含参变量积分的性质

1引言 (1)

2含参变量积分 (1)

2.1一元含参变量的有限积分函数()()?=b

a dx u x f u ,?的定义及其分析性质 ..................... 1 2.2含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质 .. (4)

2．2.1含参变量的有限二重积分函数定义及其分析性质 (4)

2.2.2含参变量的有限n 重积分函数的分析性质 (10)

3例题 (11)

4结束语 (14)

参考文献 (15)

致谢 (16)

含参变量积分的性质

数学系0803班陈璐

指导教师王芳

摘要：含参变量积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数但又是以积分形式给出的,所以它在积分计算中起着桥梁作用，本文通过对一元含参变量的有限积分函数:A ()()?=b

a dx u x f u ,?的定义及其在区间[]

b a ,上的分析性质(连续性、可微性与可积性)出发，阐述了含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质，分别推导出含参变量的有限二重积分函数及含参变量的有限n 重积分函数的连续性、可微性与可积性定理与公式，最后给出了一些应用实例。关键词：含参变量，积分函数，分析性质。 Including the nature of the integral depending on a parameter

Chen Lu

Class 0803, Mathematics Department

Tutor: Wang Fang

Abstract : Contain integral depending on a parameter is a kind of a special points, because it is an integral form and function are given, so it plays in the integral calculation bridge. This paper, with a yuan of parameter of the integral function limited definition A and in the analysis of the interval nature (continuity, the

differentiability and integrality) article, expatiates the heavy integral depending on a parameter with limited definition and nature of the function analysis, were deduced with the double integral depending on a parameter, function and the parameter with limited heavy continuity of integral function, can the sex and integrable theorems and formula. Finally gives some practical examples.

Key words: including parameter, integral function, analysis of the interval nature.

1引言

目前，许多学者对含参变量积分的性质的研究已经达到了一定的深度，主要研究了许多运用含参变量积分的性质解决实际问题的方法。古希腊的阿基米德和我国的刘徽的著作都体现了积分的思想。但到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前，有关定积分的各种结果还是孤立零散的，比较完整的积分理论还未能形成，直到牛顿-莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决。

积分的性质作为求平面图形的面积以及许多实际问题的重要工具，为数学的发展打下了坚实的基础。含参变量积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数但又是以积分形式给出的，所以它在积分计算中起着桥梁作用。本文对含参变量积分的函数的定义、连续性、可微性、可积性的进行了较为系统的描述，使其应用更具一般化。

2含参变量积分

2.1一元含参变量的有限积分函数()()?=b

a dx u x f u ,?的定义及其分析性质定义1 设函数()y x f ,在矩形d y c

b x a R ≤≤≤≤,:上连续，如果把y 固定为[]d

c y ,0∈,函数()0,y x f 就成为一个变量[]b a x ,∈上的连续函数了，则()()?=b

a dx y x f y I 00,就是一个唯一确定的数，这个数与0y 有关，当y 在[]d c ,上变动时，所得到积分值一般是不同的，记为()()dx y x f y I b

a ?=,，它是y 的函数，其定义域为[]d c ,，称积分()dx y x f b

a ?,为含参变量积分，自变量为y 。性质1.（极限）若()y x f ,在[]

b a x ,∈，[)(]d y y

c y ,,00Y ∈上连续，

0lim y y →()()()dx x g dx y x f dx y x f b

a b a y y b a ???=??????=→,lim ,0 。证明：根据()()x g y x f y y =→,lim 0

，可得对任给的ε0>,存在0>δ,当0δ<-<0y y 时，

()()()a b a

b x g y x f >-<

-ε, 从而 ()()()()[]()()εε=-<-≤-=-????

?dx a b dx x g y x f dx x g y x f dx x g dx y x f b a b a b a b a b a ,,,