蝴蝶定理
一、蝴蝶定理的发展历程简介：。
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P、Q，则PM＝QM 由于此图形似只蝴蝶飞舞，故此定理因此而得名：蝴蝶定理。此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，有意思的是，迟到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。笔者结合自己的证明和收集别人的研究，整理证法十种，以飨读者。
证法1 （证∠POM＝∠QOM）
作CF、DE的弦心距OG、OH，连OM，则OM⊥AB且OGPM四点共圆。
∴∠POM＝∠PGM…①。同理，∠QOM＝∠QHM…②
∵△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE
∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，∴MF﹕FG＝MD﹕DH
∠F＝∠D
∴△MFG∽△MDH，∴∠MGF＝∠MHD…③
由①②③得：∠POM＝∠QOM
∴PM＝QM
证法2 （作△PMD′≌△QM D）
作C关于直线OM的对称点C＇连C＇M交⊙O于D＇，则AC弧＝BC＇弧，MD＇＝MD，∠PMD＇＝∠QMD
∠CPM＝0.5AF弧＋0.5BC＇C弧＝0.5AF弧＋0.5AC弧＋0.5CC＇弧＝0.5FCC＇弧＝∠FD＇M 从而PFD’M四点共圆。
∴∠PD’M＝∠PFM＝∠D
∴在△PD’M与△QDM中
∠PD’M＝∠D
MD’＝MD
∠PMD’＝∠QMD
∴△PMD’≌△QMD
∴PM＝QM
证法3 （利用梅氏定理）
延长CF、ED相交于G点。
∵直线CD截三角形GPQ三边于C、M、D三点
证法4 （面积法）
证法5 （面积比的积为1）
如图，设四个三角形的面积分别为a、b、c、d
证法6（利用正弦定理）
证法7 （引用例题结论）
如图7(1)圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点M，则
（右边比中的前项为有公共顶点的弦的端点与对角线交点的线段）
证明：作∠AME＝∠ABC，则B、E、M、C四点共圆。△ABCCDA∽△AME，连CE，则∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，∴△CDA∽△CME，∴
两式相乘得：
下面我们引用此例题的结论，以AP/PB，BQ/AQ，AM/BM建立比例
连CA、AF、FB、BC得圆内接四边形AFBC，则
证法8 （解析法）
如图，建立平面直角坐标系
设⊙O的方程为
x2＋(y－a)2＝R2
设CF：y＝mx，
ED：y＝nx
于是⊙O和直线CF、ED组成了二次曲线系
其方程为：
μ[x2＋(y－a)2－R2]＋λ[(y－mx)(y－nx)]＝0
令y＝0,知P、Q两点的横坐标x1、x2满足方程：(μ＋λmn)x2＋μ(a2－R2)＝0
∵x的一次项系数为0,∴x1＋x2＝0
∴MP＝MQ
证法9（三角函数与相似综合）
证法10 (解析法)
如图10建立平面直角坐标系.
设CD：y＝mx，EF：y＝nx，圆：(x＋a)2＋y2＝R2
蝴蝶定理: 如图，点P为圆O的弦AB的中点，过点P任意作两条弦CD，EF，又连接CF，ED分别交AB于点M,N.则：PM=PN.
证明：如图，作点C的对称点K，连结EK,OP则：OP⊥MN，CK∥AB，又∠CPO=∠KPO, ∴∠NPK=90°-∠KPO=90°-∠CPO =∠MPC=∠PCK=∠DCK=∠DEK=∠NEK，∴点PEKN四点共圆，∴∠PKN=∠PEN=∠FED=∠DCF=∠PCM，又PK=PC, ∠NPK=∠MPC,∴△NPK≌△MPC(ASA)，∴PM=PN.证毕！1990全国冬令营数学选拔赛试题
1969年，查克里恩从订立的定理考虑，给出蝴蝶定理的逆定理：
任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。
1985年，蝴蝶定理传入中国。
接着，中国科学院成都分院的杨路教授在论文中指出：将蝴蝶定理的弦AB的中点M推广到弦AB上任一点，有蝴蝶定理的坎迪形式。
同年，我国数学教育者马明在论文中指出，将蝴蝶定理弦AB上的M点，拓广到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之处。
接下来，蝴蝶定理的研究出现了一个高潮，人们发现，不仅仅是圆，任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式，例如，椭圆中的蝴蝶定理。
1990年，出现了筝形蝴蝶定理，并发现，蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用。
关于蝴蝶定理的证明，仅在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。
至于高等几何的证明方法也有很多种，其中最为简洁的，当推用射影几何的方法，在下文中将会给予介绍。
蝴蝶定理的60多种证明方法,而且,还给出了蝴蝶 定理的各种变形与推广.令人欣喜的是这只美丽的 蝴蝶终于在2003年飞到我国的高考(北京)试卷里:
18．（本小题满分15分）如图，已知椭圆的长轴21A A 与x 轴平行，短轴21B B 在y 轴上，中心),0(r M （0>>r b
（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线x k y 1=与椭圆交于),(11y x C ，),(22y x D （02>y ），直线x k y 2=与椭圆次于),(33y x G ，),(44y x H （04>y ）
．求证：4
3431212
11x x x x k x x x x k +=+；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在H G D C ,,,，设CH 交x 轴于P 点，GD 交x 轴于Q 点，求证：||||OQ OP =（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形）
18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.
