高等数学 课后习题答案第九章
习题九
1. 求函数u =xy 2
+z 3
-xyz 在点(1,1,2)处沿方向角为
πππ
,,343αβγ===
的方向导数。
解:
(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)
cos cos cos u u u u
y l x z αβγ
????=++????
22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ
cos
cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=---
2. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点A (5,1,2)到B (9,4,14)的方向导数。
解:
{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r
AB u u u r
的方向余弦为
4312cos ,cos ,cos 131313αβγ=
== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u
yz x u
xz y u
xy z ?==??==??==?
故4312982105.
13131313u l
?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ???
在点处沿曲线22
2
21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导
数。
解:设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ,它是第三象限的角,因为
2222220,x y b x y y a b a y ''+==-
所以在点处切线斜率为
2.b y a a '
==-
法线斜率为
cos a b ?=
.
于是
tan sin ??== ∵2222,,
z z x y x a y b ??=-=-??
∴
2222z l a b
??=-
-=
??
4.研究下列函数的极值: (1)z =x 3
+y 3
-3(x 2
+y 2
); (2)z =e 2x
(x +y 2
+2y );
(3)z =(6x -x 2
)(4y -y 2
); (4)z =(x 2
+y 2
)2
2()
e
x
y -+;
(5)z =xy (a -x -y ),a ≠0.
解:(1)解方程组2
2360360x y
z x x z y y ?=-=??=-=??
得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).
z xx =6x -6, z xy =0, z yy =6y -6
在点(0,0)处,A =-6,B =0,C =-6,B 2
-AC =-36<0,且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点(0,2)处,A =-6,B =0,C =6,B 2-AC =36>0,所以(0,2)点不是极值点. 在点(2,0)处,A =6,B =0,C =-6,B 2-AC =36>0,所以(2,0)点不是极值点.
在点(2,2)处,A =6,B =0,C =6,B 2
-AC =-36<0,且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.
(2)解方程组22
2e (2241)02e (1)0x x x y z x y y z y ?=+++=??
=+=??
得驻点为1,12
??- ???. 22224e (21)4e (1)2e x xx x xy x
yy z x y y z y z =+++=+=
在点1,12
??- ???处,A =2e,B =0,C =2e,B 2
-AC =-4e 2
<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ??=-
- ???. (3) 解方程组2
2(62)(4)0(6)(42)0x y
z x y y z x x y ?=--=??=--=??
得驻点为(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx =-2(4y -y 2),
Z xy =4(3-x )(2-y )
Z yy =-2(6x -x 2)
在点(3,2)处,A =-8,B =0,C =-18,B 2
-AC =-8×18<0,且A <0,所以函数有极大值z (3,2)=36. 在点(0,0)处,A =0,B =24,C =0,B 2
-AC >0,所以(0,0)点不是极值点. 在点(0,4)处,A =0,B =-24,C =0,B 2-AC >0,所以(0,4)不是极值点. 在点(6,0)处,A =0,B =-24,C =0,B 2-AC >0,所以(6,0)不是极值点. 在点(6,4)处,A =0,B =24,C =0,B 2-AC >0,所以(6,4)不是极值点.
(4)解方程组
2
2
22()22()222e (1)02e (1)0x y x y x x y y x y -+-+?--=??--=?? 得驻点P 0(0,0),及P (x 0,y 0),其中x 02+y 02
=1,
在点P 0处有z =0,而当(x ,y )≠(0,0)时,恒有z >0, 故函数z 在点P 0处取得极小值z =0. 再讨论函数z =u e
-u
由d e (1)d u z u u -=-,令d 0d z u =得u =1,
当u >1时,d 0d z u <;当u <1时,d 0d z
u >,
由此可知,在满足x 02
+y 02
=1的点(x 0,y 0)的邻域内,不论是x 2
+y 2
>1或x 2
+y 2
<1,均有
22
22()1()e e x y z x y -+-=+≤.
