指数与指数函数.板块二.学生版
题型一 指数函数的定义与表示
【例1】 求下列函数的定义域
(1)32
x
y -= (2)21
3
x y += (3)512x
y ??= ???
(4)()10.7x
y =
【例2】 求下列函数的定义域、值域
⑴11
2
x y -= ; ⑵3x y -=; ⑶2
120.5x x y +-=
【例3】 求下列函数的定义域和值域:
1.x
a y -=1 2.31
)2
1(+=x y
【例4】 求下列函数的定义域、值域
(1)11
0.4
x y -=; (2)51
3
x y -=. (3)21x y =+
典例分析
板块二.指数函数
【例5】 求下列函数的定义域
(1)13x
y =;
(2)y =
【例6】 已知指数函数()(0,x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(3,π),求(0)f ,(1)f ,
(3)f -的值.
【例7】 若1a >,0b >,且b b a a -+=b b a a --的值为( )
A B .2或2- C .2- D .2
题型二 指数函数的图象与性质
【例8】 已知1a b c >>>,比较下列各组数的大小:
①___b
c
a a ;②1b
a ??
???
1c
a ?? ???
;③11
___b c
a a ;④__a a
b
c .
【例9】 比较下列各题中两个值的大小:
⑴ 2.51.7,31.7; ⑵ 0.10.8-,0.20.8-; ⑶ 0.31.7, 3.10.9.
【例10】 比较下列各题中两个值的大小
(1)0.80.733,
(2)0.10.10.750.75-, (3) 2.7 3.51.01 1.01,
(4) 3.3 4.50.990.99,
【例11】 已知下列不等式,比较m 、n 的大小
(1) 22m n
<
(2)0.20.2m n >
(3)()01m n a a a <<<
(4)()1m n a a a >>
【例12】 图中的曲线是指数函数x y a =的图象,已知a
413
,,3105
四个值,则相应于曲线1234,,,c c c c 的a 依次为_______________.
【例13】 已知a =
函数()x f x a =,若实数m n ,满足()()f m f n >,
则m n ,的大小关系为
.
【例
14】 设a b =c a ,b ,c 的大小关系是
【例15】 若对[1,2]x ∈,不等式22x m +>恒成立,求实数m 的取值范围.
【例16】 判断函数11
()3
x y -=的单调性.
【例17】 函数||()x f x e =( )
A .是奇函数,在(,0]-∞上是减函数
B .是偶函数,在(,0]-∞上是减函数
C .是奇函数,在[0,)+∞上是增函数
D .是偶函数,在(,)-∞+∞上是增函数
【例18】 已知函数f (x )为偶函数,当()0x ∈+∞,
时,()12x f x +=-,求当()0x ∈-∞,时,()f x 的解析式.
【例19】 证明函数x a y =和x a y -= )10(≠>a a 且的图象关于y 轴对称。
题型三 关于指数的复合函数
1.二次函数复合型
【例20】 求函数2212x x
y -??
= ?
??
单调区间,并证明
【例21】 函数221()3x x
f x -??
= ?
??
的单调增区间为 ,值域为 .
【例22】 函数()342x x f x =?-,求()f x 在[0,)x ∈+∞上的最小值.
【例23】 求函数1()423x x f x a +=-?+ (R)x ∈的值域.
【例24】 已知4323x x y =-?+,当其值域为[1,7]时,x 的取值范围是
【例25】 求下列函数的单调区间.
⑴2
32
x
x y a -++=(0a >,且1a ≠);
⑵已知910390x x -?+≤,求函数1111
()4()542
x x y --=-?+最值.
【例26】 函数2
281
(01)x x y a a --+=<<的单调增区间是 .
【例27】 设()124()x x f x a a =++?∈R ,当(,1]x ∈-∞时,()f x 的图象在x 轴上方,求a 的
取值范围.
【例28】 如果函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[1,1]-上的最大值是14,求a 的值.
【例29】 求函数11()1([3,2])42x
x
f x x ????
=-+∈- ? ?????
的单调区间及其值域.
【例30】 已知12x -≤≤,求函数1()3239x x f x +=+?-的最大值和最小值.
【例31】 求函数()()
444222x x x f x a --=+-+的最小值,并指出使()f x 取得最小值时x 的
值
2.分式函数复合型
【例32】 当a >1时,证明函数1
()1
x x a f x a +=-是奇函数.
【例33】 求证下列命题:
(1)()2x x
a a f x --=(a >0,a ≠1)是奇函数;
(2)()(1)1
x x a x
f x a +=-(a >0,a ≠1)是偶函数.
【例34】 已知函数()21
21
x x f x -=+,
(1)判断函数()f x 的奇偶性;
(2)求证函数()f x 在()-∞+∞,
上是增函数.
【例35】 讨论函数21
()21
x x f x -=+的奇偶性、单调性,并求它的值域.
