基本不等式求最值的类型及方法,经典大全

专题：基本不等式求最值的类型及方法

解析：y x 1 2(x 1) (x

2(x 1)

1)

2(x

L 2LJ 2

1(x 1)

2 2

2(x 1)

、几个重要的基本不等式:

①a 2

b 2 2ab

ab

a 2

b 2

(a 、 x 1 x 1

33

立; b R),当且仅当a = b 时，“=”号成立;

2

2(x 1)

③a 3 成立? 注: 二、函数 b 3

2 ab ab

2

(a 、

当且仅当

b R )，当且仅当a = b 时，“=”号成立;

2(x

2(x 1)2

1)即x 2时，“ 5

”号成立，故此函数最小值是 -

2

3

c 3

3abc abc — b 3

c

3 3

-(a 、 b

、

R )，当且仅当a = b = c 时，“=”号成

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。

类型n ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：

3

3

----- abc , b c 3v abc

abc ---------------- (a 、

3

① 注意运用均值不等式求最值时的条件:

② 熟悉一个重要的不等式链: ab

f(x) ax b (a 、 x 0)图象及性质 (1)函数 f (x) ax a 、 0图象如图: (2)函数 f(x) ax a 、

0性质:

①值域: ,2 ab] [2 ab,);

R ),当且仅当a = b = c 时，“=”号

定 、三 等 ;

2 2

a b J --------------

2

①y

x 2

解析：①Q 0

?- y

(3 2x)(0 x

x - ,? 3

2 当且仅当 2

. 4

2

y sin x cos x

当且仅当 故此函数最大值是

(3 2x)(0

②单调递增区间：( );单调递减区间:

:],

(0,

］

，

,0).

2x

x 3 2x 即 x

,?? sin x

2

sin 2

x sin 2

x .2

sin x 2

② y sin xcosx(0 x ) 2

3

x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ]

1 ,

2

3

1时，“=”号成立，故此函数最大值是 1

。

0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。

coSx 2cos x (0

1 2 2 2

(sin x sin x 2cosx)

2

1 sin

2 x sin 2x 2co^ x 3

4

二 -------- —)

刃 tan x 2，即

x arctan^^ 时“=”号成立,

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要

通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。

4

x —

x

例 3、若 x 、y R ，求 f (x) (0 x 1)的最小值。

三、用均值不等式求最值的常见类型

类型I ：求几个正数和的最小值。

解法一：(单调性法)由函数

f(x)

K

ax 一(a 、b 0)图象及性质知，当

x (0,1］时，函数

x 例1、求函数y x 1

2(x 1)的最小值。

2(x 1)2

f (x) x -是减函数。证明:

x

任取

X 2

(0,1]且 0 禺

X 2 1，则

f (X i )

4 4 f (X 2) (X 1 X 2)(

)

X 1 X 2

(X 1 X 2) 4 空上 X-|X 2

(X i

X 2)^?，

X 1X 2

当且仅当X 8即X

X 8

12,此时y

号成立，故此函数最小值是 1&

■/ 0 X-

I X 2 1 ,??? X 1

X 2 0,空「

X-|X 2

0，则 f(X i ) f(X 2)

f (X i ) f (X 2),

解法三：（三角换元法）令 解法

f(X) X -在（0,1上是减函

数。

X

故当X 1时，f （X ） -在（0,1上有最小值5。

X

（配方法）

0 X 1，则有 f (X )

则：X 2y 「

sin X 2

2~

cos X

8csc ? sin

则有

2

cos X

2

X 2sec X

8(1

8 ~ 2 sin X 1 2

cos X

2 2 2

cot X ) 2(1 tan X ) 10 8cot X 10 2 (8cot X ) (2tan 2 X )

18,易求得X

12,此时y 3时“=”号成立，故最小值是

2

2ta n X

1&

2 .