故函数z 在点(x 0,y 0)取得极大值z =e -1
(5)解方程组(2)0(2)0x y z y a x y z x a y x =--=??
=--=??
得驻点为
12(0,0),,33a a P P ??
??? z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .
故z 的黑塞矩阵为
222222y
a x y H a x y x ---??=??---?? 于是
122033(),().0233a
a a H P H P a a
a ??--
????
==????
????--???? 易知H (P 1)不定,故P 1不是z 的极值点,
H (P 2
)当a <0时正定,故此时P 2
是z 的极小值点,且3,2733a a a z ??=
???,
H (P 2
)当a >0时负定,故此时P 2
是z 的极大值点,且3
,2733a a a z ??=
???.
5. 设2x 2+2y 2+z 2
+8xz -z +8=0,确定函数z =z (x ,y ),研究其极值。 解:由已知方程分别对x ,y 求导,解得
484,281
281z x z z y
x z x y z x ?--?-==
?+-?+-
令0,0,z z x y ??==??解得
0,2x y z ==-
, 将它们代入原方程,解得
162,7x x =-=
.
从而得驻点
16(2,0),,07??- ?
??. 2
22
2
222
2
(281)(48)4828(281)428,(281)
4(281)8
.
(281)z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z z x z y
y z x ??????+-++--+ ? ????????=?+-???+ ?????=??++?-+--??=?+-
在点(-2,0)处,
44
1,,0,,
1515Z A B C ====B 2
-AC <0,因此函数有极小值z =1. 在点16,07
?? ???处,82828,,0,,7105105Z A B C =-=-==-B 2
-AC <0,函数有极大值8
7z =-. 6. 在平面xOy 上求一点,使它到x =0,y =0及x +2y -16=0三直线距离的平方之和为最小。
解:设所求点为P (x ,y ),P 点到x =0的距离为|x |,到y =0的距离为|y |,到直线x +2y -16=0的距离为
=
距离的平方和为
222
1
(216)5z x y x y =+++-
由22(216)0542(216)0
5z
x x y x z
y x y y ??=++-=??????=++-=???
得唯一驻点
816
,
55
??
?
??,因实际问题存在最小值,故点
816
,
55
??
?
??即为所求。
7. 求旋转抛物面z=x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。
解:设P(x,y,z)为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为
2
(1)
3
x y z
d
+--
=
,即求其在条件
z= x2+y2下的最值。设F(x,y,z)=
2
22 (1)
() 3
x y z
z x y
λ
+--
+--
解方程组
22
2(1)
20
3
2(1)
20
3
2(1)
3
x
y
z
x y z
F x
x y z
F y
x y z
F
z x y
λ
λ
λ
+--
?
=-=?
?
+--
?=-=?
?
?-+--
=+=
?
?
?=+
?
得
1
2 x y z
===
故所求最短距离为
1
6 ==
8. 抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。解:设椭圆上的点为P(x,y,z),则
|OP|2=x2+y2+z2.
因P点在抛物面及平面上,所以约束条件为
z=x2+y2,x+y+z=1
设F(x,y,z)= x2+y2+z2+λ1(z-x2-y2)+λ2(x+y+z-1)
解方程组
12
12
12
22
220
220
20
1
x
y
z
F x x
F y y
F z
z x y
x y z
λλ
λλ
λλ
=-+=?
?=-+=?
?
=++=
?
?
=+
?
?++=
?
得
2 x y z
===
由题意知,距离|OP|有最大值和最小值,且
(
22222
12922x y z OP ?-=++=+= ??m .
