n ≥=则1

12122(...1)(1)(1)...(1).n n n a a a a a a -+≥+++

证明 用数学归纳法证明如下: 当1n =时, 命题显然成立;

假设命题对n 成立, 我们来证明它对1n +也成立, 注意到1(1,2,...,).i a i n ≥=

1

11

1

1

11

1

1

1

(1)(1)2

(1)2

(1)

n n

n n

n n i

n i i i n i i i i a a

a a a a ++--++====+≤+?+=+++∏∏∏∏

11

11

1

2[1()]n n

n i i n i i a a a +-+===+++∏∏1111

11

1

1

1

2[(1)(11)]

n n n n

n i i i i n i i i i a a a a a +++-+=====+++--++∏∏∏∏111

1

11

11

2(1)2(1)

n n n n

n i i i n i i i a a a a +++-+====+-+--∏∏∏11

111

1

2(1)2[(1)(1)]n n

n

n i i n n i i a a a a +-++===+----∏∏11

1

1

2(1)2(1)[1)

n n

n

n i n i i i a a a +-===+---∏∏1

2(1).n n

i a +≤+

2322216(22)3z xy ≤=+ ? ?

???

.

再注意到2

2

2

2

()22,x y x y xy z xy +=+-=+ 因而2

2

2

2

22,z xy x y z +=++ 这就是所要证的不等式.

11．已知,a b 为小于1的正数, 求证:

证明 设1234,(1),(1),(1)(1),z a bi z a bi z a b i z a b i =+=-+=+-=-+-

则

1z =

, 2z =

3z =

4z =12341234z z z z z z z z +++≥++

+22i =+=

∴

,

r ,

,a b a b -<- 0,><

由于0,a b >> 此不等式显然成立.

15．若2,p R p ∈<且不等式()2

222log log 12log x p x x p ++>+恒成立, 求实数x 的取值范围.

解 令2log ,x a =将不等式转化为: 2

(1)210,a p a a -+-+>令

2()(1)21,f p a p a a =-+-+ 则()0f p >恒成立, 等价于: ()0,

(2)0.

f p f >??->?

2

2

2(1)210,

2(1)210.

a a a a a a ?-+-+>???--+-+>?? 解不等式组得: 1

3180.2

a a x x ><-?><<或或 16．设e 是自然对数的底, π是圆周率, 求证.e e ππ>

a x

解 原不等式1log (1log .a a a x

?-> （1）当1a >时，原不等式

1110,111100.111.

x x a a x x x a a x

?->-??-??->?

??

（2）当01a <<时，原不等式110,11.111.

x

x a a x

?->????<

20．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元. 甲、乙产

品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲所需工时分别为1时、2时，加工一件乙所需工时分别为2时、1时，A ，B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500. 如何安排生产可使收入最大？

解 这个问题的数学模型是二元线性规划.

先要画出可行域，如图。考虑32,x y a a +=是参数，将它变形为3,22

a

y x =-+这是斜率为3

2

-

，随a 变化的一族直线。2a 是直线在y 轴上截距，当2a 最大时a 最大，当然直

线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值.在这个问题中，使32x y +取得最大值的(,)x y 是两直线2500x y +=与2400x y +=的交点(200,100).

因此，甲、乙两种产品的每月产时不时分别为200、100件时，可得最大收入800千元.

21．n 个机器人在一条流水线上工作, 加工后需送检验台, 检验合格后再送下一道工序.

问检验台设置在流水线上什么位置时, 才能使机器人送验时, 才能使机器人所走距离之和最短? 也即耗时最少?

解 不妨设n 个机器人位于同一条数轴上, 每个机器人所在的位置(点)的坐标为

(1,2,...,),i x i n =检验台所在之点的坐标为的坐标为x , 那么机器人送验所走的距离之和为

1234()...s x x x x x x x x x =-+-+-++-(x 为实数), ()s x 何时最小?

为了探索问题的内在规律, 不妨从简单的情形开始考虑.

当2n =时, 检验台放在这二个机器人之间的任何位置都一样. 3n =时, 检验台放在第二个机器人所在点时最小.

通过上述试验, 当n 为奇数时, 检验台应放在正中间的机器人所在的地点; 当n 为偶数

5.4x ∴≥ 所以原不等式的解集为5.4x x ??

