同角三角函数基本关系式与诱导公式教案
第11讲
同角三角函数基本关系式与诱导公式<■概述
理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+ cos2x= 1, 沁二tan x；应用诱导公教学重点C0S X
式，重点是函数名称”与正负号”的正确判断
I I
理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+ cos2x= 1, 沁二tan x；应用诱导公教学难点C0s x
式，重点是函数名称”与正负号”的正确判断
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【教学建议】
本节课是在学生掌握了任意角的三角函数的定义单位圆及三角函数线，三角函数值在各象限的符号等
知识点的基础上进行的?同角三角函数的基本关系式是三角函数的模块的重点之一也是历年高考考查的热
点，为三角函数的求值、关系式的化简、恒等式的证明等提供了知识基础，同时也初步向学生渗透三角函
数与代数结合辩证分析的基本思想和方法?
【知识导图】
1—1 求値问题■教学过程
一、导入
［考情展望］
1?利用同角三角函数的基本关系求三角函数值?
2?借助诱导公式化简三角函数式，进而求三角函数值
、知识讲解
知识点1 ?同角三角函数关系
1 .平方关系：Sin2a+ COS2a= 1
sin a n
2.商数关系：tan a= COS—(a亏+ k n k€ Z) cos a 2
知识点2诱导公式
［方法技巧］
诱导公式记忆口诀
对于角k n±a^ k^ Z)的三角函数记忆口诀奇变偶不变，符号看象限”奇变偶不变”是指当k为奇数时，正
弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变” ?符号看象限”是指在a的三角函数值前面加上当a 为锐角时，原函数值的符号”.
二、例题精析
例题1
UK
C0S
-^-
【题干】 的值为( )
诟 _ 1 V3 1
A. —
B. - C ?— D.-
【答案】D 【解析】
化简
=
' ■ -
=
■'=
例题2
3
4
_ ■ ■ 5 5
C .
【答案】 【解析】
是角终边上的一点,
-叹｝
=5i —-
故选A .
【题干】
已知点'：是角汝边上的一点，则
s )就尺-cr)=.
()
A .
B .
例题3
【答案】D 【解析】
si? 5
7J 心 竝，故选.
例题 4
【题干】化简 "
=(
)
A . sin 2+cos2
B . sin 2-cos2
C . cos2-si n2
D . 土(cos2-si n2)
【答案】A
【解析】根据诱导公式，化简
/l-
-2
—2}
=十
2J ［歸址。生2
sin2> 0.同書用2| > |cos2| = J(sin2T~cos7)^ =sin2+ c os2
又因为
?所以选A
例题5
【题干】已知Sin (( n + a) =-*，且a 是第一象限角 (1 )求cos a 的值
(2)求 tan ( n + a ) cos ( n- a) — sin ( + a)的值.
【题干】 已知'是第二象限的角，且
sina
A .
12
77
B .
a.
???是第二象限的角，且
siw=
h
tana
【答案】(1) —； (2)—
【解析】
所以cos a 寸1 -吕i 朋Q =_学
| 5
(1) sin( n a =
所以 sin =
5
且a 是第一象限角
cos a
—sin
111
=-tan a cos — sin (——+ a
(
2
=—tan a cos — cos
—sin a —
四、课堂运用
基础
【答案】B
【解析】
4
因为」一，且'为第二象限角,
s H HS g
=--
g °,故选B.
5in(-100a0) c 05(-2200°) tan(-lO) 心
2.给出下列各函数值：①：②：③；④. 其中符号为负的是( )
A. ① B .② C. ③ D .④
【答案】C
【解析】
sin (- 1000 ° =si n (—2 >360 °- 280 ° = - sin280 °cos10 °> 0,
cos (- 2200 °=cos (- 6 X360 °-40 °=cos40 °> 0,
tan (- 10 ) = - tan (3 n+0.58) = - tan (0.58 ) v 0
故选：C.