【例36】 已知1010()1010x x
x x
f x ---=+,判断函数的单调性、奇偶性,并求()f x 的值域.
【例37】 正实数12x x ,及函数()f x 满足()()
141x f x f x +=
-,且()()121f x f x +=,求()
12f x x +的最小值
【例38】 设a ∈R ,2
()()21
x
f x a x =-
∈+R ,若()f x 为奇函数,求a 的值.
【例39】 在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数(也称高斯函数),它表示x
的整数部分,即[]x 是不超过x 的最大整数.例如:[2]2=,[3.1]3=,
[2.6]3-=-.设函数21
()122
x x f x =-
+,则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为
题型四 其他综合题目
【例40】 小明即将进入一大学就读,为了要支付4年学费,小明欲将一笔钱存入银行,
使得每年皆有40000元可以支付学费.而银行所提供的年利率为6%,且为连续复利,试求出小明现在必须存入银行的钱的数额.
【例41】 求函数y =
【例42】 已知函数|22|x y =-,
⑴ 作出函数的图象;
⑵ 根据图象指出函数的单调区间;
⑶ 根据图象指出当x 取什么值时,函数有最值.
【例43】 方程22x x =-的解的个数为 .
【例44】 已知函数()||
1
22x x f x =-
, ⑴若()2f x =,求x 的值;
⑵若()()220t f t mf t +≥对于[]12t ∈,
恒成立,求实数m 的取值范围.
【例45】 函数()
2lg 34y x x =-+的定义域为M ,当x ∈M 时,求()42234x f x =+-?的最
值.
【例46】 设a 是实数,()2
21
x f x a =-
+ (x ∈R) (1)试证明对于任意()af x 为增函数; (2)试确定a 值,使f (x )为奇函数.
【例47】 因为复杂的函数,往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到,或者是
多个函数的复合后得到的,比如下列函数:()()()22x f x g x h x x ==,,
则
()()
f x
g x ,复合后可得到函数
()()2x g f x g ==????
和
()
f g x f
==????的取值,得到的函数称为复合函数;也可以由()()f x g x ,进行乘法运算得到函
数()()2x f x g x =.所以我们在研究较复杂的函数时,常常设法把复杂的函数进行逆向操作,把其拆分转化为简单的函数,借助简单函数的性质进行研究. ⑴复合函数(){}f h g x ????的解析式为 ;其定义域为 .
⑵可判断()()2x f x g x =是增函数,那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函数?若是请证明,若不是,请举一个反例;
⑶已知函数()2x f x -=,若()()121f x f x +>-,则x 的取值范围为 .
⑷请用函数()()()()22ln x f x g x h x x k x x ====,,中的两个进行复合,得到三个函数,
使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数.
【例48】 已知函数2()()1
x x a
f x a a a -=--,其中0a >,1a ≠.
⑴判断函数()f x 的奇偶性; ⑵判断函数()f x 的单调性,并证明.
【例49】 已知2
()()(0,1)2
x x a
f x a a a a a -=
->≠-是R 上的增函数,求a 的取值范围.
【例50】 已知函数()x f x b a =(其中a ,b 为常量,且a >0,a ≠1)的图象经过点A (1,6),
B(3,24).
(1)求()f x ;
(2)若不等式1123x
x
m ????
+≥ ? ?????
在()1x ∈-∞,
时恒成立,求实数m 的取值范围.
【例51】 已知1
1()212x
f x x ??=+ ?-??
. ⑴求证:()0f x >;
⑵若()()()F x f x t f x t =++-(t 为常数),判断()F x 的奇偶性.
【例52】 用{}min a b c ,
,表示a ,b ,c 三个数中的最小值,设{}()min 2210x f x x x =+-,, (0)x ≥,则()f x 的最大值为( )
A .4
B .5
C .6
D .7
【例53】 已知函数()x f x a =满足条件:当(),0x ∈-∞时,()1f x >;当()0,1x ∈时,不等
式,()()()23112f mx f mx x f m ->+->+恒成立,求实数m 的取值范围.
【例54】 如果函数2()(31)x x f x a a a =--(0,1)a a >≠且仔区间[)0,+∞上是增函数,那么
实数a 的取值范围是( )
A .20,3?
?
??
? B .1?????
C .(
1, D .2,3??
+∞ ???
【例55】 若关于x 的方程1
1
25
45
0x x m -+-+-?-=有实根,求m 的取值范围.
【例56】 已知11235723511x y z x y z -+++=++=,
,求11235x y z +-++的取值范围。
【例57】 已知()x
f x =01a a >≠,。
(1)求证:函数()f x 的图像关于点1122??
???
,中心对称
(2)求123910101010f f f f ??
??????+
++??????+ ? ? ? ???
??
????
【例58】 已知函数()2x f x =,()122
x
g x =
+
(1)求函数()g x 的值域;
(2)求满足方程()()0f x g x -=的x 的值.