黎曼流形上外微分形式理论在A-调和方程中的应用研究

摘要.............................................................................................I ABSTRACT......................................................................................II 第1章绪论 (1)

1.1黎曼流形上的外微分形式理论 (1)

1.2黎曼流形上外微分形式的A-调和方程 (8)

1.2.1研究背景 (9)

1.2.2研究现状 (10)

1.3本文的主要内容与结构 (13)

第2章黎曼流形上外微分形式的L p理论 (15)

2.1广义外微分 (15)

2.2外微分形式空间中的弱收敛 (20)

2.3带边黎曼流形上的非线性Hodge理论 (22)

2.4本章小结 (26)

第3章黎曼流形上的拟线性椭圆方程 (27)

3.1记号与准备工作 (27)

3.1.1黎曼流形上的Sobolev嵌入定理 (28)

3.1.2黎曼流形上的Morrey引理 (30)

3.2A-调和张量的H¨o lder连续性 (32)

3.3弱A-调和张量的弱逆H¨o lder不等式 (35)

3.4本章小结 (39)

第4章带边黎曼流形上的广义Dirichlet边值问题 (40)

4.1记号与准备工作 (40)

4.2广义Dirichlet边值问题 (41)

4.2.1积分估计 (42)

4.2.2解的稳定性 (43)

4.2.3弱逆H¨o lder不等式 (45)

4.3障碍问题的很弱解 (48)

4.3.1存在性与唯一性 (49)

4.3.2拟极小值点 (52)

-V-

4.3.3稳定性 (54)

4.4本章小结 (56)

第5章外微分形式的变分 (57)

5.1记号及引理 (57)

5.2弱下半连续性 (58)

5.2.1凸性与弱下半连续性 (58)

5.2.2非凸性与弱下半连续性 (59)

5.3极小值点的存在性 (66)

5.4应用 (67)

5.5本章小结 (70)

结论 (71)

参考文献 (72)

攻读博士学位期间已发表和已投出的论文 (80)

哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限 (81)

致谢 (82)

个人简历 (83)

-VI-

Contents

Abstract(In Chinese)..........................................................................I Abstract(In English)..........................................................................II Chapter1Introduction.. (1)

1.1Di?erential forms on Riemannian manifolds (1)

1.2A-harmonic equations of di?erential forms on Riemannian manifolds (8)

1.2.1Research background (9)

1.2.2Recent researches (10)

1.3Main results and structure of this dissertation (13)

Chapter2L p theory of di?erential forms on Riemannian manifolds (15)

2.1Generalized exterior derivative (15)

2.2Weak convergence in spaces of di?erential forms (20)

2.3Nonlinear Hodge theory on Riemannian manifolds with boundary (22)

2.4Summary of this chapter (26)

Chapter3Quasilinear elliptic equations on Riemannian manifolds (27)

3.1Notation and preliminary results (27)

3.1.1Sobolev imbedding theorems on Riemannian manifolds (28)

3.1.2Morrey’s lemma on Riemannian manifolds (30)

3.2H¨o lder continuity of A-harmonic tensors (32)

3.3Weak reverse H¨o lder inequality of weakly A-harmonic tensors (35)

3.4Summary of this chapter (39)

Chapter4Generalized Dirichlet boundary value problems on Riemannian manifolds with boundary (40)

4.1Notation and preliminary results (40)

4.2Generalized Dirichlet boundary value problems (41)

4.2.1An integral estimate (42)

4.2.2Stability of solutions (43)

4.2.3Weak reverse H¨o lder inequality (45)

4.3Very weak solutions to obstacle problems (48)

4.3.1Existence and uniqueness (49)

-VII-

4.3.2Quasiminimizers (52)

4.3.3Stability of very weak solutions (54)

4.4Summary of this chapter (56)

Chapter5The calculus of variations for di?erential forms (57)

5.1Notation and preliminary results (57)

5.2Weak lower semicontinuity (58)

5.2.1Convexity and weak lower semicontinuity (58)

5.2.2Non-convexity and weak lower semicontinuity (59)

5.3Existence of minimizers (66)

5.4Applications (67)

5.5Summary of this chapter (70)

Conclusions (71)

References (72)

Papers published or submitted in the period of https://www.360docs.net/doc/2b6141816.html,cation (80)

Statement of copyright and Letter of authorization (81)

Acknowledgements (82)

Resume (83)

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第1章绪论

黎曼几何是关于流形M上黎曼度量g的研究。黎曼流形的概念是Riemann 于1854年在他的著名就职演说《关于几何学的基本假设》中提出来的。在此之前，Gauss发现（1827年）R3中的曲面的Gauss曲率只依赖于曲面的第一基本形式，而与曲面的具体形状无关。这就是Gauss的“绝妙定理”(Theorema Egregium)，它开创了曲面的内蕴微分几何。Riemann把Gauss的思想推广到高维的情形，提出了一种为流形上每一条曲线指定长度的统一方法：首先为流形上的切向量指定长度，然后把曲线的长度定义为其切向量之长度沿曲线的积分。特别地，他提议长度函数d s可以是d x i的、处处为正的二次齐次函数的算术平方根，即

d s2“

i,j“1

g i j p x q d x i d x j

这就是现在的黎曼度量。研究微分几何必须能对光滑切向量场做微分，这就需要在光滑流形上加上一个新的结构，这种结构就是所谓的联络。黎曼流形上存在一种自然的特殊联络，称为黎曼联络或Levi-Civita联络?,它由黎曼度量g唯一确定。Gauss借助于曲面的第二基本形式来定义Gauss曲率，用于衡量曲面内在的弯曲程度，而Gauss曲率本身与曲面的第二基本形式无关。在高维的情形，反映弯曲程度的几何量是所谓的黎曼曲率张量。

本文约定：在本文中所提到的黎曼流形均指的是闭黎曼流形，即无边紧致黎曼流形，对于带边黎曼流形的情形会特别说明。

1.1黎曼流形上的外微分形式理论

黎曼流形上的外微分形式理论在黎曼流形的大范围分析理论、偏微分方程、物理学和力学等学科中扮演着十分重要的角色，见[1,2]等。本节简要黎曼流形上外微分形式的基础理论，见[1,3–13].

黎曼流形上的微分算子

设p M,g q是一个n维紧致有向黎曼流形，?是M上的Levi-Civita联络。设p U;x i q是M的任意一个与其定向相符的局部坐标系，则黎曼度量g有局部坐标表达式

g|U“g i j d x i b d x j

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