X 0且单调递减，则f （x ）

.X ）2 4在（0,1］上也是减函数, 即 f (X ) X 4

—在（

0,1上是减函数，当X 1时，f （x ） X -在（0,1上有最小值5。

X X

解法三：（拆分法） 4 1 3 f(X ) X (0 X 1) (X ) 2 X 1 3 5 ,

X X X V X 1

当且仅当 X 1时“=”号成立，故此函数最小值是 5。 易知当0 X 1时, 评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法 也是较为简洁实用得方法。 类型W:条件最值问题。 8 例4、已知正数X 、y 满足一 X -1，求X 2y 的最小值。 y 评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:

8 1 8 1

X 2 y （ ）（X 2 y ） 2!- 一 J x 2y 8。原因就是等号成立的条件不一致。

X y X y

类型V ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x 、y 满足xy X y 3，试求xy 、X y 的围。 解法一：由X 0, y

0 ,则 xy X y 3 xy 3 X y 2 xy ,

解法一：（利用均值不等式） X 2y 8 1

X 16y

( )(X 2y) 10 - X y

y X

18,

解法

当且仅当 X y 即X 12,y

3 时“:

=”号成

立,

X 16y

y X

8 1 X

（消兀法） 1得 y 由y 0

X y

X 8

2X

2(X 8] 16 c 16 , c 、 16 X X

X 2 (X 8)

X 8 X 8

X 8 X 8

8 1 1

故此函数最小值是 X 2y

10 2 (X — 0 又 X 0 X 8

1&

X 8，则

即(xy)2 当且仅当

当且仅当X 解法二：由

则:

则：xy

当且仅当

0,y

2 xy

3 0 解得xy

y 且xy X y 3 即 X X xy (—2

y 且xy X

0 , xy

，由

y 3时取“=”号，故xy 的取值围是［9, y )2 (X y)2

4(X y) 12 0 X

3时取“=”号，故X (X 1)y

y

2(舍)或x

y 的取值围是［6, 8) ；6

8 10 1& X 2 3X X 1

G (X

(X 1)2 5(X

1) 4

(X 1)

4

(X 1)

X 1

0)即X

3，并求得

3时取“=”号，故xy 的取值围是 [9,

(X 1)

X 41

4

1 (X 1)

「1 2

)0

6 ,

)0

9 ,

)0

2 6,

当且仅当x 1 —(x 0)即x 3，并求得y 3时取“=”号，故xy 的取值围是［9,)。 x 1 评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析： 9

当且仅当2x 2

x

，即 36 x —岀时等号成立，所以当 x

2

y

min

3 36。

x 4 x 9

例1.求函数y ------------------------- -- 的最值。

x

例3.

x 2

5 x 2 4(x

R)的最小值。

错解：y 2

x 13x

36 —

36 一 c ■'

36

“

13 x

13 2、x

25

x

x

V x

6时，y 的最小值为 错解:

当且仅当x

36即x

6时取等号。所以当 x 25,此函数没有最大值。 分析: 忽视了取最小值时须

x 2

分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。 所以y min 2

x 4 x 9

因为函数y 的定义域为

，所以须对x 的正负加以分类讨论。 正解: 1)当x 0时,

y 13 36 13 厂

I 2. x 36 25 当且仅当x 6时取等号。

所以当 6 时，y min 25

成立的条件, 4

而此式化解得

x 2

3，无解，所

2

)当x

时,

x c 36门 0， 0，

x

x

36

y 13 [(x)

( )]13 12 1

36 x

当且仅当

x

即x 6时取等号, 所以当

x 9

2的最小值。

例2. 当x 0时，求

y 4x

x

错解： 因为x 0，y

4x 9 …

9 2 2

4x 2

6 ■- x

x

x

36

分析: 所以当且仅当4x

39

时,

.4

6

y min

—

时,

23

18 。

36 x

12

x

y max 13 12 1.

