数学思想方法及其教学建议

摘要：数学思想方法是数学的灵魂，本文论述了数学思想及数学思想方法的概念和特征，并结合《数学课程标准》的要求，通过高考与数学思想方法的内在联系，提出了在数学教学中渗透数学思想方法的建议，从而进一步明确了数学思想方法的本质地位。

关键词：数学思想，数学思想方法，数学课程标准，高考

数学思想方法是数学的灵魂。引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高学生思维水平，真正知晓数学的价值，建立正确的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证。

一、对数学思想方法的认识

数学思想是数学中的理性认识，是数学知识的本质，是数学中的高度抽象、概括的内容，它蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中，直接支配着数学的实践活动。数学方法是解决问题的策略与程序，是数学思想具体化的反映。从这一意义上来讲，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为，数学思想对数学方法起着指导作用，是数学结构中的有力支柱。数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中抽象、概括、提炼的数学观点，是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。掌握好数学思想方法能对数学知识本质的认识不断深化，在解决问题过程中减少盲目性，增加针对性，提高分析问题和解决问题能力都具有本质性、概括性和指导性的意义。

数学思想方法具有层次性，第一层次是与某些特殊问题联系在一起的方法，通常称为“解题术”；第二层次是解决一类问题时采用的共同方法，称为“解题方法”；第三层次是数学思想，这是人们对数学知识以及数学方法的本质认识；第四层次是数学观念，这是数学思想方法的最高境界，是一种认识客观世界的哲学思想。具体来说，数学思想方法主要表现在以下三个方面：一是常用的数学方法，如配方法，换元法，消元法，待定系数法等；二是常用的数学思想，如集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想、极限思想等。三是数学思想方法，如观察与实验，概括与抽象，类比、归纳和演绎等。数学思想与方法包括数学一般方法、逻辑学中的方法（思维方法）和数学思想方法三类。数学一般方法又包括配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等；逻辑学中的方法（思维方法）包括分析法、综合法、归纳法、反证法等；数学思想方法包括函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等。

二、《数学课程标准》的要求

数学思想方法的本质地位，决定了其成为《数学课程标准》的核心。在《数学课程标准》中，一方面在课程的理念、目标中，明确提出了对数学思想方法的要求。另一方面，在课程内容标准中，对数学思想方法的要求几乎渗透到每一个模块和专题中，同时在实施建议部分也作了相应的要求。

《全日制义务教育数学课程标准》的总体目标第一条便是：获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以

及基本的数学思想方法和必要的应用技能。在教材编写建议中，明确提出：重要的数学概念与数学思想宜体现螺旋上升的原则。

《普通高中数学课程标准》（实验）在理念部分提出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动是学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的数学思想方法……过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评价……”。

《标准》（实验）在总的要求中提出“必修课程的呈现力求展现出由具体到抽象的过程，努力体现数学知识中蕴含的基本数学方法和内在的联系，体现数学知识的发生、发展过程和实际应用”，此外还结合相关的内容提出了具体的要求。如《标准》（实验）对【函数】的学习要求是，学生应感受函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，应理解掌握如何运用函数来刻画现实世界中变量之间相互依赖的关系，“函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”，学生将学习“初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题”。【算法】是《标准》（实验）新增加的内容，把算法思想作为构建高中数学课程的基本线索之一，不仅在很大程度上改变了传统课程内容的设计，而且更多的是希望通过有关知识的学习，使学生感受其中的思想和方法。在选修内容中，如在【数学史选讲】专题中，《标准》（实验）要求“内容应能反映数学发展的不同时代的特点，要讲史实，更重要的是通过史实介绍数学的思想方法，使学生体会数学的重要思想和发展轨迹”。

《标准》（实验）在教学建议中指出，教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，像函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。

三、高考与数学思想方法

近年来，高考的每一道数学试题几乎都考虑到数学思想方法或数学基本方法的运用，目的在于加强这些方面的考查。同样，这些高考试题也成为检验数学知识和数学思想方法的极好素材。

2005年理科《考试说明》要求：“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查”；“数学思想和方法是数学知识在更高层次的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中，因此，对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度。考查时，要从学科整体意识和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度”。

《2004年普通高考数学试题评价报告》要求：“数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种‘工具’或者‘方法’，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想。高考数学科提出‘以能力立意命题’，正是为了更好地考查数学思想，促进数学理性思维的发展。……”；《2005年普通高考数学试题评价报告》要求：“要加强如何更好地考查数学思想的研究，特别是要研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的试题的协调和匹配，使考生的数学理性思维能力得到较全面的考查”。

教育部考试中心对《数学与复习》的建议指出：“数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次，具有观念的地位，如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决”；“数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时又应该领会它们在形成知识中的作用，到了复习阶段应该对数学思想方法和数学基本方法进行疏理，总结，逐个认识它们的本质特征，思维程序或者操作程序，逐步做到自觉地，灵活地施用于所要解决的问题。”

在这样的指导思想下，高考中涉及或者需要用到数学思想方法的题目比比皆是，如：

1、2005年全国卷考题：已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx。

（1）求函数f（x）的最大值；

（2）设0

2、2004年上海卷考题：已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8。f（x）=f1（x）+f2（x）。

（1）求f（x）的表达式；

（2）证明：当a>3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解。

3、2007年山东卷考题：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

从2007年高考全国及各省市24份试卷中的最后两道把关题来看，其中的三分之二是由递推公式求通项公式的试题，主要用到了化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、函数与方程思想等数学思想。