4
1.若’：，且?为第二象限角, ￡ ana =
(
3
-
4
D
4
-
3
Q
3-
■
3 勲口口 w - 所
以
：
via
cosa -—
即
■-，（舍负），
巩固
0+ cos 0=
，贝U sin 0— cos 0 的值为(
5 炳 0 + CQS B = -
1 +
2 5 in
3 cosd =-
由
：可得
—< 6<0
— cos9 =— JCsOid — 尸
则
故选
3.已知 a t am =—3
是第四象限角，且 “s 饥口 =
，则
cosa
【答案】 —
【解析】 v'101
~10~ 是第四象限角，且 tana. =—3
sina =— 3c osa ，即 将其代入恒等式
宀?=1可得航
故答案为
-
v Ts
vl7 ~T~ ~T~
c
T
A .
B .
C.
D
【答案】D
【解析】
/17
~T
- vlit
5i na=t O wsi?r ^-3x —=-
3\1D 10
4.已知sin
tamr =2 n.cofa +5 inStr =
5.已知，贝U
【答案】1
【解析】
taivx =2
?
故答案为：1.
功X30”卄眄二*
6.已知，则cos (60 —的值为
A.
C.
【答案】
【解析】
涇
cos (60 °-a) =sin[90 — 60 °a) ]=sin (30 ° a) /，故选C.
拔高
2i ajia ? s ma= 3：< tr < 0 5 incr
7.已知
?
，则等于()
v-
3 1 1
Y _T Z 2
A.B. C. D .
【答
案】
B
2t a7ia ■ s ina= 3ar a a a
【解析】
由整理可得：2sin2 =3cos ,即：(2cos -1) (cos +2) =0, :c:七十冷itxc&sa
原式
AHA
carfE-l
11-2x2 .
—=1 B.
-
—
< 0
5 二一莒
■/ -1 v cosA v 1，解得：cosA=-，由题-
，贝U
■
故选B.
8.已知一 「，且’ 一
4CQ JK -1 討
———
rnirif-H 2￡
(1 )求
的值;
(2 )求
4^inirosx — cos :x
的值.
7
&4
【答案】(1) ：
; (2)'：
【解析】
SIJ1X+
；
(1 )??? :
25 inxcosx
31 35
x e (― rr.O)
?
(jiwt-cojx)2 =1-25 injcco5x= ￡
/? sinx v 0, cosx > 0,二 sinx - cosx v 0,
-
(2 )由(1)知,
5inx+C05T=右
7
S ITUi — C 吵耳=—-
*
s;nx =-
，解得
4 x
3
COSX= T t (rnx=--
? ?
￡ UTJt+jt ■血*
课堂小结P
1由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围.
2?注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号?注意“ 1的灵活代换.
3?应用诱导公式，重点是函数名称”与正负号的勺正确判断.
基础
自讯（一 2055°）=（）
v'6->,r 2
4
小
4
4
A .
B .
C .
D .
【答案】C
【解析】
H 琐-2055°) = -5in20SS c =-sirt(Sx36O fl + 2S5°) =-sin2SS° =-sin(180o + 7S G ) = 5fn7S p
^Jinf45fl + 30J )
=
5
故选C.
iff 3；
ere (-J.0) suwt =-- cosa=
2?已知
，
，贝U ____________
【解析】
住色（一?
0） sirur =—-
由题
「，
'
tan( 4- a) = t a nr = 结
PMIE 4
4
【答案】： 4 即答案为（1）.- (2).