9. 在第I 卦限内作椭球面
222
2221x y z a b c ++=
的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小,求切点坐标。
解:令222
222(,,)1
x y z F x y z a b c =++- ∵
222222,,,x y z x y z
F F F a b c =
==
∴椭球面上任一点
0000(,,)P x y z 的切平面方程为
000
000222222()()()0.x y z x x y y z z a b c -+-+-=
即 0002
22 1.x x y y z z
a b c ++=
切平面在三个坐标轴上的截距分别为2220
00
,,a b c x y z ,因此切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为
222222
000000
166a b c a b c V x y z x y z =???=
即求
222
6a b c V xyz =
在约束条件222
2221x y z a b c ++=下的最小值,也即求xyz 的最大值问题。
设
222222(,,)1x y z x y z xyz a b c λ??Φ=+++- ?
??, 解方程组2
22222
22220,20,20,1.
x
y z x yz a x xz b x xy c x y z a b c λλλ?
Φ=+=??
?Φ=+=??
?Φ=+=???++=?
得
x y z =
==.
故切点为,此时最小体积为
222
.
2
6
a b c
V abc
a b c
==
*10. 设空间有n个点,坐标为
(,,)(1,2,,)
i i i
x y z i n
=L
,试在xOy面上找一点,使此点与这n个点的距离的平方和最小。
解:设所求点为P(x,y,0),则此点与n个点的距离的平方和为
222222
111222
222
22
1212
222222222
121212
()()()()
()()
2()2()
()()()
n n n
n n
n n n S x x y y z x x y y z
x x y y z
nx x x x x ny y y y y
x x x y y y z z z
=-+-++-+-++
+-+-+
=-++++-+++
++++++++++++
L
L L
L L L
解方程组
12
12
22()0
22()0
x n
y n
S nx x x x
S ny y y y
=-+++=
?
?=-+++=
??
L
L
得驻点
12
12
n
n
x x x
x
n
y y y
y
n
+++
?
=
??
?
+++
?=
??
L
L
又在点11
11
,
n n
i i
i i
x y
n n
==
??
?
??
∑∑
处
S xx=2n=A, S xy=0=B, S yy=2n=C
B2-AC=-4n2<0, 且A>0取得最小值.
故在点11
11
,
n n
i i
i i
x y
n n
==
??
?
??
∑∑
处,S取得最小值.
即所求点为11
11
,,0
n n
i i
i i
x y
n n
==
??
?
??
∑∑
.
11. 已知平面上分别带有质量m1,m2,m3的三个质点111222333
(,),(,),(,)
p x y p x y p x y
,问点
(,)
p x y
的位置如何才能使该质点系对于p点的转动惯量为最小。
解:该质点系对于p点的转动惯量为
()()()()
22 2222
123
2233 11
()()
I m m m
x x y y x x y y x x y y??
??
=++
??
-+-
+-+---??
????123112233
123112233
2()2220
2()2220
x
y
I m m m x m x m x m x
I m m m y m y m y m y
=++---=
?
?=++---=
??
解上式得驻点
1122
33112233123123,m x m x m x m y m y m y p m m m m m m ++++??
?++++??
因驻点唯一,故转动惯量在112233112233123123,m x m x m x m y m y m y p m m m m m m ++++??
?++++?
?点处取得最小值. *
12. 已知过去几年产量和利润的数据如下:
产量x (千件) 40 47 55 70 90 100 利润y (千元)
32
34
43
54
72
85
解:在直角坐标系下描点,从图可以看出,这些点大致接近一条直线,因此可设f (x )=ax +b ,求
[]
6
2
1
()i i i u y ax b ==-+∑的最小值,即求解方程组
666
2
1116611,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑
把(x i ,y i )代入方程组,得
29834402240034026320a b a b +=??
+=?
解得 a =, b =
即 y =当x =120时,y =(千元).
13. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程:
(1)x =a sin 2
t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2
t ,点π
4t =
;
(2)x 2
+y 2
+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2
=2mx ,z 2
=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0). 解:
2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===-
曲线在点
π
4t =
的切向量为
{}πππ,,,0,444T x y z a c ????????'''==-?? ? ? ?????????
当
π4t =时, ,,222a b c x y z === 切线方程为
2220a b c
x y z a c
-
--==-.
