泛函分析习题参考答案
一、设)
,(y x d 为空间
X 上的距离,试证:)
,(1)
,(),(~x y d x y d x y d +=
也是X 上的距离。 证明:显然
,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =?=?=0),(0),(~
。
再者,
),(~)
,(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=;
最后,由
t
t t +-
=+11
11的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤,可得 )
,(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++
++=+++≤+=
),(~),(~)
,(1)
,(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤
。
二
、设
1p ≥,1()()(,
,,)i n n p n x l ξξ=∈, ,2,1=n ,1(,
,,)p
i x l ξξ=∈,则
n →∞时,
1()1(,)0p
p n n i i i d x x ξξ∞
=?
?=-→ ???
∑的充要条件为)1(n →∞时,()n i i ξξ→,1,2,
i =;
)2(0ε?>,
存在
0N >,使得
()1
p
n i i N ξε∞
=+<∑
对任何自然数n 成立。
必要性证明:由1
()
1(,)0p
p
n n i i i d x x ξξ∞
=??=-→ ???
∑可知,()n i i ξξ→,1,2,i =。
由
1(,,,)p
i x l
ξξ=∈可知,
ε?>,存在
10
N >,使得
11
()2
p
p
i i N εξ∞
=+<∑
,并且
1
n N >时,
()
1
()2
p n p i i i εξξ∞=-<∑。 由此可得,
11
111()
()1
1
1p p p
p
p p
n n p i i i i i N i N i N ξξξξε∞
∞∞=+=+=+?????? ?≤-+< ? ? ???????
∑
∑∑对1n N >成立。
对于
11,2,
n N =,存在20N >,
2()1
p
n p
i i N ξε∞
=+<∑
。取
{}12max ,N N N =,则
()1
p
n p i
i N ξ
ε∞
=+<∑
对任何自然数n 成立。
充分性证明:由条件可知,
0ε?>,存在0K >,使得
()1
()2p n p
i
i K ε
ξ
∞
=+<∑
对任何自然数
n 成立,并且
1
()2
p
p i i K εξ∞
=+<∑
。
由
()n i
i ξ
ξ→可知,存在0>N ,使得N n >时,()1
K
p
n p i
i
i ξ
ξε=-<∑,并且
()()()1
1
1
(,)K
p
p
p
p
n n n n i i
i i i i
i i i K d x x ξ
ξξ
ξξξ∞
∞
===+=-=-+
-∑∑∑
11()()1
11()()2p
K
p
p p n n p p p i i
i i i i K i K ξξξξε∞∞
==+=+??≤-++< ???
∑∑∑。
三、在],[b a L p )
1(≥p 上定义距离:
()
1
(,)()()b
p
p
a
d x y x t y t dt
=
-?
,则在此距离诱导的
极限意义下,
)(t x n 收敛于)(t x 的充要条件为)1()(t x n 依测度收敛于)(t x ;)2({})(t x n 在],[b a 上具有等度绝对连续的积分。
必要性证明:由
0),→x x n (ρ,可得0>?σ,?
?≥--≥
-)
()()(σx x E p
n E
p
n n dt x x dt t x t x
)((σσ≥-?≥x x E m n p , ,2,1=n ,令∞→n ,可得0)((→≥-σx x E m n 。即)(t x n 依测度收敛于
)(t x 。
由
)(t x 的积分绝对连续性可知,对任何0>ε,存在01>δ,使得E e ?,1δ e p p dt t x 2 ))((1ε 。对上述 >ε,存在 0>N ,使得N n >时, ?<-E p p n dt t x t x 2 )()(1ε )(, 从而 ε <+-≤+-≤?????p e p p E p n p e p p e p n p e p n dt x dt x x dt x dt x x dt t x 11111 )()()()())(, 即 ε e p n dt t x 1))(,对 ,1,+=N N n ,成立。 对于 N n ,,2,1 =,易知存在02>δ,使E e ?,2δ (? p n dt t x ε)()。 取 ) ,m in(21δδδ=,则 E e ?,δ e p n dt t x 1))(,对每个自然数 n 成立。 即 {} )(t x n 在 ],[b a 上具有等度绝对连续的积分。 充分性证明:对任何 >ε,令 )()(εε≥-=x x E E n n ,则0)(→εn mE 。由此可知,对任何0>δ,存在0>N ,使得 N n >时,δε<)(n mE 。 令 )()(εε<-=x x E F n n ,则? ? -+ -= n n E F p n p n n p dt x x dt x x x x ),(ρ。此时, p E p p E p E p n p n n n n dt x dt x dt x x ?????? ?????+≤-1 1)()(, p F p n a b dt x x n ε?-<-? )(。 由积分的等度绝对连续性可知,对任何 >ε,存在 >δ,使得 E e ?,δ 2 ))(1ε < ? p e p n dt t x , 2 ))(1ε < ? p e p dt t x 。 对上述 >δ,存在 0>N ,使得N n >时,δε<)(n mE ,此时 p E p n n dt x x ?≤-ε)(。 于是对任何 >ε,存在 0>N ,使得N n >时,1 (,)(1)p n d x x b a ε≤+-?, 即 )(t x n 收敛于)(t x 。 四、 F 是距离空间 X 中闭集的充分必要条件为对任何F 中点列{}n x ,n x x X →∈,必有x F ∈。 