2.代数方程的性质

§ 2代数方程的性质

一、多项式与代数方程的一般性质

［代数基本定理］每个复数域上n次代数方程f(x)=a o x n+a i x n-1+ + a n_ i x+a n=0 (n _ 1)

在复数域中至少有一个根?

代数基本定理的推论：每个n次代数方程在复数域中有n个根，而且只有n个根. ［多项式的导数］多项式f(x)的导数为

n-1 n—2

f (x)=na o x +(n—1)a i x + +a n-1

微分学中仅考虑实变数函数的导数，而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数，但是它们的定义与计算公式仍然一样.

［单根与重根］

1°多项式的单根不是它的导数的根.

2°多项式的m重根(即有m个根相同)是它的导数的m—1重根(m>1).

3° 若X1,x2,…，x k分别为f(X)的久1, a 2,…，a k( a 1+ a 2+ + a k=n)重根，贝U

f (x)=a o(x —x1) 01 (x —X2)Q …(x—X k) s

［洛尔定理及其推论］由微分学中的洛尔定理可知，在实系数方程f(x)=O的两个实根之间总有f (x)=0的一个实根.

从这个定理可推出下列两个推论：

1°若f(x)的一切根都是实的，则「(X)的一切根也是实的.在f(x)的相邻两根之间有f (x) 的一个根并且是一个单根.

2°若f(x)的一切根都是实的，且其中有p个(计算重根)是正的，则f (x)有p个或p—1个正根.

［多项式的相关］

1°若多项式f (x),「(x)的次数都不超过n,而它们对n+1个不同的数a 1,…/m有相等的值，即

f( a i)= (a i) (i=1, ,n+1)，则f(x)= (x).

2°多项式f (x)和「(x)的根完全相同的充分必要条件是f (x)和「(x)只差一个不等于零的常数因子.

［整根与有理根］任意整系数方程f(X)=O,若有一个有理根卫(为既约分数)，则P是a n q

的约数，q是a 0的约数.

由此可推出：任意整系数方程的整根必为常数项的约数，若整系数方程的首项系数为1，则它的有理根必为整数.

［实根与复根，共轭实根与共轭复根］

1 °任意有理系数方程f(x)=O，若有一个根a+ . b (a,b是有理数，b是无理数)，则必有另一个根a—- b .这时a+ . b与a—, b称为一对共轭实根.

2°任意实系数方程f(x)=0的复根只可能是成对的共轭复根，并且根的重数相同.从而，复根的个数是偶数.

3°任意实系数奇数次方程f(x)=0至少有一个实根.

4°任意实系数偶数次方程f(x)=0,a°a n<0,则至少有两个实根(一个正根和一个负根) ［根与系数的关系］设

f (x)=x n+a1x n…+a n

为复数域S上的一元多项式，X1 ,X2/ ,X n为f(x)在S中的n个根，则根与系数的关系为

n

X 1+X 2+ +X n 二' x i =— a i

i 丄

n

X 1X 2+X 1X 3+ +X n-1X n 八 X i X j =a 2

i ，j 丄 (i ::j)

n

X 1X 2X 3+X 1X 2X 4+ +X n-2X n-1X n = ' X j X k = — a 3

i,j,k4 (i ::j :k)

X 1X 2 X n =(— 1)n

a n

这就是说，f(X)的X n-k

的系数a k 等于从它的根X i ,X 2,…,X n 中每次取k 个(不同的)一切可能乘 积之和，若k 是偶数，则取正号，若k 为奇数，则取负号.

［根的范围］设E 为复系数代数方程

f(x)=a o x n

+a i x n1

+ +a n-i x+a n =O

(1)

的根.

1°若所有系数auO(i=O,1,…,n),则円"，其中▽为实系数代数方程

F(x)= a 0 x n

— a 1 x

n1

-…-a n =0

的一个正实根.

a n

a 。

特别，取 Y i =1(i=1,2, ,n —1)时，有

a o

方程(1)中作变换X =±,可求出y 的上界，因而得到

y

> max*

a n

取J >m ，使得

a n -1

那末有“半兰p .