（Ⅰ）解：椭圆方程为1)(2
2
22=-+b
r y a x 焦点坐标为),(221r b a F --，),(222r b a F - 离心率a
b a e 2
2-=
（Ⅱ）证明：证明：将直线CD 的方程x k y 1=代入椭圆方程1)(2
2
22=-+
b r y a x ，得 2
2
2
12
2
2
)(b a r x k a x b =-+
0)(2)(22222122
122=-+-+b a r a rx a k x k a b 根据韦达定理，得 2
1
2
2
21212k a b r a k x x +=
+，2
1
2
2
222221k a b b a r a x x +-=
，
所以 r
k b r x x x x 12
221212-=
+ ① 将直线GH 的方程x k y 2=代入椭圆方程1)(2
2
22=-+b r y a x ，同理可得
r
k b r x x x x 22
243432-=
+ ② 由 ①、②得 r
b r x x x x k 22
221211-=
+ = 43432x x x x k + 所以结论成立
（Ⅲ）证明：设点P )0,(p ，点Q )0,(q
由C 、P 、H 共线，得
4
21
141x k x k p x p x =
-- 解得 4
2114
121)(x k x k x x k k p --=
由D 、Q 、G 共线，同理可得
3
22
132x k x k p x p x =
-- 3
2213
221)(x k x k x x k k q --=
由
212
11x x x x k + = 43432x x x x k +变形得
42114121)(x k x k x x k k ---
=3
2213
221)(x k x k x x k k --
所以 q p = 即 OQ OP =
本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。
第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。
第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（或p+q=0。）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p= -q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。
设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得
1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’
将①’两边同乘以k1·k2，即得
k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。
4．赏析：
上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？
关于圆，有一个有趣的定理：
蝴蝶定理设AB是圆O的弦，M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB 于H、G。则MH=MG。
这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。
盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？
像，而且像极了。试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？
[关于“椭圆上的蝴蝶”，张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述，有兴趣的读者请参阅该书P54-59]。
5．启示
椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花（草）园，令人欣喜异常。它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。为什么？你（老师、学生）关注到了它吗？
实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式
证明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以应用定比分点公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去证λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2 -x1），去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式
证明d c-AB=0；你还可以计算△ABC的面积，去证Ｓ△ABC=0。你看，有五、六种方法
可以解决同一个问题，当然难度有高有低。一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞
察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。据说考试下来，有一些重点中学的
尖子生对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！
不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里？北京市有许多重点
中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求
与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。各种各样的复习资料，几
十套几十套的各地模拟试卷，使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔，这哪里还谈
得上素质教育与培养能力？我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题
目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用，从而解放思想，勇敢大胆
地摒弃“题海战术”。而要使学生跳出题海，老师就必须首先跳入题海，“题海探珠”，感悟数
学教育改革的真谛。——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。
椭圆中的蝴蝶定理及其应用
2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到 圆锥曲线的若干性质. 定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF 交直线AB于P，Q，则有. 证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是的两个根，所以. 若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立. 若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0， q），, ,同理, 所以 将代入(*)得,又得 , , 同理 , ，所以，即 .
