等差数列练习题(有答案) 百度文库

一、等差数列选择题

1．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列

{}n a ，已知11a =，2

=，且满足()211+-=+-n

n n a a （n *∈N ），则该医院30天入

院治疗流感的共有（）人

A ．225

B ．255

C ．365

D ．465

2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45

B ．50

C ．60

D ．80

3．设数列{}n a 的前n 项和2

1n S n =+. 则8a 的值为（）．

A ．65

B ．16

C ．15

D ．14

4．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()

12n n n S +=，则数列11n n a a +??????

的前10项的和为

（） A ．

B ．

910

C ．10

D ．

1112

5．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（） A ．29

B ．38

C ．40

D ．58

6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则6

12S

S =（） A ．

B ．

83 C ．

143

D ．

103

7．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12

a b =（） A ．

B ．

7059

C ．

7159

D ．85

8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（） A ．121

B ．161

C ．141

D ．151

9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则3810b b b =（ )

A ．1

B ．8

C ．4

D ．2 10．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（）

A ．9

B ．12

C ．15

D ．18

11．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（） A ．2019

B ．4040

C ．2020

D ．4038

12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =.定义数列{}n b 如下：

()*1m m b m m

+∈N 是使不等式()

n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b +++

+=（）

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100 13．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则9

S a =（） A ．9

B ．5

C ．1

D ．

14．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*

111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（）

A ．0m S <且10m S +>

B ．0m S >且10m S +>

C ．0m S <且10m S +<

D ．0m S >且10m S +<

15．在数列{}n a 中，11a =，且11n

n n

a a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．

1n n -+

B ．2

2n n -+

C ．22

n n -+

D ．2

n n -+

16．若数列{}n a 满足121

()2

n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（） A ．1010 B ．1011 C ．2020

D ．2021

17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（） A ．51

B ．57

C ．54

D ．72

18．已知数列{}n a 的前n 项和()2

n S n n N =∈，则{}n

a 的通项公式为（）

A ．2n a n =

B ．21n a n =-

C ．32n a n =-

D ．1,1

2,2

n n a n n =?=?

≥?

19．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（） A ．

B ．

C ．2

D ．9

20．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237

n n S n T n =+，则6

3a b 的值为

（） A ．

B ．38

C ．1

D ．2

二、多选题

21．已知数列{}n a 满足0n a >，

121

n n n a n

a a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）

A ．11a =

B ．121a a =

C ．201920202019S a =

D ．201920202019S a >

22．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则78S S >

D ．若67S S >则56S S >.

23．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68S a = B ．733S =

C ．135********a a a a a +++

+= D ．222

2123202020202021a a a a a a ++++=

24．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减

D ．数列{}n S 有最大值

25．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（） A ．25n a n =-

B ．310n

a n

C ．2

28n S n n =- D ．2

4n S n n =-

26．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的

是（） A ．110S =

B ．10n n S S -=（110n ≤≤）

C ．当110S >时，5n S S ≥

D ．当110S <时，5n S S ≥

27．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（） A ．0d < B ．70a =

C ．95S S >

D ．67n S S S 与均为的最大值

28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =

D ．当8n ≥时，0n a <

29．无穷数列{}n a 的前n 项和2

n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（）

A ．{}n a 可能为等差数列

B ．{}n a 可能为等比数列

C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列

D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 30．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，

6914a a ?=-．12n n n n b a a a ++=??，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（）

A ．320n a n =-

B ．325n a n =-+

C ．当4n =时，n T 取最小值

D ．当6n =时，n T 取最小值

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．B 【分析】

直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【详解】

解：当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以13291a a a ==???==，

2430,,,a a a ???是以2为首项，2为公差的等差数列，

所以30132924301514

()()1515222552

S a a a a a a ?=++???++++???+=+?+?=，故选：B 2．C 【分析】

利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解【详解】

{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =

1158158()15215

156022

a a a S a +??=

===

故选：C 【点睛】

本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题

3．C 【分析】

利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】

由2

1n S n =+得，12a =，()2

111n S n -=-+，

所以()2

21121n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,1

21,2

n n a n n =?=?-≥?，故828115a =?-=.

故选：C. 【点睛】

本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 4．C 【分析】

首先根据()12

n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】

当1n =时，111a S ==，

当2n ≥时，()()

11122

n n n n n n n a S S n -+-=-=-=.

检验111a S ==，所以n a n =. 设()11111

n n n b a a n n n n +=

==-++，前n 项和为n T ，则10111111101122310111111T ??????=-+-++-=-= ? ? ???????

…. 故选：C 5．A 【分析】

根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】

因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 6．D 【分析】

由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】

已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，

所以()()633962S S S S S ?-=+-，且9

6S S =，化简解得633S S =.

又

()()()96631292S S S S S S ?-=-+-，∴31210S S =，从而

126103

S S =. 故选：D 【点睛】思路点睛：

（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，

（2）()()633962S S S S S ?-=+-，且9

6S S =，化简解得633S S =，（3）()()()96631292S S S S S S ?-=-+-，化简解得31210S S =. 7．C 【分析】

可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果．【详解】

因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且

3221

n n S n T n +=+，所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，

又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴

1215(6121)71(4151)59

a k

b k ?-==?-，故选：C ． 8．B 【分析】

由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】

因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即

127a =

所以231223161S a == 故选：B 9．B

【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，

所以2

7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；

又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，

所以3

3810371178b b b b b b b ===.