用均值不等式求“和”或

“积”

9

而上述解法中4x 与二

x

的最值时, 必须分别满足 “积为定值” 或“和为定值”，

的积不是定值，导致错误。 正解：因为x 0，y 4x 2x 2x

3

9 3

2x 2x

2

\

x

33 36

以原函数y 取不到最小值2。

一2

1

正解：令 t . x 4 t 2，则 y t - (t 2)

1

5

又因为t 1时，y t ［是递增的。所以当t 2，即x 0时，y min

1 4

例4.已知x, y R 且 1，求u x y 的最小值.

x y

错解:

u x y 2 xy 8, u 的最小值为8.

分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为 正解：u (x y)(」

—) 5经 丿5 4

9

x y y

x

时成立，故取不到最小值 8.

-

-和x y ，而这两个式子不能同

x y

4x

当且仅当竺

即x 3, y 6时等号成立.

u 的最小值为9

y x

综上所述，应用均值不等式求最值要注意：

一要正：各项或各因式必须为正数；

二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式 子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。 技巧一：凑项

例1 :已知 x 5，求函数y 4x 2

1

的最大值。 4

4x 5

解：因4x 5 0,所以首先要“调整”符号，又

(4x 2)g

1

§不是常数，所以对 4x 2要进行

拆、凑项, 当且仅当5 4x 5

,5 4x 0， y 4x 2 4

1 ，即x 1时，上式等号成立，故当

5 4x

1

5

4x 5

X 1 时，y max

技巧二：凑系数 例2.当

时，求y x(8 2x)的最大值。

解析：由 「?二知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到 2x (8 2x) 8为定值，故只需将 y x(8 2x)凑上一个系数即可。 A = ^(8-2X )气［2工?(E - 2巾 < 女骚亠:一吟

-8 当二 —，即x = 2时取等号 当x = 2时，y x(8 2x)的最大值为8。 技巧三：分离 2

x 2

7x 10 例3.求y (x 1)的值域。 x 1 解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(

x + 1 )的项，再将其分离。 —+ 5)

，牛上+心季+屮=(小)

X + 1 9 (当且仅当x = 1时取“=”号)。

技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元, 4 t

(t 1)2 7(t 1)+10 _t 2 5t 4 丄 — t 技巧五：在应用最值定理求最值时, x 2 5 例：求函数y 的值域。 4xx r

l t =x +1,化简原式在分离求最值。

2

4

当 T ,即 t =，_ 1 时，y (当t =2即x = 1时取“=”号)。

a

若遇等号取不到的情况， 应结合函数f(x) x 的单调性。

x

解：令-x 2

4 t(t 2)，则 y 二 5

^x r ~4

x 2 4

1 1

—2

t

；(t 2)

.x 2

4

t

因t 0,t 1

1，但t 1

-解得t

t

1不在区间2,

，故等号不成立，考虑单调

性。

1 5

因为y t -在区间1,

单调递增，所以在其子区间

2, 为单调递增函数，故 y —。

t

2

5 所以，所求函数的值域为 ， 。 2

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，

要注意取等号的条件的一致性

2 :已知x 0, y 0，且- x 1

解：Q x 0, y 0

x

y 当且仅当2

x

巩固练习:

1、已知： x 2

(A) . ab 2、若 a, x, y

否则就会出错。。

-1，求 x

y

y 的最小

值。

16

9x —时, y

上式等号成立，又

a, m 2 n 2

可得x 4, y 12时,

b ，贝U mx ny 的最大值为()

￥ min 16 o

b 2

，且x y

(B)

(C)

2 2

a b

t

-----------------

2

(D) (A) 2. 2

(B)

2

(C)2 (D)1

3、已知下列不等式： ①x 3 3 2x(x R );② a 5

b 5 a

3b 2

a 2

b 3(a,b

R )；

③a 2 b 2 2( a

b 1).其中正确的个数是()

(A)0 个 (B)1

个 (C)2 个 (D)3 个

4、设 a,b R ，则下列不等式中不成立的是 ()

(A) (a

1 1

b)(—-) , a 4 (B) 2 b2 —— 2. ab (C)

“ ab

1 2 (D)

2ab

a b

ab

ab

a b

5、设 a,b R 且2a b 1,S 2, ab 4a

b 的最大值疋 ()

