三角函数求值域专题

三角函数求值域专题

求三角函数值域及最值的常用方法：

（1） 一次函数型：或利用为：=+=x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a ，

利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，

（1）：5)12

3sin(2+-

-=π

x y ，x x y cos sin =

（2）x x y cos 3sin 4-=

（3）.函数在区间上的最小值为 1 ． （4）函数且的值域是___(,1][1,)-∞-?+∞

（2）二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解； 二倍角公式的应用：

如： （1） x x y 2cos sin += （2）函数的最大值等于

4

3

． （3）.当时，函数的最小值为 4 ．

（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ． （5）.若，则的最大值与最小值之和为____2____．

（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；

型如d

x c b

x a x f ++=

cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：

①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解；

③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2

x

y x =

-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2

x

y x =

-得最值，由几何知

识，易求得过Q

的两切线得斜率分别为

3

-

3

。结合图形可知，此函数的值域是[。

解法2：将函数

sin

cos2

x

y

x

=

-

变形为cos sin2

y x x y

-=

，∴sin()

xφ

+=

由

|sin()|1

xφ+=≤22

(2)1

y y

?≤+

，解得：

33

y

-≤≤

，故值域是[

33

-

解法3：利用万能公式求解：由万能公式

2

1

2

sin

t

t

x

+

=，

2

2

1

cos

1

t

x

t

-

=

+

，代入

sin

cos2

x

y

x

=

-

得到2

2

13

t

y

t

=

--

则有2

320

yt t y

++=知：当0

t=，则0

y=，满足条件；当0

t≠，由2

4120

y

=-≥

△

，

33

y

?-≤≤

，故所求函数的值域是[

33

-。

解法4：利用重要不等式求解：由万能公式

2

1

2

sin

t

t

x

+

=，

2

2

1

cos

1

t

x

t

-

=

+

，代入

sin

cos2

x

y

x

=

-

得到2

2

13

t

y

t

=

--

当0

t=时，则0

y=，满足条件；当0

t≠时，

22

11

3(3)

y

t t

t t

==-

--+

，如果t > 0

，则

22

11

3(3)

y

t t

t t

==-≥=

--+

，此时即有0

3

y

-≤<；如果t < 0

，则

2

13

()(3)