注:2003年高考 数学北京卷第18 （III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形. 定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有. 证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为(*)，设A（），B（），则切线MA的方程是，切线MB的方程是 ，得，所以.（下面与定理1的证明相同，略） 特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上. 性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，EF是其焦点轴， 则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时，l就是过焦点的直线. 证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得.
蝴蝶定理的证明及推广
一 蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何 方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而M U A M V ?? ， AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1] 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 M B F E D M ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 F M E A N B 1M E A N B F ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版
任意四边形、梯形与相似模型 卜亠\ 模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??） 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的
面积的 1 ，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1 ： 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。 【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二 Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3
梯形蝴蝶定理
梯形蝴蝶定理 如上图，在梯形中，存在以下关系： 1.相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b2 2.S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab 3.S3=S4 4.S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出) 5.AO:BO=(S1+S3):(S2+S4) 【例】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？ 【解】如图，由梯形蝴蝶定理可得△BEF面积等于6，而△ABF的面积为6×6÷4=9 因为△BCD面积等于△ABD，所以△BCE面积为9+6-6-4=5 因此所求四边形面积为5+6=11。 蝴蝶定理的证明：
右上角为A，左下角为B S1和S2的的三角形是相似的（AAA）~~~所以面积比=边长比的平方即a2：b2 设梯形高为h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2。。。。所以S3=S4 设S3+S1的三角形的AB上的高为h1，可知S3:S1=OB:OA 因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=OB:OA=b：a 所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab 射影定理 公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA 。 等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明） 直角三角形射影定理的证明 射影定理简图(几何画板)： （主要是从三角形的相似比推算来的） 证法一 在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°， ∴∠ABD=∠C， 又∵∠BDA=∠BDC=90°
(完整word版)蝴蝶定理的八种证明及三种推广.docx
蝴蝶定理的证明 定理： 设 M 为圆内 弦 PQ 的中点，过 M 作弦 AB 和 CD 。设 AD 和 BC 各相交 PQ 于点 E 和 F ， 则 M 是 EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的 帮助下，翩翩起舞！ 证法 1 如图 2 ，作 OU AD ， OV BC U ，V 分别为 AD 、 BC 的中点，且由于 ，则垂足 EUO EMO 90 FVOFMO 90 得 M 、 E 、U 、O 共圆； M 、F 、V 、 O 共圆。 则 AUM= EOM ， MOFMVC 又 MAD MCB ， U 、V 为 AD 、BC 的中点，从而 MUA MVC ， AUM MVC 则 EOM MOF ，于是 ME=MF 。 证法 2 过 D 作关于直线 OM 的对称点 D' ，如图 3 所示，则 FMD' EMD ，MD=MD' 1 A ○ C 联结 D'M 交圆 O 于 C'，则 C 与 C'关于 OM 对称，即 P E FQ U M PC' CQ 。又 V D O 1 1 1 CFP= （ QB+PC ）= （QB+CC'+CQ ）= BC'= BD'C' 2 2 2 故 M 、F 、 B 、 D' 四点共圆，即 MBF MD'F 而 MBF EDM 2 ○ B 图 2 C' C A 由 1 、 2 知， DME D'MF ， 故 ME=MF 。 ○ ○ P E F Q M 证法 3 如图 4，设直线 DA 与 BC 交于点 N 。对 NEF 及截线 AMB ， NEF 及截 线 CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1 ， FM ED NC 1 ME AN BF ME DN CF 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB O B D D' 图 3 N 得 FM 2 AN ND BF CF BF CF ME 2 AE ED BN CN AE ED A C P E F Q PM +MF MQ - MF PM 2 MF 2 PM - ME MQ+ME PM 2 ME 2 M D O B 化简上式后得 ME=MF 。[2] 图 4 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
小学几何之蝴蝶定理大全精编版
小学几何之蝴蝶定理大全 一、 基本知识点 定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 20 3 4153= ? 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2
定理4：相似三角形性质 1） H h C c B b A a = = = 2）S1∶S2 = a2 ∶A2 定理5：燕尾定理 S△ABG ∶S△AGC = S△BGE ∶S△GEC = BE∶EC S△BGA ∶S△BGC = S△AGF ∶S△GFC = AF∶FC S△AGC ∶S△BCG = S△ADG ∶S△DGB = AD∶DB 二、例题分析 例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？
C F E A C B E F D A 例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=1 3 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 例4、例1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米） 例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米） 例6、如下图，图中BO=2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD 的面积是多少平
小学奥数几何篇 五大模型——蝴蝶定理(附答案)
五大模型——蝴蝶模型 例1. 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如果三角形ABD 1，且AO=2，DO=3，那么CO的长的面积等于三角形BCD的面积 3 度是DO的长度的倍
例2. 如图,平行四边形ABCD的对角线交与点O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6 求：（1）△OCF 的面积；（2）求△GCE的面积 例3.如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=3EC，CF=FD，求三角形AEG的面积。
例4. 如图，边长为1的正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD 中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积
例5. 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB于BOC的面积分别为25平方厘米于35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米 例6.梯形ABCD的对角线AC与BD交与点O，已知梯形上底为2， 2，求三角形AOD与且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的 3 三角形BOC的面积之比。 例7. 如下图，一个长方形一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH 的面积。