≥???

?

(2) [0,1]x ∈时, ()()f x g x ≤恒成立, 即[0,1]x ∈时, 有210,

210,1(2).x x x x t ?+>?

->??+≤+?

即

10,2,

2x t x t x ?+>?

>-??

≥-?恒成立, 故[0,1]x ∈时

, 2t x ≥-恒成立.

于是问题转化成求函数2[0,1]y x x =-∈的最大值.

令u =

则21,x u u =-∈

则2117

22()48

y x u =-=--+

在

上是减函数.

??1256

(3283212).33

k k ≤-??= 当且仅当144

,t t

= 即12t =时取得最大盈利. 此时96.x = 25．设函数().x

e f x x

= (1) 求函数()f x 的单调区间; (2) 若0,k > 求不等式

()(1)()0f x k x f x '+->的解集.

解 (1) ()f x 的定义域为(,0)(0,),-∞+∞U 22111(),x x x x

x f x e e e e x x x

-'=-

+?=令()0,f x '=得 1.x =0x 时, ()0.f x '>

()f x ∴的单调增区间是[1,),+∞单调减区间是(,0),(0,1].-∞

(2) 由2

(1)(1)()(1)()0,x

x kx f x k x f x e x --+'+-=

?> 得(1)(1)0,x kx --+<故当

01k <<时, 解集是11;x x k ??

<时, 解集是

0.b

?40.

a b +

01b a a b a +<≤?≤<<≤或或11-或，即11;b a b +<<- 当1

14

b -≤≤-时化简可得1,a b a ≤≤?+≤<或11即b a +≤<1 当1

34

b -

≤<时化简可得1b a ???+<<或或或或即1b a +<<

27．设a 为实数, 函数2

()2().f x x x a x a =+--(1)若(0)1,f ≥求a 的取值范围; (2)

求()f x 的最小值.

解 (1) (0)1,0,f a a a =--≥∴->Q 即0.a <由2

1a ≥知1,a ≤- 因此a 的取值范围为(,1].-∞-

(2) 记()f x 的最小值为()g a . 我们有

2()2()f x x x a x a =+--2

2

23(),,33

a a x x a ?-+

>?=? 则22

29．已知实数,,,a b c d 满足2

2

2

2

3,2365,a b c d a b c d +++=+++=试求实数a 的取值范围.

解 由柯西不等式得2

2

2

111

(236)(236

b c d +++

+2(),b c d ≥++ 即2222236().b c d b c d ++≥++由条件可得225(3),a a -≥- 解得12,a ≤≤当且仅当

==

时等号成立. 当1,2b =

1,3c =16d =时, max 2;a =当21

1,,33

b c d ===时, min 1.a = 故所求实数a 的取值范围是[1,2]

30．已知函数()()f x x R ∈满足下列条件, 对任意实数12,x x 都有

222220000()[()]()2()()().(4)b a a a f a a a a a f a f a λλλ-=--=---+

由0()0f a =和(1)式, 得2

0000()()()[()()](),(5)a a f a a a f a f a a a λ-=--≥- 由0()0f a =和(2)式, 得222

00()[()()](),(6)f a f a f a a a =-≤- 将(5)(6)代入(4)式得2222222

00000()()2()()(1)().b a a a a a a a a a λλλ-=---+-=--

证(3) 易知a b ≠时, ()()()()

1,1,()

f a f b f a f b a b f a λλλ--≤

≤≤≤-故

22()()

,11,()()

f b f b f a f a λλλλ≤

≤-≤≤-2()(1)(),f b f a λ≤-当a b =此式也成立, 则222()(1)().f b f a λ≤-

第三章习题及答案

.A

max ()(1,2,...,),i A f a i n >= 则在区间1[,]i i a a +上, ()f x 的图象是一条射线

1

,n

i i y nx a ==-+∑,x a < 且当x →-∞时, ().f x →+∞同理, ()f x 在1[,)i a ++∞上是一条

射线1

,n

i i y nx a ==-

∑ 且x →+∞时,

()f x →+∞.

从而函数1

n

i

i y x a

==

-∑的图象与直线y A =的交点只能是在1(,]a -∞与[,)n a +∞内,