3.已知a€ 3n n
2 ,
tan a= 2,贝V COS a= _______ sin a= ________
【答案】
cos a=
—
sin
2”5 5
课后作业
fem 仗 + ? ccj￡i=Vl - nM-n =- 则 【解析】依题意得ta n a= sin a COS a sin2a+ COS2a= 1 , 由此解得cos2a= 5；又妖(n予,因此cos—尊Sin 2.5 5 巩固 4.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin =—，贝V sin = ____________ . 3 1 【答案】丄 3 【解析】 因为与关于y轴对称，则2k ，所以sin 2k 1 sin — 3 5.已知 【答案】 【解析】 五严丽平方可得: sm()C 0^(- )+ t an{ ) 6?计算：^ _ 【答案】0 【解析】 4 cos( -y +:an(yff) -s+r tjn-^ - i + ( - + 拔高 7. 已知COS(75 °+ a= 一，a是第三象限角， (1) 求sin(75 °+ a 的值. (2) 求COS(a—15 ° 的值. ⑶求sin(195 —a+cos(105O—a的值. 12 12 10 【答案】(1)—：；(2)—：; (3): 【解析】 (1) v COS(75 °+o)=…>0, a是第三象限角, 二75°+ a是第四象限角， -^1—^05^(75* + ct)=—— 且sin(75°a = Li 12 (2) cos a—15°)= cos[90 —(75 °+ "]= sin(75 ° a= —■ (3) sin(195。一a +cos(105O— a =sin[180 0+ (15。一a]+cos[180O0—(75 ° "] =—si n(15 — a —cos(75 + a =—sin[90 —(75 + 咖一cos(75 °+ a in =—2cos(75 °+M= ： 1 8. 已知a是三角形的内角，且sin a+ cos a= 5. (1) 求tan a的值； (2) 把厂」厂用tan a表示出来，并求其值. cos1 2 3 4 5a—sin2a 1 【解析】(1)联立方程sin a+ cos a= 7", ① sin2a+ cos2a= 1 , ② 5 1 由①得cos a=- —sin a将其代入②，整理得25sin2a—5sin a—12= 0.[2分] 5 sin a= 4 cos a= — 6 , ［4 分］ 5 5 ??? tan a= — 4.［6 分］ ?2 i 2 sin a+ cos a sin 7 a+ cos 2 a cos 2 a tan 2 a+ 1 2 cos 2 a 2 tan a+ 1 9. 在A ABC 中，若 sin(2 — A)——Q 2sin( sin A — V 2si n B , 由已知得 ■y 3cos A —寸 2cos B , ①2 + ② 2 得 2cos 2A — 1,即 cos A — ±22. (1)当cos A —子时，cos B —于，又A 、B 是三角形的内角, n n 7 …A —4, B —6，…c —冗一(A + B) —12n . ⑵当cos A — —孑时，cos B ——于.又A 、B 是三角形的内角， 3 5 n n 7 ?-A — 4n B — 6n 不合题意?综上知， A — 4, B — 6， C — 12冗. a 10 分］ 7 — 厂［8分］ cos a — sin a 1 — tan a 4 2 2 + 1 3 + 1 1 - -32 275 .［12 分］ a 是三角形的内角，. cos 2 a 2 - 2 COS a — Sin a ?/ tan a= — 3, 3 ____1 2 ? 2 — 2 cos a — sin a 1 — tan —B), Q3cos A =—{2cos( — B)，求△ABC 的三个内角. ① 【解析】 ■I教学反思B 三角函数的诱导公式(共5课时) 教学目标： 1、知识目标：理解四组诱导公式及其探究思路，学会利用 四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会 进行简单的化简与证明。 2、能力目标：培养学生数学探究与交流的能力，培养学生 直觉猜想与抽象概括的能力。 3、情感目标与价值观：通过不断设置悬念、疑问，来引起 学生的困惑与惊讶，激发学生的好奇心和 求知欲，通过小组的合作与交流，来增强 学生学习数学的自信心。 教学重点：理解四组诱导公式 利用四组诱导公式求任意角的三角函数值和简单的化简与证明。 教学难点：四组诱导公式的推导过程 为了区分下节课的几组公式，要理解为何名称不变 理解确定符号的方法 教学方法：启发式结合讨论式教学方法，结合多媒体课件演示 教学工具：多媒体电脑，投影仪 教学过程: 一、问题情景： 回顾前面已经学习的理论知识，我们已经学习了任意角的三角函数的定义，学习了三角函数线，还有同角三角函数关系，但是我们还有一个关键问题没有解决，那就是：我们如何来求任意角的三角函数值呢 思考：你能填好下面的表吗 二、学生活动： 小组讨论： 1、找出我们可以解决的和目前无法解决的 2、对于还无法解决的，可否借助前面学习的知识求解 3、这些角之间有何关联 教师指导：我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线，知道角的 终边和单位圆的交点的坐标就是角对应的三角函数值，大 家先画出一个单位圆，然后把第一个角的终边画出来，它 和单位圆的交点记为（00,x y ），然后我们以每两排为一 组前后左右可以相互讨论，分别画出另外四个角的终边和 单位圆的交点，每组画一个，然后每组推出一名代表发言， 看看你在画图的时候发现了什么。 （给五分钟画图、总结，学生在画图中容易看出另外的几个角和 开始的锐角的关系） 三、 意义建构： 教师指导：请每组推出的代表发言。（按顺序，没合适人选时，教师可以随机指出一名代表） 第一组：由画图发现0390的角的终边和6 的终边是重合的，它们相差 0360，由三角函数定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等，表中第二列和第一列值相同。 教师指导：第一组总结的很好，我们可否也把 它推广到任意的角呢总结一下就是“终 边相同的角的三角函数值相同”，如何 同角三角函数基本关系 1，平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； 2，商数关系：tan α＝α αcos sin 3，同角三角函数的关系式的基本用途： 根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式． 题型一，同角间的计算 利用基本关系计算，开方时注意正负 1，若sin α＝45 ，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43 2，化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 3，若cos α＝－817 ，则sin α＝________，tan α＝________ 4，若α是第四象限的角，tan α＝－512 ，则sin α等于( ) A.15 B ．