平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第5讲--风险规避、风险投资与跨期决策)说课材料

平新乔《微观经济学十八讲》第5讲 风险规避、风险投资与跨期决策

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1．一个农民认为在下一个播种的季节里，雨水不正常的可能性是一半对一半。他的预期效用函数的形式为：

预期效用11ln ln 2

2

NR R y y =+

这里，NR y 与R y 分别代表农民在“正常降雨”与“多雨”情况下的收入。

（1）假定农民一定要在两种如表5-1所示收入前景的谷物中进行选择的话，会种哪种谷物？

表5-1 小麦和谷子在不同天气状况下的收入 单位：元

（2）假定农民在他的土地上可以每种作物都播种一半的话，他还会选择这样做吗？请解释你的结论。

（3）怎样组合小麦与谷子才可以给这个农民带来最大的预期效用？

（4）如果对于只种小麦的农民，有一种要花费4000元的保险，在种植季节多雨的情况下会赔付8000元，那么，这种有关小麦种植的保险会怎样改变农民的种植情况？

解：（1）农民种小麦的预期效用()w E u 为：

()()60.5ln 280000.5ln100000.5ln 28010w E u =+=?

农民种谷子的预期效用()c E u 为：

()()60.5ln190000.5ln150000.5ln 28510c E u =+=?

因为()()w c E u E u <，所以农民会种谷子。

（2）若农民在土地上每种作物都播种一半，他不会选择继续只种谷子。如果农民在他的土地上每种作物各种一半，他的收益如表5-2所示：

表5-2 混合种植时不同天气状况下的收入 单位：元

从而他的预期效用()E u 为：

()()60.5ln 235000.5ln125000.5ln 293.7510E u =+=?

由于()()()w c E u E u E u <<，所以农民会混合种植。

（3）假设小麦的种植份额为α，那么混合种植的期望效用EU 为：

()()11ln 28000190001ln 1000015000122EU αααα=

+-++-?????

??? 效用最大化的一阶条件为：

()()()()28000190001000015000d 110d 222800019000110000150001EU ααααα--=+=+-+-????????

解得：49

α=

。 此时的期望效用为：

()

645450.5ln 28000190000.5ln 100001500099990.5ln 293.9EU ????

=?+?+?+?????

????=?10

所以当农民用4/9的土地种小麦，5/9的土地种谷子时，其期望效用达到最大，最大期望效用为()60.5ln 293.910?。

（4）如果种植小麦的农民购买保险，那么他的期望效用()w E u '为：

()()()()6111

ln 280004000ln 100004000ln 33610222

w E u '=

-++=? 这个值大于两种作物按最优混合比例种植所能带给农民的效用，所以农民会买保险。

2．证明：如一个人拥有初始财产*w ，他面临一场赌博，赌博的奖金或罚金都为h ，赌博的输赢概率都为0.5（公平赌博）。若这个人是风险厌恶型的，那么他就不会参加该赌博。

证明：假设消费者的效用函数为()u w ，那么他参与赌博的期望效用为：

()()11

22

u w h u w h **++- 而他不参加赌博的效用为()*u w 。对于风险厌恶者，财富的期望值的效用总是大于效用的期望值，即：

()()()()()11112222u w h u w h u w h w h u w *****??

++-<++-=????

这就意味着参与赌博的效用低于不赌博的效用，所以此人不会参加赌博。

3．当决定在一个非法的地点停车时，任何人都知道，会收到罚款通知单的可能性是P ，并且罚金额为f 。假定所有的个人都是风险厌恶型的（也就是说，()0u w "<，其中，w 是个人的财富）。那么被抓到的可能性的按比例增加和罚金上的按比例增加在防止非法停车方

面哪个更有效？（提示：运用泰勒级数展开式()()()()2

2

f u w f u

w fu w u w -=-'+"）

答：利用泰勒级数展开式，非法停车的总效用为：

()()()()()()()()

()()()

2

2121

2

f Pu w f P u w P u w fu w u w u w Pu w u w Pfu w Pf u w ??-+-≈-'+"+-????''=-'+ 假设罚金的比例增加为原来的t （1t >）倍，那么非法停车的效用就变为：

()()()221

2

u w tPfu w t Pf u w -'+" ①

假设收到罚款通知单的可能性增加为原来的t （1t >）倍，那么非法停车的效用就变为：

()()()21

2

u w tPfu w tPf u w -'+" ②

由于消费者是风险厌恶型的，所以()0u w "<，于是：

()()()()()()22211

22

u w tPfu w t Pf u w u w tPfu w tPf u w -'+"<-'+"