故选：B. 10．A 【分析】

在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】

在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6，所以95132a a a =+，

所以139522639a a a =-=?-=，故选：A 11．B 【分析】

由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则

()15202020

202016202010102

a a a a S +=

?=?+可得答案. 【详解】等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+

()12020

202052016202010104101040402

a a a a S +=

==?=+?? 故选：B 12．B 【分析】

先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121

k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =，可得21n a n =-，

因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12

m n +≥

，

当21m k =-，（*

k N ∈）时，

m m b k m

+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++，即2121

k k b --=

，从而()135191

13519502

b b b b ++++=

++++=.

故选：B. 13．B 【分析】

由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求9

S a . 【详解】

4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，

∴1999()

452

a a S d ?+=

=，99a d =，且0d ≠， ∴9

5S a =. 故选：B 14．D 【分析】

由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】

由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()

m m m a a S ++++=<. 故选：D. 15．D 【分析】

先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出212

n n n a -+=，进而求出n a .

【详解】解：11n

n n

a a na +=

+， ()11n n n a na a ++=∴，

化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：

111

n n

n a a +-=，即

1a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --

=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：

213243111111+a a a a a a --+-+ (1)

123n n a a -+-=+++…1n +-，即

111(1)

n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222

n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又

1a =也满足上式， 212()2

n n n n z a -+∴=∈， 2

()2

n a n z n n ∴=

∈-+. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 16．B 【分析】

根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由121

()2n n a a n N *++=

∈，则11()2

n n a a n N *+=+∈，即11

n n a a +-=

，所以数列{}n a 是以1为首项，

为公差的等差数列，所以()()11111122

n n a a n d n +=+-=+-?=，所以2021a =20211

10112

+=. 故选：B 17．B 【分析】

根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案.

【详解】

317102a a a += 1039a ∴=，即103a =

()11910

19191921935722

a a a S +?∴===?=

故选：B 18．B 【分析】

利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】

2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，

当1n =时，111a S ==，上式也成立，

()

*21n a n n N ∴=-∈，

故选：B. 【点睛】

易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即

11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结

果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 19．A 【分析】

由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】

设公差为d ，则42363

4222a a d --=

==--，所以5433322

a a d =+=-=. 故选：A 20．C 【分析】

令2

2n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则6

a b 可得．

【详解】

令2

2n S n λ=，()37n T n n λ=+，

可得当2n ≥时，()()2

21221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，

()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，

当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，

()232n b n λ=+

故622a λ=，322b λ=，

故6

1a b =. 【点睛】

由n S 求n a 时，11,1

n n n S n a S S n -=?=?-≥?，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符

合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解．

二、多选题

21．BC 【分析】

根据递推公式，得到11n n n

n n a a a +-=-，令1n =，得到121

a a =，可判断A 错，B 正确；

根据求和公式，得到1

n n n

S a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】

由121n n n a n a a n +=+-可知2111

n n n n n a n n n a a a a ++--==+，即11n n n

n n a a a +-=-，当1n =时，则12

a a =

，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321

111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++??????-=++

+=-+-+

+-=-= ? ? ???????，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：

由递推公式求通项公式的常用方法：

（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；

（2）累乘法，形如()1

n n

a f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解；（3）构造法，形如1

n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通

项时，常需要构造成等比数列求解；

（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11

,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解.

22．BC 【分析】

根据等差数列的前n 项和性质判断．【详解】

A 错：67895911415000S a a a a a S a S ?+++<>?+

B 对：n S 对称轴为

n =7；

C 对：6770S S a >?<，又10a >，887700a S a d S ??<；

D 错：6770S S a >?<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >．故选：BC ．【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()

n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 23．BCD 【分析】

根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】

对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；

对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得

135********a a a a a +++???+=，故C 正确；

对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2

121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222

123202*********a a a a a a +++???+=，故D 正确．

故选：BCD 【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 24．ABD 【分析】

由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】

根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确；由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；

由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD. 25．AD 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145

460

a d a d +=??

+=?，进而得13,2a d =-=，故

25n a n =-，24n S n n =-.

【详解】

解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==

所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：11

460a d a d +=??+=?，

解方程组得：13,2a d =-=，

所以()31225n a n n =-+-?=-，2

4n S n n =-.

故选：AD. 26．BC 【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192

a d =-，然后逐项判断.

【详解】设公差d 不为零, 因为

38a a =，

所以1127a d a d +=+，即1127a d a d +=--，解得192

a d =-，

11191111551155022S a d d d d ??

=+=?-+=≠ ???

，故A 错误；

()()()()()()221101110910,10102222

n n n n n n d d

na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-

，故B 正确；

若11191111551155022S a d d d d ??

=+=?-

+=> ???

，解得0d >，

()()2

2510525222

n d d d n n S n S =

-=--≥，故C 正确；D 错误；故选：BC 27．ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】

因为5665600S S S S a ?>，677670S S S S a =?-==，

788780S S S S a >?-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；

()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；

由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 28．AD 【分析】

利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】

因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，

故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；

10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，

所以310S S ≠，故选项C 不正确；

当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD 【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 29．ABC

【分析】

由2

n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．

【详解】

当1n =时，11a S a b c ==++．

当2n ≥时，()()2

21112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．

所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c

时，{}n a 是等差数列， 0

0a c b ==??

≠?

时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：A B C 【点睛】

本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题． 30．AC 【分析】

由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．【详解】

解：在递增的等差数列{}n a 中，由5105a a +=，得695a a +=，

又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =，则967(2)

3963

a a d ---=

==-，16525317a a d =-=--?=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．

故A 正确，B 错误；

12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---

可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正．而5610820b b +=-=>．

∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．

故选：AC ．【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．