离散数学深刻复知识题(全)
离散数学复习资料
一、填空
1. 命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x 为实数，y
x y x L >:),(则命题的逻辑谓词公式为 。
2. 设p ：王大力是100米冠军，q ：王大力是500米冠军，在命题逻辑中，命题“王大力不
但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为 。命题“存在一个人不但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为____。
3. 选择合适的论域和谓词表达集合A=“直角坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集”
则A= 。
4. 设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y 。则谓词
(()(()(,)))x P x y O y N y x ?→?∧ 的自然语言是 对于任意一个素数都存在一个奇数使
该素数都能被整除 。
5. 设个体域是{a,b}，谓词公式()()()()x P x x P x ??∨?写成不含量词的形式是 。
6. 谓词(((,)(,))(,,))x y z P x z P y z uQ x y u ???∧→?的前束范式为 。
7. 命题公式)))(((R Q Q P P A →?∧→?∨?的主合取范式为 ，其编码表示为 。 8. 设E 为全集， ，称为A 的绝对补，记作～A ，且～（～A ）= ，～E = ，
～Φ= 。
9. 设={256},{234},{134}A B C ==，
，，，，，，则A-B= ，A ⊕B = ，A ×C = 。 10. 设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，
}},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S =，}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S =
则A 的覆盖有 ，A 的划分有 。
11. 设}2,121{Z x x x x M ∈≤≤=整除，被，}3,121{Z x x x x N ∈≤≤=整除，被，则
=?N M ，=-N M 。
12. 设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ?= ，
B A = 。
13. A={1，2，3，4，5，6}，A 上二元关系}|,{是素数y x y x T ÷><=，则用列举法 T= ；
T 的关系图为 ，T 具有 性质。
14. 偏序集><≤R A ,的哈斯图为
，则≤R = 。
15. 设},2|{N n x x A n
∈==，定义A 上的二元运算为普通乘法、除法和加法，则代数系统
17. 设图G = < V ，E >，},,,{4321v v v v V =的邻接矩阵????
??
?
?
?=00
010*******
1010A ，则1v 的入度 A B
C
)(deg 1v -= ，4v 的出度)(deg 4v += ，从2v 到4v 的长度为2的路径有 条。
18. 结点数n （3≥n ）的简单连通平面图的边数为m ，则m 与n 的关系为 m<=3n-6 。 19. 设 f ，g 是自然数集N 上的函数x x g x x f N x 2)(,1)(,
=+=∈?，
则=)(x g f 。 20. 设I 是整数集合，Z 3是由模3的同余类组成的同余类集，在Z 3上定义+3如下：
]3m od )[(][][3j i j i +=+，则+3的运算表为 ；
21. 集合S={α，β，γ，δ}上的二元运算*为
那么，代数系统
。 22. 设< {a,b,c}, * >为代数系统，* 运算如下：
则它的幺元为 ；零元为 。
23. 设A={a ，b ，c}，A 上二元关系R={< a, a > , < a, b >,< a, c >, < c, c>} , 则s （R ）= 。 24. 设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ?= ，
B A = 。
25. 设集合X={1,2,3}，下列关系中 不是等价的。 A= {<1,1>,<2 , 2 >,<3 , 3 >}
B= {<1,1>,<2 , 2 >,<3 , 3 >,<3,2>,<2 ,3 >} C= {<1,1>,<2 , 2 >,<3 , 3 >,<1,4>}
D= {<1,1>,<2 , 2 >,<1 , 2 >,<2,1>,<1 ,3 >,<3,1>,<3 , 3 >,<2 , 3 >,<3,2>}
26. 设{1,2,3,4},{1,2,2,43,3}X R ==<><><>，
，则r (R)= ；s (R)= ；t (R) = 。
27. 设G 是n 阶完全图，则G 的边数m= 。
28. 设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图如右图所示：则
R= 。
29. n 阶完全图Kn 的边数为 。
30. 结点数n （3≥n ）的简单连通平面图的边数为m ，则m 与n 的关系为 。
31. 图的补图为 。
32. 有向图 中从v 1到v 2长度为2的通路有 条。
33. 设G 为9阶无向图，每个结点度数不是5就是6，则G 中至少有 个5度结点。 34. n 阶完全图结点v 的度数d(v) = n-1 。 二、证明
1. 不构造真值表证明蕴涵式
Q R P P R R P P Q →??∧→→→?∧→)))((())((
2. 证明,A B C D D E F A F ∨→∧∨→?→
3. 证明(P ∧Q)∨(P ∧?Q) ? P
4. 证明(())()P Q R P Q R →∨?∧?→
5. 证明)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?→??→?
6. 证明(()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∨??∨?
7. 用推理规则证明下式：
前提: )()(,)()(,))())()((()()(x Q x x P x x R x Q x P x x P x ??→∨?→? 结论：))()()()((y R x P y x ∧??