y

t

t

=≤=

-+-

0y

<≤

。综上：此函数的值域是[。

例2.求函数的最小值．

解法一：原式可化为，得，即，

故，解得或（舍），所以的最小值为．

解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．

（4）换元法．

代数换元法代换：x x x x y cos sin cos sin ++= 令：t t y t x x +-==+2

1

,cos sin 2则再用配方、 例题：求函数的最大值．

解：设，则，则，当时，有最大值为．

（5）降幂法

型如)0(cos sin sin 2≠+?+=a c x x b x a y 型。此类型可利用倍角公式、降幂公式进行降次、

整理为sin 2cos 2y A x B x =+型再利用辅助角公式求出最值。

例1：求函数)24

74

(cos sin 4sin 3cos 35)(22π

π

≤

<-+=x x x x x x f 的最值，并求取得最值时x 的值。

解：由降幂公式和倍角公式，得

x x

x x f 2sin 22

2cos 1322cos 13

5)(--++= 332sin 23cos 32+-=x x 33)6

2cos(4++

=π

x

∵

2474

ππ

≤

36232π

ππ≤

+

7π

=x ，()f x 无最大值。 例2. 已知函数，．

（I ）求的最大值和最小值；

（II ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 解：（Ⅰ） ．

又，，即，

． （Ⅱ），，

且，，即的取值范围是． （5）典型应用题

扇形的半径为1，中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值．

解：连接，设，则，，

． ，

，所以当时，在圆弧中心位置，．

类型6：条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）。

例1. 已知，求的最大值与最小值． 解：（1）由已知得：，，则．

，当时，有最小值；当时，有最小值．

例2：已知αβαsin 2sin 2sin 32

2

=+，求βα2

2

sin sin +=y 的取值范围。 解：∵αβαsin 2sin 2sin 32

2

=+，∴ααβsin sin 2

3sin 2

2+-

= ∵1sin 02≤≤β ∴32sin 01sin sin 2

30

sin sin 23

22≤≤???????≤+-≥+-ααααα解得

∵2

1)1(sin 21sin sin 21sin sin 2222+--=+-=+=αααβαy ∵3

2sin 0≤

≤α。 ∴sin α=0时，0min =y ； 32sin =α时，94max =y ∴9

4sin sin 022≤+≤βα。 例3 ：求函数x x y -+=

1的最大值和最小值，并指出当x 分别为何值时取到最大值和最小值。

解：∵定义域为0≤x ≤1，可设x x 2cos =且2

0π

θ≤

≤

θθ22sin cos 11=-=-x ，2

0π

θ≤

≤

∴)4

sin(2cos sin sin cos 22π

θθθθθ+=+=+=

y

∵2

0π

θ≤

≤，∴

4

34

4

π

π

θπ

≤

+

≤，∴1)4sin(22≤+≤πθ即21≤≤y A

B

O

R

S P

Q

∴当44π

π

θ=

+

或434ππ

θ=

+

，即θ =0或2π

θ=（此时x=1或x=0），y=1；

当2πθ+，即4πθ=时，（此时2

1=x ），2=y ，

当x=0或x=1时，y 有最小值1；当2

1

=x 时，y 有最大值2。

【反馈演练】

1．函数的最小值等于____－1_______．

2．已知函数，，直线和它们分别交于M ，N ，则_________． 3

______4 _______． 4．函数的最大值为_______

5．函数的值域为 .

6．已知函数，则的值域是 .

7．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等 于_________．3

2

8．（1）已知，函数的最大值是_______. （2）已知，函数的最小值是____3___.

9．在△OAB 中，O 为坐标原点，，则当△OAB 的面积达最大值时，_____________ ．

10．已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值． 解：（Ⅰ）．

因此，函数的最小正周期为．

（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为． 解法二：作函数π()24f x x ?

?=

- ??

?在长度

为一个周期的区间π9π84??????

，上的图象如下：

2π

12

3

(1,1)-

[,22

-

x

由图象得函数()f x 在区间π3π84??????，，最小值为3π14f ??

=- ???．

11．若函数的最大值为，试确定常数a 的值. 解：

因为的最大值为的最大值为1，则所以 12．已知函数．

（1）若．求使为正值的的集合；

（2）若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围. 解：（1）∵

又 ∴ （2）当时，∴ 则，∴

∵方程有实根，得∴

【高考赏析】

（1）设函数2

()sin f x x xcos x ωωωα=++（其中0,R ωα>∈），且()f x 的图象在y 轴右

侧的第一个最高点的横坐标为

6

π

。

（I ）求ω的值。（II ）如果()f x 在区间5,36ππ??

-

????

，求α的值。

1()2sin 22 sin 232 2,

6

3

2

1

.

2

f x x x x ωωαπωα

π

π

π

ωω=++?

?=+++ ????+

=

=解：（I ）依题意得解之得

)2

57 ,0,,

36361 sin()1,23

51 (),3621 22x x x f x πα

πππππ

ππα

α++??

??∈-+∈??????

??-≤+≤??

--++????

-++=（II)由（I ）知,f(x)=sin(x+3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知

1

2

α=

2.已知函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2

(x －π12

) (x ∈R)

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.

解:(Ⅰ) f (x )=3sin(2x －

π6)+1－cos2(x －π12)= 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π

12

)]+1 =2sin[2(x －

π12)－π6]+1 = 2sin(2x －π3) +1 ∴ T =2π2

=π (Ⅱ)当f (x )取最大值时， sin(2x －

π3)=1，有 2x －π3 =2k π+π

2

即x =k π+

5π12 (k ∈Z ) ∴所求x 的集合为{x ∈R |x = k π+ 5π

12

， (k ∈Z )}．