例8. 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米 例9. 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知期中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米 例10. 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？
蝴蝶模型习题 1、如图，长方形ABCD中，BE：EC=2：3，DF：FC=1:2，三角形DFC面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积. 2、梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？ 3、如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4：5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为 4、如图，长方形ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9，那么四边形OECD的面积是多少？ 5、如图，△ABC是等腰三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相较于K点，已知正方形DEFG的面积48，AK：KB=1:3，则△BKD的面积是多少？
小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积 是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平 方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？ 任意四边形、梯形与相似模型
B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？) 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3ABD BCD S S ??=， ∴1 3AH CG =， ∴1 3AOD DOC S S ??=， ∴1 3 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。
小学奥数之几何蝴蝶定理问题完整版
小学奥数之几何蝴蝶定 理问题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
C F E A D B C B E F D A 几何之蝴蝶定理 一、 基本知识点 定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质 1） H h C c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理 S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、 例题 例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？ 1 2 AD AB = ，例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且 13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且BE=1 3 AB,已知四边形 EDCA 的面积 是35，求三角形ABC 的面积. 例4 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积 和。（单位：厘米） 例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角 形。已知
四年级下册数学竞赛试题-几何.风筝模型和梯形蝴蝶定理C级.学生版-全国通用
【例 1】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC ？ C B 【巩固】 在△ABC 中 DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OE OB =? 【例 2】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次 是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积． O G F E D C B A 例题精讲 风筝模型和梯形蝴蝶定理
【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。 【例 3】 如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积． A B C D E F G 【巩固】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求 长方形ABCD 的面积． A B C D E F G 【例 4】 如图，在ABC ?中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ?、ABO ?和BON ?的面积分别是3、2、1，则MNC ?的面积是 ． O M N C B A 【巩固】 如图4，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89、28、26， 那么三角形DBE 的面积是 。
【例 5】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米。则阴影部分的面 积是 平方厘米。 E 【巩固】 在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=?BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米。 【例 6】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积． H G F E D C B A 【巩固】 如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三
蝴蝶定理的证明
图 5 蝴蝶定理的证明 定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○ 1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ?=? 得 2 2 FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED ?=???=? ()()()()2 2 22 PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -= =-+-- 化简上式后得ME=MF 。 [2] 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven 给出）如图5，并令 图 2 图 3 图 4
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)知识讲解
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四 个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是 123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？ 任意四边形、梯形与相似模 型
B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？) 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角 形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方 法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=， ∴13 AH CG =， ∴13 AOD DOC S S ??=， ∴13 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积 依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。
蝴蝶定理
一、蝴蝶定理的发展历程简介：。 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P、Q，则PM＝QM 由于此图形似只蝴蝶飞舞，故此定理因此而得名：蝴蝶定理。此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，有意思的是，迟到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。笔者结合自己的证明和收集别人的研究，整理证法十种，以飨读者。 证法1 （证∠POM＝∠QOM） 作CF、DE的弦心距OG、OH，连OM，则OM⊥AB且OGPM四点共圆。 ∴∠POM＝∠PGM…①。同理，∠QOM＝∠QHM…② ∵△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE ∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，∴MF﹕FG＝MD﹕DH ∠F＝∠D ∴△MFG∽△MDH，∴∠MGF＝∠MHD…③
由①②③得：∠POM＝∠QOM ∴PM＝QM 证法2 （作△PMD′≌△QM D） 作C关于直线OM的对称点C＇连C＇M交⊙O于D＇，则AC弧＝BC＇弧，MD＇＝MD，∠PMD＇＝∠QMD ∠CPM＝0.5AF弧＋0.5BC＇C弧＝0.5AF弧＋0.5AC弧＋0.5CC＇弧＝0.5FCC＇弧＝∠FD＇M 从而PFD’M四点共圆。 ∴∠PD’M＝∠PFM＝∠D ∴在△PD’M与△QDM中 ∠PD’M＝∠D MD’＝MD ∠PMD’＝∠QMD ∴△PMD’≌△QMD ∴PM＝QM 证法3 （利用梅氏定理） 延长CF、ED相交于G点。