这说明罚金的比例和收到罚款通知单的可能性同比例增加，前者会使消费者的效用更

低，所以罚金按比例增加在防止非法停车方面更有效。

4．在固定收益率为r 的资产上投资*w 美元，可以在两种状态时获得()*1w r +；而在风险资产上的投资在好日子收益为()*1g w r +，在坏日子为()*1b w r +（其中g b r r r >>）。通过上述假定，风险资产上的投资就可以在状态偏好的框架中被加以研究。

（1）请画出两种投资的结果。

（2）请说明包含无风险资产与风险资产的“资产组合”怎样可以在你的图中得到显示。你怎样说明投资在风险资产中的财富比例？

（3）请说明个人对于风险的态度会怎样决定他们所持有的无风险资产与风险资产的组合。一个人会在什么情况下不持有风险资产？

答：（1）两种投资的结果如图5-1所示，A 点是将全部财富都投入到风险资产时收益率状态，B 点是将全部财富投入到无风险资产时收益率的状态。线段AB 表示把总资产在风险和无风险资产上各投资一部分时的资产组合的收益的状态。

图5-1 两种投资的结果

（2）连接AB 的线即资产组合线。

设C点表示一种投资组合，则BC

AB

表示投在风险资产比例，

AC

AB

表示投在无风险资产上的比例。现证明如下：

设C点坐标为()()

(

)

1,1

A B A B

x x y y

αααα

+-+-，即α是C点投在风险资产上的比例。

()()

()()

22

22

11

A B B A B B

A B A B

BC x x x y y y

x x y y AB

αααα

αα

=+--++--

????

????

=-+-=

即

BC

AB

α

=，表示投在风险资产上的比例；则1

AC

AB

α

=-，表示投资在无风险资产上的

比例。

（3）对于风险厌恶者而言，他有可能在风险资产上进行部分投资，如图5-2所示；也有可能把他的财富全部投资于风险资产，如图5-3所示。需要注意的是，这种情况并不和投资者是风险厌恶的假设矛盾，因为出现这种情况就说明该投资者的风险承受能力较强或者风险较小（即坏情况下的收益率也不会比无风险情况下低太多）；也有可能把所有的资产投资于无风险资产，如图5-4所示，这些都取决于其效用函数的具体形式。对于风险中性者和风险偏好者也有类似的结论。

图5-2 风险资产和无风险资产各投资一部分图5-3 只在风险资产上投资

图5-4 只在无风险资产上投资

5．假设本章第4题中的资产收益要上缴税收。请说明（用文字）：

（1）为什么对财富按比例征税不会影响配置在风险资产上的财富比例。

（2）假定只有从安全资产中获得的收益才按比例交税。这会怎样影响风险资产在财富

中的比例？哪些投资者可能受这样一个税收的影响最大？

（3）如果所有的资产收益都要按比例交收入税，你对（2）的回答会怎样变化？ （注意：这个问题需要计算能导致税后效用最大化的财富的税前配置）

答：设投资者的效用函数为()u w 。设g w 为投资者在好的状态下的财富，b w 为坏状态下的财富，设投资者认为有P 的概率出现好的状态。

设[]0,1λ∈为风险资产在投资组合中所占比例。由题意知，投资者决定λ是以u 的最大化为标准。即：()[0,1]

arg max ,u w λλλ*∈∈，因此，λ必须满足：

()d /d 0u λ?= ①

又

()()()()

()()()()()()(),1 1111111g b g b u w Pu w P u w Pu r w r w P u r w r w λλλλλ***

**=+-????=++-++-++-+????

代入①式得：

()()d d 1d d g b b g u w w r r

P k u w w

P r r

--=-

?=- ② 现在证明()()d d d d g b u w w u w w

是λ的单调函数。

若()0u w '>，()0u w ''< ③

那么，如果有j i λλ>，则有()()j i g g u w u w λλ????>????，()()j i

b b u w u w λλ????