－15 C.315 D ．－513 5，若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1 6，计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin 240° ＝________。 7，已知8 1cos sin =?αα，则ααsin cos -的值等于（ ） A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－2 3 8，已知 2cos sin cos sin =-+θθθθ，求θθcos sin ?的值。 9，已知sin α·cos α＝ 81，且24παπ<<，则cos α－sin α的值是多少? 10，已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π)，求值： （1）tan θ； （2）sin θ-cos θ；（3）sin 3θ+cos 3θ。 11，求证： ()x x x x x x x x cos sin 1sin cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+。 三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα 三角函数的诱导公式(第1课时)（学案） 一.教学目标 1．知识与技能 （1）能够借助三角函数的定义推导三角函数的诱导公式。 （2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。 2．过程与方法 （1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。 （2）通过对诱导公式的探求和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3．情感、态度、价值观 （1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。 （2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。 二.教学重点与难点 教学重点:探求π－α的诱导公式。π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。 教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。 三.教学方法与教学手段 问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件 四.教学过程 角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？ （一）情境创设及问题提出 如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数 求值问题。 【情境创设】摩天轮旋转一周（比如如图30°角的位置）后又会 回到原位，你能否从数学角度或者用数学学语言来刻画一下什么是 “回到原位”？摩天轮旋转一周后，发生变化和没有变化的量分别 是什么？它们之间有何关系？从中你能得到什么结论？ 一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三 角函数值__________，三角函数看重的就是终边位置关系。即有： （二）尝试推导 如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系。 【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？ 角与角α的终边关于y轴对称,有: 课题名称：三角函数的诱导公式(一) 课程模块及章节：必修4第一章节 教学背景分析 （一）课标的理解与把握 能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式 （二）教材分析： 本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。 （三）学情分析： 如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法． 教学目标 1记忆正弦、余弦的诱导公式． 2. 诱导公式并运用其进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 教学重点和难点 运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明 教学准备、教学资源和主要教学方法 模型、直尺、多媒体。 自主性学习法；反馈练习式学习法 教学过程 教 学环节教师为主的活动 学生为主 的活动 设 计 意 图 导入新课一．问题引入： 角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任 意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢先看一个 具体的问题。 求390°角的正弦、余弦值. 一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同 一三角函数值相等，即有： sin(+2kπ) = sinα，cos(+2kπ) = cosα，ta n(+2k π) = tanα (k∈Z) 。 (公式一) 通过复习 知识引人 新课 激 发 学 生 的 学 习 兴 趣 目 标 引 把学习目标板在黑板的右上角，并对目标进行解读。 领 活动导学二．尝试推导 由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数 值一定相等。反过来呢 问题：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗 角π与角的终边关 于y轴对称,有 sin(π ) = sin ， cos(π ) = cos ，（公式二） tan(π ) = tan 。 因为与角终边关于y轴 对称是角π-，，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位 圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。于是，我们就得 到了角π与角的三角函 数值之间的关系:正弦值相等， 余弦值互为相反数，进而，就得 到我们研究三角函数诱导公式 的路线图： 角间关系→对称关系→坐 标关系→三角函数值间关系。 三．自主探究 问题：两个角的终边关于x 轴对称,你有什么结论两个角的终边关于原点对称呢 角与角的终边关于x轴对称，有： sin() = sin ， cos() = cos ，（公式三） tan() = tan 。 角π + 与角终边关于 原点O对称，有： sin(π + ) = sin ， cos(π + ) = cos ，（公式四） tan(π + ) = tan 。 上面的公式一~四都称为三角函数的诱导公式。 