高考对于数学思想与方法的考查，往往是与数学知识的考查结合进行的。通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度。作为教师，要从学科整体意识和思想含义上立意，帮助学生研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的试题的协调和匹配，使学生的数学理性思维能力得到全面的提高，以不变应万变。

四、在数学教学中渗透数学思想方法

综合英国的“Cokcroft报告”，美国数学教师协会(NCTM)的《课程标准》以及德国、日本和新加坡的《数学教学大纲》等对学生数学素质的描述，知识观念层面非常引人注目，即使学生能用数学的观念和态度去观察、解释和表示事物的数量关系和空间形式以及数据处理，以形成量化的意识和良好的数感。由此可见，各国都把培养学生掌握一定的数学思想方法放在十分重要的位置。著名数学教育家波利亚的调查研究表明，数学思想方法比形式化的数学知识更有普遍性，在学生未来的工作和生活中有更加广泛的应用。根据前苏联教育家克鲁捷茨基的实验所得到的概括化理论和有能力学生的遗忘曲线图可以说明，高度概括的内容，能够使得学生铭记终生。而数学思想方法是高度抽象、概括的，所以学生一旦掌握了数学思想方法，就能长久予以保持。布鲁纳说得好：掌握基本数学思想

和方法，能使数学更易于理解和更易于记忆。在数学基础上强化数学思想方法的教学是数学教学改革的必由之路，是实现数学教学面向全体学生的有效措施。

然而，反顾当前的数学教学，对数学思想方法教学缺乏意识是一个普遍存在的问题。主要表现为：(1)制定教学目的时对具体知识技能训练重难点的教学要求比较明确，忽视数学思想方法的教学要求；(2)教学时，往往注重知识结论的传授，忽视知识形成过程中数学思想方法的训练；（3）知识应用时，往往偏重于就题论题，忽视数学思想方法的揭示与提炼。(4)小结复习时，只注重知识体系、知识网络的整理，忽视数学思想方法的归纳与提高。凡此种种，至使数学教学停留在较低的层次上。针对这些问题，这里提出几点个人的想法。

1、在基础知识的教学中渗透数学思想方法

在知识形成阶段，可渗透观察、试验、比较、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法。如字母代替数的思想方法、函数思想方法、方程思想方法、极限思想方法、统计思想方法等等。比如，绝对值概念的教学，初一代数是直接给出绝对值的描述性定义，学生往往无法透彻理解这一概念。为此我们可以用刚刚所学过的数轴这一直观形象来揭示“绝对值”这个概念的内涵，从而能使学生更透彻、全面地理解这一概念，从中渗透数形结合的数学思想。同时，基础知识的教学要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。如讨论直线和圆锥曲线的位置关系时的两种基本方法：一是把直线方程和圆锥曲线方程联立，讨论方程组解的情况；二是从几何图形上考虑直线和圆锥曲线交点的情况，这种利用数形结合的思想方法，使得问题清晰明了。

2、在解题教学中渗透数学思想方法

美籍数学家哈尔莫斯认为，问题是数学的心脏。在中学数学教学中，数学教师离不开指导学生怎样解决问题，学生更离不开解题。正如波利亚强调的“中学数学的首要任务就是加强解题训练。”他说：“掌握数学就意味着善于解题。”在其所著的三本名著《数学发现》，《数学猜想》，《怎样解题》中，就明确指出了类比思想、归纳思想、随机思想等在解决数学问题中的作用。数学思想不仅是数学的灵魂，而且是解数学题的锐利武器，强调和渗透数学思想方法对于解题教学是至关重要的。比如，“二次根式的加减运算”是一个教学难点，为了突破难点，就要运用类比思想、整体思想、化归转换思想方法寻找解决问题途径，采用类比“整式的加减运算”的手段，构造出具体形象的数学模型，从而进行猜想、推理、研究，实现从未知到已知的转化。在解题教学中，还应适时采用一题多解，多题一解的教学方法，将蕴含其中的数学思想方法明确化，使学生掌握其中规律，进而使学生的认识能力得到提高，产生飞跃。

3、在复习教学中渗透数学思想方法

在复习时，特别是对章节复习或总复习时，要将统领知识的数学思想方法概括出来，增强学生对数学思想的应用意识，从而有利于学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析、解决问题的能力。具体来讲，要及时地对某种数学思想方法进行概括和强化，对它的名称、内容、规律、运用等有意识地点拨，不仅可以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律，而且可使学生逐步体会数学思想方法的精神实质。比如，在数、式复习中，从用字母表示数，到用字母表示未知元、表示待定系数，到换元、设辅助元，再到用f(x)表示式、表示

函数等字母的使用与字母的变换，是一整套的代数方法，此外，待定系数法、根与系数的关系，乃至解不等式、函数定义域的确定、极值的求法等等，都是字母代替数的思想和方法的推广。又如，《数列》这一章，体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本的数学方法，复习小结时可配合知识点和典型例题予以强化。

必须指出，人们认识事物是从特殊到一般，从具体到抽象，从低级到高级，从感性到理性的螺旋式递进的过程。同样学生对数学思想方法的认识也都是在反复接触、理解和运用中形成的。比如，分类讨论的思想，几乎每一章都会涉及到，因此，在平时的教学中要注意到这种反复性，同一种思想方法在这一章出现了，在下一章可能还会出现，教师就要用统筹的观点，有意识让学生在这种反复接触、理解、运用、体验中不断加深对这种思想方法的认识和掌握，提高和升华。

总之，加强数学思想方法的教学有利于培养学生的数学素质，有利于提高学生的创新能力，有利于数学课堂教学优化。