由假设③式知，必然有

()()()()d d d d d d d d j

i

g g j i b b u w w u w w u w w

u w w

λλλλ????????>

????????（即为λ的单调递增函数），也就

是说，等式②决定了唯一一个最优风险资本比例λ。

如果k 值并不在

()()d d d d g b u w w u w w

的值域内，事实上就说明，投资者将选择纯风险投资，即

1λ=，如果1k =，那么，投资者将选择1λ=。

（1）设对财富按比例征税的税率为w t ，则有：

()()()()()()

()(),,d d 1d d d d 1d d d d d d w

w

g t w

g g w g g b t u w w t u w w u w w t u w w

u w w

u w w -==

-

而仍然对应原有的风险资产比例λ，风险资产的比例不变。 （2）设对安全资产的收益按比例征税的税率为s t ，则有：

()(),,d /d 11d /d s s

g t b s

s b g

s s b

b t u w w

r r t

rt r r

P P k P r r t rt P r r u w w

-++---=->-=-++-g g

所以，如果考虑对安全资产的征税，风险资产比例λ应该增加，这对只投资无风险资产的投资者的影响最大。

（3）设对安全资产的收益按比例征税的税率为s t ，对风险资产按比例征税的税率为r t ， 则有：

(

)(),,,,d /d 1d /d s r s r

g t t b r g r s s g

r

g r s s

b t t u w w

r r t

r t t rt P P r r t r t t rt u w w

---++-=----++g

如果0r g r s s t r t t rt --++>，那么最优风险资产比例λ应该上升；如果0r g r s s t r t t rt --++<，那么最优λ应当下降；如果0r g r s s t r t t rt --++=时，最优λ应当保持不变。

6．某消费者的效用函数为()120101

,u c c c c =。这里0c 表示其在时期0的消费开支，1c 代表其在时期1的消费开支。银行存贷利率相等且为r ，该消费者在0t =期的收入为060I =，在

1t =期的收入1100I =。

问：如果0r =，他该储蓄还是借贷？ 如果1r =，他该储蓄还是借贷？

答：跨期决策的消费者的效用最大化问题为：

01

1201

1100max 100

60111c c c

c I c I r r s t r

+=+=+

+++..,c

构造该问题的拉格朗日函数：

1

1201

01006011c L c c c r r λ?

?=++-- ?++?

?

拉格朗日函数分别对0c 、1c 和λ求导得：

1

210

0L

c c λ?=-=? ① 120111021L c c c r

λ-?=-=?+ ② 10100

60011c L c r r

λ?=+--=?++ ③ 由上述三式解得：()02004031c r =++，()1100

2013

c r =++。

下面分情况讨论： （1）如果0r =，0200

40106.67603

c =+≈>，所以消费者会借贷。 （2）如果1r =，0100

20273.33603

c =

+?≈>，所以消费者还是会借贷。

7．一个人拥有固定财富（w ），并把它分配在两时期的消费中，个人的效用函数由下式给出：

()12,u c c

预算约束为：

()12/1w c c r =++

这里，r 是单期利率。 （1）证明如果个人在此预算约束下要最大化其效用，则他应当选择1MRS r =+（1c 对2c ）时的1c 与2c 的组合。

（2）证明20/c r ??≥，但是1c r ?的符号不确定（假设两期的消费会随着收入的增加而增加）。

证明：（1）跨期决策的消费者的效用最大化问题为：

()

12

122

1max ,1c s c c w

t u c c r

+=.+.，c 构造该问题的拉格朗日函数：

()()212121,,,1c c c u c c w c r ψλλ?

?

=+--

?+?

?

从而解得：

121

2

1c c u r MRS u '=+='，。 故如果个人在此预算约束下要实现最大化其效用，他应当选择1

2

,1c c MRS r =+时1c 与2

c 的组合。

（2）如果令1

1p r

=

+，那么跨期决策的消费者效用最大化问题就是： ()

12

1212.m x .a ,c c s t u c c c pc w

+=，

则第二期消费2c 可以表示为p 、w 的函数，记为()2,c p w ，利用斯拉茨基方程，可知：

222

2c h c c p p w

???=-??? 假设

2

0c w

?>?，即第二期的消费会随着总收入的提高而增加，那么由于替代效应为负，即

20h p ?

222

1

101c c r p r ??=->??+。 同理

()()

1121

11c c r p r ??=-??+，对1c p ??利用斯拉茨基方程有1111c h c c p p w ???=-???，由于交叉替代效应

1h p ??的符号不能确定，所以即使假设收入效应为正，也不能确定1c p ??的符号，所以1c r

??的符号也不能确定。

8．一个人寿保险推销员说：“在你这个年纪购买一张美元终身寿险保单比一张定期保单要好很多。持有终身寿险保单，你只在前4年里每年支付2000美元，但在你生命的以后