最新高二数学暑假预科讲义 第十一讲 导数初步 中等学生版
目录
第十一讲 导数的概念与运算 (2)
考点1：导数的定义 (2)
题型一：求平均变化与瞬时变化率 (2)
考点2：导数的运算 (5)
题型二：导数运算 (5)
题型三：()f a '实际是一个数 (8)
课后综合巩固练习 (9)
第十一讲 导数的概念与运算
考点1：导数的定义
１．函数的平均变化率：
一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，
则当0x ?≠时，商
00()()f x x f x y
+?-?=
称作函数()y f x =在区间[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）上的平均变化率．
2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率
00()()
f x x f x y x x
+?-?=
??趋近于一个常数，那么常数称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()()
f x x f x x
+?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：
“当0x ?→时，
00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()()
lim x f x x f x l x
?→+?-=?”，符号
“→”读作“趋近于”．
函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()()
lim ()x f x x f x f x x
?→+?-'=?”．
题型一：求平均变化与瞬时变化率
例1.（1）（2018春?道里区校级月考）已知一质点的运动方程为22s t =-，则该质点在一段时间[0，2]内的平均速度为 ．
（2）（2019春?武昌区校级期中）函数2()3f x x =在[2，6]内的平均变化率为 ．
（3）（2019春?思南县校级月考）一物体作直线运动，其运动方程为2()2s t t t =-+，则
1t =时其速度为 ．
（4）（2018秋?广陵区校级期中）若某物体运动规律是3265(0)S t t t =-+>，则在t = 时的瞬时速度为0．
例2.（1）求下列函数在区间00[]x x x +?，上的平均变化率．
① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④1
()f x x
= ⑤()f x =
（2）求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率．
① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④ 1
()f x x
= ⑤ ()f x =
例3.已知()()40f x kx k =+≠，且()f x 在区间[]12-，上的平均变化率是4，则k =＿＿＿＿．
例4.（1）（2017春?揭东区校级月考）已知1()f x x =，则0lim x → (2)(2)
f x f x
+-的值
是 ．
（2）（2018春?西城区校级期中）已知函数2()f x x =，则0
(1)(1)
lim x f x f x
→+-= ．
（3）（2018春?孝感期末）已知()f x xlnx =，求0
(32)(3)
lim x f x f x
→+-=
（4）（2017秋?临夏市校级期末）设函数()f x 在1x =处存在导数为2，则
(1)(1)
lim 3x f x f x
→+-= ．
（5）（2017春?永昌县校级月考）设函数()f x 可导，f '（1）1=则
(1)(1)
lim 3x f x f x
→+-= ．
（6）（2018春?咸阳期末）若()y f x =在(,)-∞+∞上可导，且0
(2)()
lim 13x f a x f a x
→+-=，
则f '（a ）= ．
考点2：导数的运算
1．可导与导函数：
如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．
2．基本初等函数的导数公式
（1）若()f x C =（C 为常数），则()0f x '=； （2）若()()f x x αα*=∈Q ，则()1f x x αα-'=；
（3）若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；特别地， 若()e x f x =，则()e x f x '=； （4）若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=
；特别地，若()ln f x x =，则()1
f x x
'=； （5）若()sin f x x =，则()cos f x x '=； （6）若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．
3.导数的四则运算法则：其中()()f x g x ，
都是可导函数，C 为常数： (()())()()f x g x f x g x '''±=±；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； [()]()Cf x Cf x ''=；2
()()()()()
()()f x f x g x f x g x g x g x '''??-=????
（()0g x ≠）．
题型二：导数运算
例5.（1） 求下列函数的导数
①2012y x = ②2x y = ③e x y = ④ln y x =
（2）求下列函数的导数
①3cos y x x =+ ②()
231e x y x x =-+ ③e sin x y x = ④ln x
y x
=
⑤()tan f x x =
（3）求下列函数的导数
① ()2
211f x x x x x ?
?=++ ??
? ② )
11y ?=
??
③()sin cos 22x x
f x x =-
例6.（1）313y x =；（2）21
y x =；（3）42356y x x x =--+；（4）2cos y x x =+；（5）
2sin y x x =+；（6）sin cos y x x =-；（7）1y x x
=+
；（8）1
y x =（9）e x y x =；
（10）sin y x x =；（11）2ln y x x =；（12）cos sin y x x x =-；（13）1
21
y x =
+；（14）
2
1x y x =
+；（15）11x y x -=+；（16）sin x y x
=；（17）()2
2πy x =；（18）)
2
2y =；
（19）()
()22331y x x =+-；（20）()()
211y x x x =+-+．
例7.（1）（2019春?龙凤区校级期中）已知函数()f x
=
的导数为()f x '，则f '（4）(=
)
A ．18
B ．18
-
C ．
116
D ．116
-
（2）（2019春?香坊区校级期中）设()f x lnx =，若0()3f x '=，则0(x = ) A ．3e
B ．3
C ．1
3
D ．3ln
（3）（2019春?玉山县校级期中）设()f x '是函数cos ()x x
f x x e
=+的导函数，则(0)f '的值为( )
A ．1e
B ．1-
C ．0
D ．2
（4）（2019春?诸暨市校级期中）已知()x f x e lnx =-，则f '（1）(= ) A ．e B ．1e - C ．0
D ．1
1e
-
（5）（2019春?宁德期中）已知1()cos f x x =，21()()f x f x '=，32()()f x f x ='，43()()f x f x ='，?，1()()n n f x f x -='，则2019()f x 等于( )
A ．sin x
B ．sin x -
C ．cos x
D ．cos x -
（6）（2019春?莱西市校级月考）设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，?，1()()n n f x f x '+=，n N ∈，则2020()f x 等于( )
A ．sin x
B ．sin - x
C ．cos x
D ．cos - x
题型三：()f a '实际是一个数
例8.（1）已知()()3
3215f x x f x '=--+，则()2f '-=______
（2）（2019春?历下区校级期中）已知21
()2(2019)20192f x x xf lnx '=-+-，则(1)f '(=
) A ．2017 B ．2018
C ．2019
D ．2020