法平面方程为
0()0.
222a b c a c x y z ??????++-=--- ? ? ???????
即 22
22a c ax cz --+=.
(2)联立方程组
22260x y z x y z ?++=?
++=?
它确定了函数y =y (x ),z =z (x ),方程组两边对x 求导,得
d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x y z x x ?
+?+?=???
?++=?? 解得 d d ,,d d y z x z x y x y z x y z --==--
在点M 0
(1,-2,1)处,00
d d 0,1d d M M y z x x ==-
所以切向量为{1,0,-1}. 故切线方程为
121
101x y z -+-==-
法平面方程为
1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0
即x -z =0.
(3)将方程y 2
=2mx ,z 2
=m -x 两边分别对x 求导,得
d d 22,21d d y z y
m z x x ==-
于是 d d 1,d d 2y m z x
y x z ==- 曲线在点(x 0
,y 0
,z 0
)处的切向量为
0011,,2m y z ??-????,故切线方程为 000
00,
112x x y y z z m y z ---==-
法平面方程为
00000
1()()()02m x x y y z z y z -+
---=.
14. t (0 2 t 在相应点的切线垂直于平 面 0x y +=,并求相应的切线和法平面方程。 解: 1cos ,sin ,2cos 2t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为 {} 1cos ,sin ,2cos 2t T t t =-u r , 已知平面的法向量为{1n =r . 且T u r ∥n r , 故 2cos 1cos sin 11 t t t -==解得 π2t = ,相应点的坐标为π2?- ?. 且{1T =u r 故切线方程为 π 1 1211x y - +-== 法平面方程为 π 1102x y z - ++--= 即 π0 42x y ?? ++-=+ ???. 15. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程: (1)z =x 2 +y 2 ,点M 0(1,2,5); (2)z =arctan y x ,点M 0 (1,1,π 4); 解:(1) 00 2, 4. 22y x m m m m z z y x ==== 故曲面在点M 0(1,2,5)的切平面方程为 z -5=2(x -1)+4(y -2). 即 2x +4y -z =5. 法线方程为 125 241x y z ---==- (2) 00 022 22 11 ,.2 2y x m m m m y x z z x y x y - ==-==++ 故曲面在点M 0 (1,1,π 4)的切平面方程为 z -π4=-12 (x -1)+12 (y -1). 法线方程为 π 11411122 z x y - --==--. 16.指出曲面z =xy 上何处的法线垂直于平面x -2y +z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。 解:z x =y ,z y =x . 曲面法向量为{}1 ,,1n y x =-u r . 已知平面法向量为{}2 1,2,1n =-u u r . 且1n u r ∥2n u u r ,故有1 12y x ==-- 解得x =2,y =-1,此时,z =-2. 即(2,-1,-2)处曲面的法线垂直于平面,且在该点处的法线方程为 212 121x y z -++==--. 切平面方程为 -1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0 即 x -2y +z -2=0. 17. 证明:螺旋线x=acost,y=asint,z=bt 的切线与z 轴形成定角。 证明:sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 螺旋线的切向量为 {sin ,cos ,}T a t a t b =-u r . 与z 轴同向的单位向量为 {0,0,1}k =r 两向量的夹角余弦为 cos θ= = 为一定值。 故螺旋线的切线与z 轴形成定角。 18. 证明:曲面xyz =a 3 上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。 证明:设 F (x ,y ,z )=xyz -a 3 . 因为 F x =yz ,F y =xz ,F z =xy , 所以曲面在任一点M 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面方程为 y 0z 0(x -x 0)+x 0z 0(y -y 0)+x 0y 0(z -z 0)=0. 切平面在x 轴,y 轴,z 轴上的截距分别为3x 0,3y 0,3z 0.因各坐标轴相互垂直,所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为 33000000 1119132727. 3336622 V z x y z a a x y ??=?==?=????? 它为一定值。