、.2 1

f -

■- 2 1

(A) i 2 1

(B)

(C)

.. 2 1 (D)

y 恒成立，则 a 的最小值是()

6、若实数 (A)18

7、若正数 8、若 x, y

知识点: 1. (1)若

a, b 满足a

(B)6

a, b 满足ab

R ,且2x

a,b R ，则

时取“=”)

则3a (C)

a

3, 1 则_

x

'3b 的最小值是

2 3

则ab 的取值围是

1

的最小值为 ___

y

(D)

基本不等式

2 2

b 2

2ab (2)若 a,b R ，则 ab -- 2

(当且仅当 a b

* a b _____ * i—

2. (1)若a,b R,则ab⑵若a, b R,则a b 2、ab (当且仅当a b时取

2

“=”)

2

(3)若a,b R*，则ab (当且仅当a b时取“=”)

2

1

3. 若x 0，则x 2 (当且仅当x 1时取“=”)

x

1

若x 0 ,则X — 2 (当且仅当x 1时取“=”)

x

解：因4x 5 0 ,所以首先要

行拆、凑项，

Qx

害

当且仅当5

“调整”符号，

又

(4x 2)^^_不是常数,所以对4x 2要进

5 4x

1

4x 2 -

4x 5

1

5 4x

5 4x

4x 即x 1时，上式等号成立，故当x1

时,

y

max

1°

若x0,则1

x — x 2即x1

x

2或x--2 ( x当且仅当a b时取“=”)

4.若a

b

0 , 则 a b2(当且仅当 a b时取“=”)若ab 0，则

b a

a b2即a b2或a b-2 (当且仅当 a b时取=)

b a b a b a

5.若a, b R，则(a b)2 a 2 b2

-(当且仅当a b时取“=”)

2 2注意: 技巧二：凑系数

例：当时，

解析：由知，"一匸，利用均值不等式求最值,

两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x)

上一个系数即可。

尹=(8 - 2x)] < *〔

技 + ：-2丫

=

g

当「「，，即卩x = 2时取等号当x = 2时，y x(8

求y x(8 2x)的最大值。

必须和为定值或积为定值,

8为定值，故只需将

此题为

x(8 2x)凑

(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值,

当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.

(2) 求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

2 1 (1) y=3x + 百

1

(2) y=x + x

变式：设0

解：???

当且仅当2x

2x)的最大值为&

2解：(1)y = 3x

(2)当x> 0 时,

1

y= X + x A

1

+ 2x 2

1

2x^ =J6 ?值域为[Q6 , +a)

1

x x = 2；

1 1 1

y = x + = —(—x —) < —2 x ?= —2 x x \ x

???值域为(—a, —2] U [2 , +s)

解题技巧当x v 0时,

技巧一：凑项

例已知x 5，求函数y 4X 2 1的最大值。

4 4x 5

求函数y

2x

2x,即

4x(3 2x)的最大值。

0 ?- y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 2亠2x

2

2

9

2

0,-时等号成立。

2

技巧三：分离

技巧四：换元

x2 7x 10 例：求

y (x

x 1

1)的值

域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有( x+ 1 )的项，再将其分离。

45

x 1

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令

2 2

(t 1) 7(t 1)+10 t 5t 4 4

y = ------------- t —5

t t

9 (当且仅当x= 1时取“=”号)。

t=x + 1 ,化简原式在分离求最值。

16

当-… 1 ,即t=，一 1 时，y 2 t 4 5 9 （当 t=2 即 x = 1 时取“=”号）。

技巧七

2

例：已知x , y 为正实数，且 X + : = 1，求x 1 + y 2的最大值.

