福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷含答案
P A O B
C
D
2010年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建预赛试卷
一.填空题：(每小题6分,共60分)
1.用区间表示函数)13
1ln(
)(-+-=x x
x f 的定义域为__________________. 2.在ABC ?中,若3
1
cos sin -=+A A ,则=A 2cos _________________.
3.在数列{}n a 中,已知21=a ,1*122()n n n a a n ++-=∈N ,则使10>n a 成立的最小正整数n 的值为_____________.
4.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,对任意x ∈R 均有)()2(x f x f =+,且)1,0(∈x 时,
2)(x x f =,则=+-)1()2
3(f f ________________. 5.如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为正方形,PAB ?为
等边三角形,O 为AB 边中点,且⊥PO 平面ABCD ,则二面角
D AC P --的余弦值为_____________.
6.已知集合}777|{3
32210?+?+?+==a a a a x x A ,其中
}6,5,4,3,2,1,0{∈i a ,3,2,1,0=i ,且03≠a .若正整数A n m ∈,,
且2010=+n m ,n m >,则符合条件的正整数m 有_____________个. 7.函数x x x f k k 22cos sin )(+= *()k ∈N 的最小值_________________. 8.将方程4][33=-x x 的实数解从小到大排列得,,,,21k x x x
则3
3
33
23
1k x x x x ++++ 的值为____________.(][x 表示不超过的最大整数) 9.若正整数m 使得对任意一组满足14321=a a a a 的正数4321,,,a a a a 都有
4
32143211
111a a a a a a a a m
m
m
m
+
++≥
+++成立,则正整数m 的最小值为_________. 10.如图,记从“田字型”网格(由4个边长为1的正方形构成)的9个交点中任取3个点构成的三角形面积为ξ(当所取的三点共线时,ξ=0),则ξ的数学期望E ξ=____.
二.解答题：(每小题20分,满分100分)
11.当实数a 为何值时,关于x 的方程x ax ln =无解、一解、两解？
12.已知函数()2f x x x a =-,试求)(x f 在区间]1,0[上的最大值)(a g .
13.如图,在锐角ABC ?中,AC AB =,ACB ∠的平分线交AB 于点D ,过ABC ?的外心O 作CD 的垂线交AC 于点E ,过点E 作AB 的平行线交CD 于点F . (1)求证：F O E C ,,,四点共圆； (2)求证：F O A ,,三点共线； (3)求证：EF EA =.
14.已知双曲线C ：122
22=-b
y a x ()0,0>>b a 的离心率为2,过点),0(m P )0(>m 斜率
为1的直线l 交双曲线C 于B A ,两点,且3AP PB =,3OA OB ?=.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设Q 为双曲线C 右支上动点,F 为双曲线C 的右焦点,在x 轴负半轴上是否存在定点
M 使得QMF QFM ∠=∠2？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.
15.数列}{n a 中,已知21=a ,且对一切正整数n 都有13211+=+n n a a a a a . 求证：n n a a a a 2
18141211111321++++≥++++ 对一切正整数n 均成立.
2010年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建预赛
简易答案
1.(3,1)--
3.3
4.14
5.-
6.662
7.112
k - 8.15 9.3 10.5
6
11.当1e a >时，无解；当1
e
a =或0a ≤时，仅有一解；当10e a <<时，两解.
12.2
12,1,
()11,21, 1.a a g a a a a a ?-≤??=<≤??->??
13.(1),,,OEF OCF C E O F ∠=∠?四点共圆； (2) 180,,AOE EOF A O F ∠=-∠?三点共线； (3) OFE OCE EAO EA EF ∠=∠=∠?=.
14.(1) 2
2
13
y x -=;(2)存在定点为(1,0)-. 15.先证明
12
121111
1n n
a a a a a a +++
=-
；则原不等式等价于122n n a a a ≥.
又21(1)0n n n a a a +-=-≥，故112n n a a a +≥≥≥=，证闭.