数学分析(3)试卷及答案
数学分析(3)试卷及答案
数学分析(3)期末试卷
2005年1月13日
班级_______ 学号_________ 姓名__________
考试注意事项：
1.考试时间：120分钟。
2.试卷含三大题，共100分。
3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！
4.遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设
z
x u y tan =，则全微分
=
u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所
确
定
的
隐
函
数
，
则
=
x u _________________________。
3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ?=),(y x f 有连续偏导数，则
=
')(x F __________________。
5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。
6、 在xy 面上，若圆{}1
22
≤+=y x
y x D |),(的密度函
数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值
7、
8、 1、
设),(2x
y
y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和
xy u 。
2、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
3、 求
x x x
e x
x
d sin
e 0
2?
∞+---。提示：
C
bx b bx a b a e x bx e ax
ax
+-+=?)cos sin (d sin 22。
4、 利用坐标变换求??+-D y x y
x y
x d d sec 2，其中D 由1
=+y x ，0=x 及0=y 围成。
5、 求曲面2222≤++z y x 与2
2y x z +≥
所围成的
立体体积。
6、 计算y x z x z y z y x S d d d d d d 333++??，其中S 是球面
2222R z y x =++)
0(>R 的上半部分)0(≥z 的外侧。
三、证明题（每题10分，共20分）
1、
试证：函数
?
????=+≠++=,0 ,0
,0,),(22222
2
2
y x y x y x xy y x f 在原点)0,0(连
续且偏导数存在，但在原点不可微，并且
)
,(y x f x 和),(y x f y 在原点不连续。
2、
试证3222=++z y x 和1=++z y x 的交线在点)1,1,1(0-P 的邻域内能用一对方程)(x f y =和)(x g z =表示，
并求x y d d 和x
z
d d ，以及交线在点0P 的法平面方程。
数学分析3期末考试题
一.选择题（每题4分，共16分）
1.如果是偶函数且可导，则 （ ）
A. 0)0(='f
B. 0)0(=f
C.1)0(='f
D.1)0(=f 2.下列广义积分收敛的是 （ ） A.
dx x x
?
+∞
+0
21 B. dx x x ?+∞∞-+214cos
C.
)1(,11
≤?
+∞
p dx x p D. )1(,)(ln 12≤?+∞p dx x x p
3.下列说法错误的是 （ ） A.设2
R E ?为任一有界无穷点集，则E 在2
R 中至少有一个聚点.
B.设{}2
R P k ?为一个有界点列，则它必存在收敛子列.
C.2
R E ?为有界闭集,则E 的任一无穷子集必有聚点. D.2R E ?为有界闭集，则E 不一定为一列紧集. 4.下列
说
法
正
确
的
是
（
）
A.若级数∑n u 是发散的，则∑n u c 也是发散的.
B.若级数∑n u 是收敛的，∑n v 是发散的，则+∑n u ∑n
v
可以是
收敛的.
C.若级数∑n u 和∑n v 是发散的，则+
∑n u ∑n
v
可以是收敛的.
D. 若级数∑n u 和∑n v 是发散的，则n n v u ∑也是发散的.
二.填空题（每空3分，共15分） 1．
级
数∑-n
x n n
2)1(的收敛半径为 ，收敛区间
为 . 2．
若
x
y
z arctan =在)1,1(处可微，则=)1,1(x z ，
=)1,1(y z .
3. 函数)sin(y x y z +=的全微分为 . 三.计算题（共40分）
1．计算下列定积分（每题4分，共8分）
（1）dx x x ?+-1
02
211 （2）dx x x e e 2
1)(ln 1?
2．求级数∑∞
=++1
)2)(1(1
n n n n 的和函数（8分）
3．把函数??????
?<≤<<--=,0,4
,0,4
)(ππππ
x x x f 展成傅立叶级数.(8分)
4.求极限2
2)
0,0()(1
sin
)(lim y
x y x y x ++→，.（8分）
5．求曲面273222=-+z y x 在点)1,1,3(处的切平面方程和法线方程.(8分)
四.讨论题和证明题（共29分）
1．设,)(n
x x x f n
n -=讨论函数列{}{}n n f f '与在]1,0[∈x 的一致收敛性.（9分）
2.设f 在],[a a -上可积，证明：（5分） （1）若f 为奇函数，则0)(=?-dx x f a
a
（2）若f 为偶函数，则dx x f dx x f a
a a
??=-0
)(2)(
3.证明不等式e dx e x <
2
1.（5分）
4．证明函数()y x f ,??
???=+≠++=,0,0,0,22222
22y x y x y x y
x 在点)0,0(连续且偏导数存
在，但在此点不可微.（10分）
2008-2009（一）《数学分析》(3-3)期末考试试卷B
一. 选择题(每题3分,共27分)
1．下列说法错误的是 （ ）
A 2R 是开集但不是闭集
B {}222(,)x y x y r +≤是闭集
C {}22(,)1x y x y +<是开集
D ?是既开又闭的点集。
2. 设点P 是平面点集E 的边界点,CE 是E 关于全平面的余集，
则（ ）
A P 是E 的聚点
B P 是E 的孤立点
C P 是E 的内点
D P 是C
E 的边界点 3. L 为单位圆周
1
22=+y x ，
ds
y L
?
的值为
( )
A 4
B 3
C 2
D 1
4. 设L 是沿抛物线22y x =从原点到点B （1，2）的曲线，L
xdy ydx +?
的值为 ( )
A 0
B 2
C 1
D －2
5．
y
x y x xy
sin ),(),()11(lim ++∞+∞→的值等于
( )
A 1
B 2
C 3
D 0
6. 若S 为柱面2
22R y x =+被平面0=z 和0)H(H >=z 所截取的
部分，则dS y x S
??
+2
21
值等于
（ ）
A R
H 2π B
R
H
π C
4
H
3π D R H 4π
7.累次积分??2
x 0
0dy y x f dx ),(1
交换积分顺序后，正确的是
( )
A ??y
0dx y x f dy ),(1
B ??1
1
),(y
dx y x f dy
C ?
?y
dx y x f dy 1
1),( D
??0
1
),(y
dx y x f dy
8. 曲
面z=
x
y
arctan
在点(1,1,
4
π)处的切平面方程是
( )
A 2
2π
=
+-z y x B 2
2π
=
-+z y x
C z y x +=+=+4
)1(2)1(2π
D z y x -=
-=-4)1(2)1(2π
9. 设,2y xe u = l 由起点P(1,0)到终点Q(3,-1),则
l
u ??|
P
等于 ( )
A 0
B 1
C 2
D 3
二 计算题(每题8分, 共40分)
1. 设z =f (xy x y
,),求y
x z ???2
.
2.
设
2
22z y x u ++=,
其中),(y x f z =是由方程
xyz z y x 3333=++所确定的隐函数,求x u
3
．设L 为任一包含原点的闭曲线，方向取正向,计算?
+-L y x ydx xdy 2
2