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数 a

f (x) X —的单调性。

X

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab w

x 2 5 例：求函数y 的值域。 7X ^4 同时还应化简J 1 + y 2

中y 2

前面的系数为

x "

解：令.X 2

4

t （t 2)，则

x 2 5 x 4

X 2 4

1

I t t

（t 2）

1亠y X ? 2 + 2

\2 2 下面将X ,

2

分别看成两个因式:

因 t 0,t 1

1， t 1 因为y t 在区间 t 1,

所以，所求函数的值域为 技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时， 例：已知X 0, y 0，且 错解：Q

X 0, y 0 X y min

12 。 1不在区间2,

，故等号不成立，考虑单调性。

单调递增，所以在其子区间

2, 为单调递增函数，故 y

1 2 +

1 y 2

%

-I- -- 2 +

2

技巧八：

要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

9

1，求x y 的最小值。

错因：解法中两次连用均值不等式, 1

号成立条件是- 9

2 xy

2

Xy 12 故 在x y 2 xy 等号成立条件是

-即y 9x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此, y 2 xy 等 在利用均值不等式处 理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：Qx

0,y 0,1

-

x y

当且仅当

处 时，上式等号成立，又

y x

9x

10 6 10 y

可得

4, y 12 时，x

y min 16。

2

X + w ——

/

2~

2 + V 2 ） 2

2

2

x + y 2

~2

2 ?x

已知a , b 为正实数，2b + ab + a = 30，求函数y =命 的最小值?

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题， 再用单调

性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本 题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等 式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

2

、丄 30- 2b 30 - 2b — 2 b + 30b 法一: a = ,

ab = b =

b +1 b +1 b +1

由 a > 0 得，0v b v 15

2

—2t + 34t — 31 16 16

■ 16

令 t = b +1, 1 v t v 16, ab =

4 =— 2 (t +— )+ 34 v t + , >2 t ?

= 8

t t t

V t

1

??? ab w 18 ??? y > — 当且仅当t = 4,即b = 3, a = 6时，等号成立。

18

法二：由已知得：30 — ab = a + 2b v a + 2b >2 2 ab ? 30 — ab >2 2 ab 令 u='J ab 贝y u + 2 2 u — 30W 0, — 5 2 w u w 3 2

—— - 1

ab w 3 2 , ab w 18,「. y >佗

a b

1

—

点评：①本题考查不等式

ab (a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力；

②如何由

2

已知不等式 ab a 2b 30( a, b R )出发求得ab 的围，关键是寻找到

a b 与ab 之间的关

系，由此想到不等式

ab (a,b R ),这样将已知条件转换为含

ab 的不等式，进而解

2 得ab 的围.

技巧九、取平方

例：求函数y

2X ~1

5― ([ X -)的最大值。

2 2

解析：注意到2x 1与5 2x 的和为定值。

y 2 C ，2x 1

.5 2x)2

4 2 (2x 1)(

5 2x)

4 (2x 1) (

5 2x)

8

又y 0,所以0 y 2、2

当且仅当2x 1=5 2x ，即x -时取等号。

2

故『max

2 2。

应用二：利用均值不等式证明不等式

例：已知a 、b 、c R ，且a b

c 1。求证： 丄1

1 1 - 1 8

a

b c

分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“ 2 ”连乘，又

1

1 一 — 厘，可由此变形入手。 a a a a

1 1a b c 2. bc

1 .

2 ac

解：Q a 、b 、c R ， a b c 1 °

1

。冋理 1

■

a a a a

b

b

1 2 ab 1

。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

c

c

1

1 1 1 1 1 L_bc g 2_ac gL_ab 8。当且仅当 a b c -时取等号。 a b

c

a b c 3

应用三：均值不等式与恒成立问题

1 9

例：已知x 0, y 0且

1，求使不等式x y m 恒成立的实数 m 的取值围。

x y

1 1—

2 —。 k 16 , m ,16

k k

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若

----------- 1

a b 1, P . lg a Ig b,Q (Ig a Ig b), R

2

分析：??? a b 1 ?- lg a 0, lg b 0

解：令 x y k,x 0, y

0,1

x

x y 9x 9y 1 kx ky 10 k

y 9x kx ky

1 . ---------------------------------

Q - (lga lgb) lga lgb p

a b /— 1

R lg( ) lg . ab lg ab Q

2 2

??? R>Q>P

a b

lg

(〒)，则PQR 的大小关系是