结论：α π α π α± - ∈ ? +， ， ) ( 2Z k k的三角函数值，等 于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的 符号． 学生阅读、 观察、思 考、讨论交 流。 提问式回 答，教师再 补充完整。 学生观察 图形，思考 学生观察、 思考、讨论 以 问 题 式 给 出， 把 课 堂 较 给 学 生， 激 发 学 生 学 习 的 自 主 性。 培 养 学 生 的 空 间 想 象 能 力 第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sin α cos α ＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2± α，π±α的正弦、余弦、正 切的诱导公式. 知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)sin α cos α ＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式 [常用结论与微点提醒] 1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( ) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1 3.( ) 解析 (1)对于α∈R ，sin(π＋α)＝－sin α都成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝1 3， 当k 为偶数时，sin α＝－1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(2018·成都诊断)已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos (π＋α)＝( ) A.－35 B.35 C.－45 D.45 解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝3 5，所以cos(π＋α)＝－cos α ＝－3 5，故选A. 答案 A 3.已知sin ? ????5π2＋α ＝1 5，那么cos α＝( ) A.－25 B.－15 C.15 D.25 解析 ∵sin ? ????5π2＋α＝sin ? ???? π2＋α＝cos α，∴cos α＝15.故选C. 答案 C 4.(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则 sin α＋cos α sin α－cos α 的值为________. 解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋1 2－1 ＝3. 答案 3 5.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈? ? ???0，π4，则sin θ－cos θ的值为________. 解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝7 18. 三角函数公式大全三角函数定义 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数 名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项 数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 1.2.三角函数诱导公式学案（一） 预习案（限时20分钟） 学习目标： （1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式； （2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题 学习重点： 用联系的观点发现并证明诱导公式,体会把未知问题化归为已知问题的思想方法 学习难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法． 预习指导：请根据任务提纲认真预习课本P23-25 ? 任务一：探究三角函数诱导公式（二） （三）（四） 思考： （1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切） （2）任意角的三角函数的定义是什么？ （3）公式一的内容与作用是什么？ 探究一：任意角α与(π＋α)三角函数值的关系. ①α与 (π＋α)角的终边关系如何？ ②设α与(π＋α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2，则点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，那么点P 2的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(π＋α)，cos α与cos(π＋α)，tan α与tan(π＋α)的关系如何？ 利用三角函数定义，自己探索，归纳成公式（二） _______)tan(_______)cos(_______)sin(=+=+=+απαπαπ 探究二：任意角α与(-α)三角函数值的关系. ①α与(－α)角的终边位置关系如何？ ②设α与(－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(－α)，cos α与cos(－α) ，tan α与tan(－α)关系如何？ 利用三角函数定义，经过探索，归纳成公式（三） _______)tan(_______)cos(_______)sin(=-=-=-ααα 探究三：α与(π－α)的三角函数值的关系． ①α与(π－α)角的终边位置关系如何？ ②设α与(π－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(π－α)，cos α与cos(π－α) ，tan α与tan(π－α)关系如何？ 经过探索，归纳成公式（四） _______)tan(_______)cos( _______)sin(=-=-=-απαπαπ 预习检测 1.cos 225?=_________ 2.)45sin(ο-=_________ 3.)150tan(ο =________ _______)180tan()cos()180sin(.4=--?+οοααα 5.若,31)tan(=+απ则=αtan __________________ 1.3三角函数的诱导公式 贾斐三维目标 1、通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想. 2、通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用. 3、进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等. 教学难点:六组诱导公式的灵活运用. 课时安排2课时 教学过程 导入新课 思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值. ②复习诱导公式一及其用途. 