（2）由（1）MN =21
)22(2+-a
所以，当a=
2
2
时，min
MN =2
2
， 即M ﹑N 分别移动到AC ﹑BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为2
2。 （3）取MN 的中点P ，连结AP ﹑BP ，因为AM=AN ，BM=BN ，
所以AP ⊥MN ，BP ⊥MN ，∠APB 即为二面角α的平面角。
MN 的长最小时M(21，0，21),N （21，21
，0） 由中点坐标公式P(21，41，4
1
),又A （1，0，0），B （0，0，0）
∴ PA =(21，-41，-41)，PB =(-21，-41，-4
1
)
∴ cos ∠
=
8
3
83161
16141?++-
=-31
∴ 面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小为π-arccos 3
1
例2.(1991年全国高考题)如图，已知ABCD 是边长为4的正形，E ﹑F 分别是AB ﹑AD 的中点，GC ⊥面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。
解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
由题意C（0，0，0），G（0，0，2），E（2，4，0），F（4，2，0），B（0，4，0）
∴GE=（2，4，-2），GF=（4，2，-2），BE=（2，0，0）
设平面EFG的法向量为n=（x，y，z），则n
得
{0242
2
2
4
=
-
+
=
-
+
z
y
x
z
y
x，
令z=1，得x=
3
1，y=
3
1，
即n=（
3
1，
3
1，1），
在向上的射影的长度为
d =BE=
1
9
1
9
1
3
2
+
+
=
11
例3. (2000年二省一市高考题) 在直三棱柱ABC- A1B1C1中CA=CB=1，
∠BCA=900，棱A A1=2，M﹑N分别是A1B1﹑A1 A的中点。
（1）求BN的长；（2）求cos>
<
1
1
,CB；（3）求证：A1B⊥C1M 解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），B（0，1，0），
N（1，0，1），A1（1，0，2），B1（0，1，2），C1（0，0，2），M(
2
1，
2
1，2) （1）BN=（1，-1，1），3；
（2）
1
CB=（0，1，2），
1
BA=（1，-1，2）
∴ cos ><11,CB =
=
5
64
1?+-=1030 （3）B A 1=（-1， 1，-2），
C 1=(2
1，21
，0)
∴ B A 1?M C 1= -1×21+1×2
1
+(-2)×0=0
∴ A 1B ⊥C 1M
二﹑利用图形中的对称关系建系。
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题。
例4. (2001年二省一市高考题)如图，以底面边长为2a 的正四棱锥V-ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点，高OV 为h 。
（1）求cos >解：（1）由题意B （a ，a ，0），
D （-a ，-a ，0），
E （-
2a ，2a ，2
h ） ∴ BE =（-23a ，-2a ，2h
），
DE =（
2a ，23a ，2
h ） cos >=
=
4
25425443432222222h
a h a h a a +?++
-- =2
22
2106h a h a ++- （2） ∵ V （0，0，h ），C （-a ，a ，0）
∴VC =（-a ，a ，- h ）
又 ∠BED 是二面角α-VC-β的平面角 ∴ BE ⊥VC ，DE ⊥VC
即 BE ·VC =2
32a -22a -22h = a 2-22h =0， a 2=22
h
代入 cos >222106h a h a ++-=-3
1
即∠BED=π-arccos 3
1
三﹑利用面面垂直的性质建系。
有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系。
例5. (2000年全国高考题) 如图，正三棱柱ABC- A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a 。
（1） 建立适当的坐标系，并写出A ﹑B ﹑A 1﹑C 1的坐标； （2） 求 AC 1与侧面AB B 1A 1所成的角。
解：（1）如图，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为y 轴，以AA 1所在直线为z 轴，以经过原点且与ABB 1A 1垂直的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
由已知得：A （0，0，0），B （0，a ，0），A 1（0，0，2a ），C 1（-a 23，2
a
，2a ）
（2）取A 1B 1的中点M ，于是有M （0，2
a
，2a ），连AM ﹑MC 1有 1MC =（-
a 2
3
，0，0），且AB =（0，a ，0），1AA =（0，0，2a ） 由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，故MC 1⊥平面AB B 1A 1 。 ∴ A C 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面AB B 1A 1所成的角。 ∵ 1AC =（-a 23，2a ，2a ），AM =（0，2
a ，2a ）, ∴ 1AC ·=0+42a +2a 2
=4
92a ,
1
AC =22
224
43a a a ++=3a ，
AM =22
24
a a +=23a
∴ cos >a a 2
33492
?=23 ∴ 1AC 与AM 所成的角，即AC 1与侧面AB B 1A 1所成的角为30o 。 例6. (2002年上海高考题) 如图，三棱柱OAB- O 1A 1B 1，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB=600, ∠AOB=900，且OB= OO 1=2，OA=3。
求：（1）二面角O 1–AB –O 的大小；
（2）异面直线A 1B 与A O 1所成角的大小。（结果用反三角函数值表示） 解：（1）如图，取OB 的中点D ，连接O 1D ，则O 1D ⊥OB
∵ 平面OBB 1O 1⊥平面OAB ， ∴ O 1D ⊥面OAB ，
过D 作AB 的垂线，垂足为E ，连结
∠DEO 1为二面角O 1–AB-O 的平面角。 由题设得O 1D=3 sin ∠OBA=
2
2OB OA OA +=
7
21 ∴ DE=DBsin ∠OBA=
7
21
∵ 在Rt ΔO 1DE 中，tan ∠DE O 1=7