小学几何之蝴蝶定理大全
小学几何之蝴蝶定理大全 一、基本知识点 定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 定理2：等分点结论（鸟头定理） 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 3 1 3 5 4 20 定理3：任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理） 1）S1∶S2 =S4∶S3 或S1×S3 = S 2× S4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之 积 2 ）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3） 梯形中的比例关系（梯形蝴蝶定 理） 1）S1∶S3 =a2∶b2 上、下部分的面积比等于上、下边 的 平方比 2）左、右部分的面积相 等 3）S1∶S3∶S2∶S4 =a 2∶b2 ab∶ab S1 : S2 = a : b 4）S 的对应份数为（a+b）2
定理 4：相似三角形性质 2) S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理 5：燕尾定理 S △ ABG ∶ S △AGC = S △ BGE ∶ S △GEC = BE ∶ EC S △ BGA ∶ S △BGC = S △ AGF ∶ S △GFC = AF ∶ FC S △ AGC ∶ S △BCG = S △ ADG ∶ S △DGB = AD ∶ DB 二、 例题分析 例 1、如图， AD DB ， AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米， 多少平方厘米？ 1) BCH ABC 的面积是
例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且AD 1 AB，2 1 ABC中，，D为BC的中点， E 为AB上的一点，且BE= AB,已知四 边3 形EDCA的面积是35 ，求三角形ABC的面积. 例4、例 1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米） 例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米） 例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是 4 平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平 B 三角形DEF 的面积. BE 1BC ， 3 1 CF CA ，求 4 例3、如图，在三角形
(完整word版)蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明 定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○ 1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ?=? 得 2 2 FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED ?=???=? ()()()()2 2 22 PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -= =-+-- 化简上式后得ME=MF 。[2] 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 图 2 图 3 图 4
小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：S 4S 3 S 2S 1O D C B A ①12 43::S S S S 或者1324S S S S ②124 3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵ :AG GC ？A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ，那么6BGC S ；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AG GC ．(？？？)任意四边形、梯形与相似模型
【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的1 3，且2AO ，3DO ，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。A B C D O H G A B C D O 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 :1:3ABD BCD S S ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知 条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造 这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学 生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ． 解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G ．∵1 3 ABD BCD S S ，∴1 3AH CG ，∴13AOD DOC S S ，∴13AO CO ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ． 【例3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616，那么BCO △和CDO 的面积都是162 8，所以OCF △的面积为844；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862， 根据蝴蝶定理， ::2:41:2COE COF EG FG S S ，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ，那么1 1 2 21233 GCE CEF S S ．【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的
蝴蝶定理的证明及推广
摘要 蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。 关键词：蝴蝶定理；证明；推广； 一摘要 [1]作者简介：陈富，祖籍江苏泰州，现就读于湖南工业大学机械工程学院机械系。 [2]指导老师简介：刘东南，祖籍湖南邵阳，现任湖南工业大学讲师。
在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。 如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M 点不再是中点，能得到坎迪定理、若M 、N 点是AB 的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。 二 蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何 方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ?? ，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1] 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 M B F E D M ∠=∠ ○2 图 2 图 3
十大高中平面几何几何定理汇总与证明【精】整理版
高中平面几何定理汇总及证明 1.共边比例定理 有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M， 则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM. 证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证 S△PAB=(S△PAM-S△PMB) =(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB =(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比） 同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB 所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！ 特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，则PB∥AQ。 2.正弦定理 在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径） 证明： 现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边 AB。设AB长度为c。 若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。 ∵（特殊角正弦函数值）
∴ 若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2r=R。若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧， 此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等） ∴在Rt△ABC'中有 若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。 考虑同一个三角形的三个角及三条边，同理，分别列式可得 。