思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到 到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像360°( 2 公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题. 新知探究 提出问题 由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想. 三角函数诱导公式专项练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（） A． B． C． D． 2．的值为（） A． B． C． D． 3．已知，则cos（60°–α）的值为 A． B． C． D．– 4．已知，且，则（）A． B． C． D． 5．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A． B．－ C．± D． 6．已知，则=( ) A． B． C． D． 7．已知，，则（） A． B． C． D． 8．已知，则（） A． B． - C． D． - 9．如果，那么 A． - B． C． 1 D． -1 10．已知，则（） A． B． C． D． 11．化简的值是（） A． B． C． D． 12．的值是（） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，则的值等于 A． B． C． D． 14．已知，则（） A． B． C． D． 15．已知的值为（）A． B． C． D． 16．已知则（） A． B． C． D． 17．已知，且是第四象限角，则的值是( ) A． B． C． D． 18．已知sin＝，则cos＝( ) A． B． C．－ D．－ 19．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( ) A．－ B． C．± D．－k 20．＝( ) A． sin 2－cos 2 B． sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D． cos 2－sin 2 21．的值为 A． B． C． D． 22．（） A． B． C． D． 三角函数有关诱导公式一览表 公式 ) ( tan ) 2 tan( cos ) 2 cos( sin ) 2 sin( .1Z k k k k ∈ ? ? ? ? ? = + = + = + α α π α α π α α π ? ? ? ? ? = + - = + - = + α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .2 ? ? ? ? ? - = - = - - = - α α α α α α tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .3 ? ? ? ? ? - = - - = - = - α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .4 ? ? ? ? ? = - = - α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .5 ? ? ? ? ? - = + = + α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .6 ? ? ? ? ? - = - - = - α α π α α π sin ) 2 3 cos( cos ) 2 3 ( sin .7 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看先象限 图形 简记结合图形，7组公式可用口诀概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 说明①公式的推导思路：前面4组通过找角的终边位置关系—坐标关系—三角函数关系而得出（后面3组通过角的变换，进而借助前面的有关公式转化得到）②各组诱导公式都可用含角度的形式 ③在应用诱导公式解题时，基本思路是：“负化正，大化小，化成锐角再求值”。 一定要记清特殊角的三角函数值，根据问题做到准确应用，正确求解。 1.3 三角函数的诱导公式 （名师:杨峻峰） 一、教学目标 （一）核心素养 从对称性出发，获得一些三角函数的性质.会选择合适的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (二)学习目标 １. 牢固掌握五组诱导公式. 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明． 3. 通过诱导公式的推导,培养学生的观察能力、分析归纳能力. ４.渗透把未知转化为已知以及分类讨论的数学思想. （三）学习重点 熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明. (四)学习难点 相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识,诱导公式的推导、记忆及符号判断. 二、教学设计 （一)课前设计 1． 阅读教材第23页至第27页,填空: (1)如图，πα+的终边与角α的终边关于 原点 对称; （２)如图,α-的终边与角α的终边关于 ｘ轴 对称； (３)如图，πα-的终边与角α的终边关于 y 轴 对称; （４)如图, 2 π α-的终边与角α的终边关于 直线y ＝x 对称; (5)诱导公式: 公式二：()sin πα+=sin α-，()cos πα+=cos α-，()tan πα+=tan α； 公式三：()sin α-=sin α-，()cos α-=cos α,()tan α-=tan α-; 公式四：()sin πα-=sin α,()cos πα-=cos α-,()tan πα-=tan α-; 公式五：sin 2πα??-= ???cos α，cos 2πα?? -= ???sin α； 公式六:sin 2πα??+= ???cos α，cos 2πα?? += ??? sin α-． 2.预习自测 1.下列选项错误的是( ） A.利用诱导公式二可以把第三象限的三角函数化为第一象限的三角函数.? Ｂ.利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数. ? C. sin cos 2παα? ?+=- ?? ?． ? ? ? D ．若α为第四象限角,则sin cos 2παα? ?-=- ???．? ? ? 答案：Ｃ． （二）课堂设计 １．知识回顾 三角函数的诱导公式 (教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 课题：三角函数的诱导公式 授课教师：吴淑群 教材：苏教版数学4第1章1.2.3 教学目标 1.理解三角函数的诱导公式； 2.能运用这些公式处理简单的三角函数的化简、求值等问题； 目标解析 1．在理解的基础上，熟记诱导公式； 2．