8. 设论域D={a , b , c}，求证：))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨???∨?。 9. 设f g 是复合函数，如果f g 满射，则g 也是满射。
10. 假定C B g B A f →→:,:，且f g 是一个满射，g 是个入射，则f 是满射。 11. 用反证法证明R S S Q R P Q P ∨?→∧→∧∨)()()(。
12. 设< I ，+ >是一个群，设I E ={ x|x=2n ，n ∈I }，证明< I E ，+ >是< I ，+ >的一个子群。
三、按要求解答
1. 将谓词公式)()())()()()((y R y y Q y x P x ?→?∨?化为前束析取范式与前束合取范式。
2. 用推理规则论证：如果今天是星期六，我们就要到颐和园或圆明园玩，如果颐和园游人太
多，我们就不去颐和园玩。今天是星期六，颐和园游人太多，所以，我们去圆明园玩。 3. 符号化语句：“有些人喜欢所有的花，但是人们不喜欢杂草，那么花不是杂草”。并推证其
结论。
4. 用推理规则论证：或者逻辑难学，或者有少数学生不喜欢它；如果数学容易学，那么逻辑
并不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不难学。
5. 设有下列情况，用推理规则论证结论是否有效？ （a ）或者天晴，或者下雨。（b ）如果天
晴，我去看电影。（c ）如果我去看电影，我就不看书。结论：如果我在看书则天在下雨。 6. 符号化语句：“有些病人相信所有的医生，但是病人都不相信骗子，所以医生都不是骗子”。
并推证其结论。
7. 给定3个命题：P ：北京比天津人口多；Q ：2大于1；R ：15是素数。 求复合命题：
)()(R P R Q ?∧?→的真值。
8. 将(((,))(()()))x yP x y zQ z R x ???→?→化为与其等价的前束范式。 9. 把公式()()()()x Q x x P x ?→?转化为前束范式 10. 求)()(Q P P Q ∧?∧→的主合取范式。
11. 求(A →B ∧C) ∧(?A ?(?B ?∧C))的主析取范式与主合取范式。
12. 求(P ∨Q )→R 的主析取范式与主合取范式。
13. 设命题A 1，A 2的真值为1，A 3，A 4真值为0，求命题
)()))(((421321A A A A A A ?∨??∧→∨的真值。
14. 求集合),3,2,1(10 =?
??
???≤
<=n n x x A n 的并与交。 15. 设X={1,2,3,4,5}，X 上的关系R={<1,1> , < 1 , 2 > , <2 , 4 > , < 3 , 5 > , < 4 , 2 > }，
求R 的传递闭包t (R)。
16. 设集合{}X a b c d =，，，上的关系{},,,,,,,R a b b a b c c c =<><><><>。求R 的传递
闭包()t R 。
17. 在实数平面上，画出关系{}
0202,<--∧>+-><=y x y x y x R ，并判定关系的特
殊性质。
18. 设X ={ a ，b ，c ，d }，R 是X 上的二元关系,R ={< a ，c >，< a ，d >，< b ，c >，< b ，d >，< c ，d >}
设S={1 , 2 , 3 , 4, 6 , 8 , 12 , 24}，“≤”为S 上整除关系，问：（1）偏序集≤><,S 的哈斯图如何？（2）偏序集(1) 画出R 的关系图。(2) 写出R 的关系矩阵。(3) 说明R 的性质 19. A={a,b,c,d}，R={
闭包，并画出t （R ）的关系图。
20. },{≤S 的极小元、最小元、极大元、最大元是什么?
21. 集合}36,24,12,6,3,2{=A 上的偏序关系为整除关系。设}12,6{=B ，
}6,3,2{=C ，试画出哈斯图，并求A ，B ，C 的最大元素、极大元素、下界、上确界。
22. 对于实数集合R ，在下表所列的二元远算是否具有左边一列中的性质，请在相应位上填写
“Y ”或“N ”。
23. 设
则是一个群（称作Klein 四元群）。
24. 设S = R - {-1}（R 为实数集），ab b a b a ++=*。
（1）说明>*<,S 是否构成群； （2）在S 中解方程732=**x 。 25. 设{1234}X ＝，，，，R 是X 上的二元关系，
{113113333243414212}R <><><><><><><><><>＝，，，，，，，，，，，，，，，，，
(1) 画出R 的关系图。写出R 的关系矩阵。说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。
26. 设I -是负整数集合，定义二个双射函数f g 、，
(): {1,12,2}f I I f x x -+
→=-=<-><->?，,<-3,3>,, (): 1{1,02,1}g I N g x x +→=-=<><>?，,<3,2>,，
求g
f ，并说明其是否是双射函数。
27. 设M= {0o,60o,120o,240o,300o,180o}表示平面上几何图形顺时针旋转的六种位置，定义一
个二元运算*，对M 中任一元素a,b 有a*b=图形旋转(a+b)的角度，并规定当旋转到360o时即为0o。
28. 求图中的一棵最小生成树。
240o
180o
120o
60o
0o
300o
300o
180o 120o 60o 0o 300o 240o 240o 120o 60o 0o 300o 240o 180o 180o 60o 0o 300o 240o 180o 120o 120o 0o 300o 240o 180o 120o 60o 60o 300o 240o 180o 120o 60o 0o 0o 300o 240o 180o 120o 60o 0o *
29.已知某有向图的邻接矩阵如下：
??
?
?
?
?
?
?
?
=
1
1
1
1
1
1
1
4
3
2
1
v
v
v
v
A
试求：3v到1v的长度为4的有向路径的条数。
30.下图所示带权图中最优投递路线并求出投递路线长度（邮局在D点）。
31.求图的可达矩阵，并判断图的连通性。
32.有向图G如图所示，试求：(1) 求G的邻接矩阵A。(2) 求出A2、A3和A4（3）v1到v4
长度为1、2、3和4的路径有多少？(4) 求出可达矩阵P。
33.画一个有一条汉密尔顿回路的图。画一个有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。画一个有一条欧拉回路，但没
34.下面两图是否同构，若是给出点集间的同构映射。
V3
35. 已知某树有2个2度结点、3个3度结点、4个4度结点，问有几个叶子点（无其它度数
点）。
36. 图给出的赋权图表示五个城市54321v v v v v ，，，，
及对应两城镇间公路的长度。试给出一个最优化的设计 方案使得各城市间能够有公路连通。