设丫为任意正数，贝U ?兰?，其中

匕兰max

“

a i

；

旧。| i#

J

4°若所有系数都为正实数，则

r

1 a 1 .+ a 2

+ a n

Y a

a

a J

T 1=max

2°设Y S Y 2

,…，丫 n -1

为任意正数，则￡兰 丫〔，丫 2

, ，丫

T

,其中T 为下列n 个数中最大的一个：

a

n J

a o

1

2…2丄

nJ

-max

a 1

a n J

a o

anj

更进一步，记(2)式右边为M ，记(3)式右边为m ，如果取p

a 。 PT

十"2

- a

2 ° - a

n >

a 。 特别, 取丫 =1，有 1

1+ —

1

2

min

> << max*

a1 a2…a n

1 9 J J

a1 a nj ’

J

a1 a nJ. ”

5°若方程(1)的系数满足不等式

a

o| w|a i - a2 - a3 _a

n

则方程(1)至多有一个绝对值》1的根E 1,而且

肾王a i _ a2 _ a n

［多项式的分解］

1°设f(x)为实数域上的多项式，若有非常数的实系数多项式g(x)和h(x),使得

f(x)=g(x)h(x)

则称f(x)为实数域上可约(或可化)，否则称f(X)为实数域上的不可约多项式?

2°实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含(共轭)复根的二次多项式.

3°每个实系数多项式都可分解为实系数的一次因式与二次因式之积?

有理数域上的多项式的分解见第二十章，§5, 2.

［余数定理与综合除法］若c为一常数，则多项式f(x)除以x-c所得的余数等于f(c). 设 f (x)=a o x n+a1x n + …+a n-1x+a n

求f(x)除以x-c的商式与余数其计算格式如下：

c) a o a1 a2 a n-1 a n

b o C b1C … b n-2C b n-1C

b o b1 b2 b n-1 b n 式中b o=a o,b i=a i+b i-1C(i=1,2,…,n).于是得到

商式q(x)=b o x

一

n-

+b1X

2 .

+ + b n-1

余数r=b n=f(c)

例 f (x) = x42x3 - 3x2- 5 除以x— 2.列出算式

2) 1 2 —3 0 - -5

2 8 10 20

1 4 5 10 15= f (2)

f x 315

所以x 4x25x 10 -

x -2 x-2

[多项式的泰勒公式(秦九韶法)]n次多项式

f (x)=a o x n+a1X n-1+ +a n-1X+a n (a o = o)

在任意点c的泰勒展开式为

f (x)=b o(x- c)n+b1(x- C)n + +b n-1(X—c)+b n 式中系数b i (o< i< n)按下面的方法计算.

首先在(n+2) (n+2)方阵的对角线上列出a o,a1,…,a n,d (d为符号)，在第1列上列出a o(即

a,i=a i-1,i=1,2, ,n+1;a n+2,n+2=d;a i,1=a o,i=1,2, ,n+2).

然后再按递推公式

a i,j c+a i,j+i =a i+ij+i (i=2,…，n+1; j=1,…,i - 1)

自上而下，自左而右依次计算出对角线下其余各元素，那末第 n+2行各元素即为所求系数, 即

b o =a o , b i =a n+2,i+1

(i=1,2, ,n)

在X =2处的泰勒展开式.

二、多元多项式?对称多项式?结式

［多元多项式］设常数C 1,C 2, ,C k 属于一个数域S, a i , B i,…,v i (i=1,2/ ,k)是正整数或

零, 则称形如

C X 1

X ］…■ X 冷亠 C X X 2 ■… X V 2

…+ C X 冷 X * …■ X

1

入12

n 2 1 2 n

k12

n

的表达式为数域S 上元素X 1,X 2/ ,X n 的n 元多项式.C i X 1 X 2 1 x/"称为它的项，C i 为它的系数，

a i 为项中关于X 1的次数，B i 为项中关于X 2的次数，等等.a i +B i +…+v i 为项的次数.在多项式

中系数不为零的任一项关于X i 的最高次数称为多项式关于X i 的次数，系数不为零的任一项的 最高次数叫做多项式的次数.各项次数都相等的多项式称为齐次多项式.

c ：0

a 0 a

a 。

T 1

:

一

a

3,2

a

一:n 1,2 一:n 1,3 I : :

a n

a

n 2,n 1

1

〕

2 —5 10 -1 d

f(x)= x - 2 '

2

+ 6(x —2)十 10(x —

求 f(x) = x ‘ -2x -5

每个m次多项式f(X1,X2，…,X n)都可唯一地表示成

m

f(X1,X2, ,X n)=' f j(X1,X2, ,X n)

i =0

式中f i(X1,X2，…，X n)为i次齐次多项式.

为了方便，经常把一个多元多项式按某一个变数，例如X1的降幕排列如下：

a0(X2, ,X n)X1 + a1(X2, ,x n)X1 + + a m(x2, ,x n)

式中a°(X2，…,X n), a1(X2, ,X n),…,a m(X2, ,X n)为X2, ,X n 的n- 1 元多项式.

若f1,f2, ,f k分别为m1,m2, ,m k次的多元多项式，则乘积f1f2 f k为m1+m2+ +m k次.

［对称多项式］如果在一个n元多项式f(X1,X2/ ,x n)中，对调任一对X i和X j后,f(X1,X2； ,X n)