能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并进行简单的三角变换； 3．经历由几何特征（终边的对称）到发现数量关系（诱导公式）的探索过程；4．从公式推导和运用的过程中，体会数形结合、转化与化归等思想方法； 5．初步体会三角函数和周期性变化的内在联系； 教学重点、难点 重点：四组诱导公式的推导、记忆和运用。 难点：诱导公式推导过程中数形关系的转换；符号的判断。 教学方法与教学手段 探究教学法、多媒体辅助教学。 教学过程 一、创设情景 先行组织者 师：我们已经学习了任意角三角函数的概念。三角函数是以圆周运动为原型，为 了刻画周期性运动而建立的数学模型。那么，周期性是怎样体现在三角函数的概念之中的？今天，我们仅就上述问题做一个初步的探讨。 二、建构数学 1．终边相同的角的三角函数 （1）提出问题（展示课件） 已知任意．．角α，观察角α的终边绕着原点逆时针旋转的过程。 问题1：在上述变化过程中，有哪些东西会周而复始的重复出现？ （2）解决问题 （根据学生回答的情况，视机提出下列提示性问题） 问题1-1：角的终边的位置会重复出现吗三角函数值会重复出现吗 问题1-2：什么时候“角的终边位置”会重复出现什么时候三角函数值会重复出现 要求学生把分析的结论用数学等式表示出来： ) (tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπαα πα 问题1-3 ：角α与角παk 2+)(Z k ∈的三角函数值为什么相等呢？ （让学生回到定义去解决问题） （3）小结： 回顾解决问题的思路，得到下面的框图 三角函数的诱导公式(第1课时) 南京师范大学附属中学刘洪璐 教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书(必修4)·数学》第1.2.3节 一.教学目标 1．知识与技能 （1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。 （2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。 2．过程与方法 （1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。 （2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3．情感、态度、价值观 （1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。 （2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。 二.教学重点与难点 教学重点:探求π－α的诱导公式。π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。 教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。 三.教学方法与教学手段 问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件 四.教学过程 角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？先看一个具体的问题。 （一）问题提出 如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。 【问题1】求390°角的正弦、余弦值. 一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，三角函数看重的就是终边位置关系。即有：sin(α+k·360°) = sinα， cos(α+k·360°) = cosα，(k∈Z) tan(α+k·360°) = tanα。 这组公式用弧度制可以表示成sin(α+2kπ) = sinα， cos(α+2kπ) = co sα，(k∈Z) (公式一) tan(α+2kπ) = ta nα。 §4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式 1． 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α ＝tan α. 2． 下列各角的终边与角α的终边的关系 3. 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． ( × ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角． ( × ) (3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝1 3 . ( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π 2，π]，则m <－5或m ≥3. ( × ) (5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－3 3 . ( × ) (6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α 的值是－1 3. ( √ ) 2． 已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π 2，0)，则tan(2π－α)的值为 ( ) A ．－25 5 B.255 C ．±25 5 D. 52 答案 B 解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－2 3， 又α∈(－π 2，0)， 得cos α＝1－sin 2α＝ 53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝25 5. 3． 若tan α＝2，则2sin α－cos α sin α＋2cos α 的值为________． 答案 34 三角函数诱导公式与同角的三角函数 【知识点1】诱导公式及其应用 公式一： sin()-sin αα-=； cos()cos αα-= ； tan()tan αα-=- 公式二： ααπ-sin sin(=+）； ααπ-cos cos(=+）； ααπtan tan(=+）． 公式三： ααπsin sin(=-）； ααπ-cos cos(=-）； ααπtan tan(-=-） 公式四： sin(2sin παα-=-）； cos(2cos παα-=）； tan(2tan παα-=-） 公式五： sin( 2π-α) = cos α； cos(2π -α) = sin α． 公式六： sin(2π+α) = cos α； cos(2π +α) =- sin α． 公式七： sin(32π-α)=- cos α； cos(32π -α) = -sin α． 公式八： sin(32π+α) = -cos α； cos(32 π +α) = sin α． 公式九：απαsin )2sin(=+k ； απαcos )2cos(=+k ； απαtan )2tan(=+k ．（其中Z ∈k ）． 方法点拨： 把α看作锐角 一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限 公式（五）到公式（八）总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限） 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ +?2 k 或是απ-? 2 k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函 数名，偶数就不变 例1、求值（1）29cos( )6π= __________． （2）0tan(855)-= _______ ___． （3）16 sin()3 π-= __________． 的值。 求：已知、例)sin(2)4cos() 3sin()2cos( , 3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+ 例3、 )2cos()2sin(21++-ππ【 】 A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 例4、下列各式不正确的是【 】 A ． sin （α＋180°）=－sin α B ．cos （－α＋β）=－cos （α－β） C ． sin （－α－360°）=－sin α D ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 例5、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于【 】 A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．3 2 m 例6、已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为【 】 A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6 例7、试判断 sin(2)cos() (9tan (5) 2αππαα παπα-+??+- ??? ··cos 为第三象限角）符号 例8、化简3 sin(3)cos()cos(4) 25 tan(3)cos()sin() 22 πααππαπαπααπ-?-?+-?+?- 例9、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求 ) sin()2 3sin(2) 2cos(5)sin(α--α-π α-π+α-π 例10、若1sin()3 πθ-= ,求 []cos() cos(2) 3 3 cos()1cos sin()cos()sin() 22 πθθππθθ θπθπθπ+-+ --?-?--+的值． 提示：先化简，再将1sin 3 θ=代入化简式即可． 2019-2020学年高中数学 三角函数诱导公式学案2 新人教A 版必 修 4 二、重点、难点 重点: 借助于单位圆，推导出正弦、余弦相互转化的诱导公式。 难点: 利用诱导公式解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。 三、教学过程 引入新课 1函数名称 )(2Z k k ∈+πα α- απ- απ+ αsin αcos αtan 2．（1）=6 sin π _____；=3 cos π _____。 （2）=4 sin π _____；=4 cos π _____。 （3）=0sin _____；=2 cos π _____。 那么能否将锐角推广到任意角呢？ 猜测公式五： 。 3．角6π与3 π 的终边有何关系？利用单位圆，画出三角函数线，证明你的结论。 4．（1）=65sin π_____；=3cos π_____。（2）=43sin π_____；=4cos π_____。 （3）=65cos π_____；=3sin π_____。（4）=43cos π_____；=4 sin π_____。 x y O 知识链接：初中学习过，任意锐角的正弦 值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值 等于它的角的正弦值。 由2π βα= +得απ β-= 2 ， )2cos(sin απα-=，)2 sin(cos απ α-= 猜测公式六： 。 5．你能否用公式二和五证明你猜测的公式六？ 例题剖析 例1．求证：（1）ααπcos )2 3sin(-=+ （2）ααπsin )2 3cos(=+ 例2．已知3 1)75cos(=+α ，且?-< 人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 1 1.3 三角函数的诱导公式 教案 A 教学目标 一、知识与技能 1．理解诱导公式的推导过程； 2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用． 3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力． 二、过程与方法 利用三角函数线，从单位圆关于x 轴、y 轴、直线y x 的轴对称性以及关于原点O 的中心对称性出发，通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想． 三、情感、态度与价值观 通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯． 教学重点、难点 教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等． 教学难点：六组诱导公式的灵活运用． 教学关键：五组诱导公式的探究． 教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究． 教法与学法导航 教学方法：探究式，讲练结合． 学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中． 1. 充分利用多媒体引导学生完善从特殊到一般的认知过程； 2. 强调记忆规律，加强公式的记忆； 3. 通过对例题的学习，完成学习目标． 教学准备 教师准备：多媒体，投影仪、直尺、圆规． 学生准备：练习本、直尺、圆规． 教学过程 一、创设情境，导入新课 我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性．能否利用圆的这种对称 三角函數誘導公式大全 三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(42π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k2360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”． 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦三角函数的诱导公式教案优质课
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