必要性证明:对于 F 中点列 {} n x , n x x X →∈,若 x F ?,则c x F ∈,即 x 为开集 c F 的点,从而存在0>δ,使得 (,)c O x F δ?。由n x x →可知,存在0>N ,使得(,)c N x O x F δ∈?,这与N x F ∈矛盾。因而有x F ∈。 充分性证明:对于 F 中互异点列{}n x ,若n x x X →∈,则x F ∈,即F 的聚点在F 中。因此,对于任意c x F ∈,x 必不是F 的聚点,从 而存在 0>δ,使得 (,)c O x F δ?,因而 c F 为开集,即F 为闭集。 五、设 B 是度量空间 X 中闭集,试证必有一列开集 ,21n O O O ,, ,包含B ,并且 ∞ ==1 n n O B 。 证明:任取 ,2,1,1 == n n n δ,令 B x n n x O ∈=)(δ,则n O B ?,并且n O 为开集),2,1( =n 。任取 ∞ =∈1n n O x , 则存在B x n ∈,使得n x x d n 1 ),(< ),2,1( =n ,从而x x n →。由于B 为闭集,因而B x ∈,即有 ∞ ==1 n n O B 。 六、设 X 为距离空间, 21F F ,为X 中不相交的闭集,试证:存在开集21G G ,,使得 Φ=21G G ,11F G ?,22F G ?。 证明:由 Φ=21F F ,得0),(2111>∈?F x d F x ,,0),(,1222>∈?F x d F x 。 令 2),(,2),(122211F x d F x d ==δδ, 2 211)(,)(222111 F x F x x G x G ∈∈==δδ,则21G G ,分别为包含 21F F ,的开集。 假设210G G x ∈,则2 11220110,,),(,),(F x F x x x d x x d ∈∈<<δδ,但是 ),(2 ) ,(2),(),(),(),(211221200121x x d F x d F x d x x d x x d x x d ≤+<+≤是一个错误,故而 Φ=21G G 。 七 、试证: ∞l 是不可分的距离空间。 证明:设 (){ },1,0,,,,21=∈=∞n n l M ξξξξ ,则对于任何{}{}M y x n n ∈==ηξ,,当 y x ≠时, ,)sup 1n n d x y ξη=-=(。显然,M 与二进制小数一一对应,因而是不可数的。 假设 ∞l 是可分的,则存在可数稠密子集{}n y ,使得任何∞?∈l M x 的邻域)3 1 ,(x U 中至少包含一个n y 。对于任何两个不同的邻域 )31,(x U 、)3 1 ,(y U ,M y x ∈,,必有 Φ=)31,()31,(y U x U ,从而? ?? ???∈M x x U )31,(是一族互不相交的球,其总数是不可数的。因此{}n y 至少也有不可数个,这与{} n y 是可数的相矛盾。 (或:由 M l y U n ??∞)(3 1 , 以及 M 是不可数的,可知存在一个 )3 1 ,(n y U 包含M 中的两个不同点 y x ,。但 ,)1d x y =(,并且2 ,),)(,)3 n n d x y d x y d y y ≤+< ((,显然这是相互矛盾的。) 八、设X 为距离空间, A 为X 中的子集,令),(inf )(y x d x f A y ∈=,X x ∈,试证:)(x f 是X 上的连续函数。 证明:任取 X x ∈0,对于 X x ∈,有 ),(),(),(),(inf )(00x y d x x d y x d y x d x f A y +≤≤=∈,对一切A y ∈成立。 从而 )(),()(00x f x x d x f +≤,同理可得)(),()(00x f x x d x f +≤ 即有 ),()()(00x x d x f x f ≤-,从而)(x f 在0x 处连续。 因此 )(x f 是X 上的连续函数。 九、试证: T 是距离空间X 到距离空间Y 中的连续映射的充要条件为Y 中任何闭集F 的原像F T 1-是X 中的闭集。 必要性证明:设 F 为Y 中的闭集,任取{}1n x T F -?,n x x →,X x ∈,则n Tx F ∈。 由 T 的连续性可知,n Tx Tx →,从而Tx F ∈,即1x T F -∈。 充分性证明:设 X x ∈,任取{}n x X ?,n x x →。 假设 n Tx Tx →不成立,则存在00ε>和子列{} k n x X ?,使得0(,)k n d Tx Tx ε≥。 令 {}0(,)F y d y Tx ε=≥,则{} k n Tx F ?,并且 F 为Y 中的闭集,从而F T 1-是X 中的闭集。 由 1k n x T F -∈,k n x x →可得, 1x T F -∈,即Tx F ∈,由此可得 00(,)0d Tx Tx ε=≥>,这一矛盾说明, n Tx Tx →,即为连续映射。 十 、试证: p l )1(≥p 是完备的距离空间。 证明:对于任何基本列 {}p n x l ?: 1()() ()2(,,,,)i n n n n x ξξξ=, ,2,1=n ,有0ε?>,存在0N >, ,m n N >时, ()()1 p n m p i i i ξξε∞ =-<∑。从而对于每个1,2, i =, {} () n i ξ是 R 中的基本列,由R 的完备性可知,存在 i R ξ∈,使得 ()n i i ξ ξ→, n →∞ 。同时对于任何自然数 s , ()()1 s p n m p i i i ξ ξε=-<∑,令 m →∞ ,得 ()1 s p n p i i i ξ ξε =-≤∑,从而 ()1 p n p i i i ξξε∞ =-≤∑。 令 12(,, ,,)i x ξξξ=,则由1 1 1 ()()111i p p p p p p n n i i i i i i ξξξξ∞ ∞ ∞ ===?? ?? ? ?≤+-?? ?????? ?? ?? ∑∑∑可知, p x l ∈。由 (,)n d x x ε≤可知,n x x →。从而p l )1(≥p 是完备的距离空间。 十一 、试证: [,]C a b 在积分平均收敛意义下是不完备的距离空间。 证明:设111111, 2(),1,2n n n n n n t x t nt t t --≤≤-?? =-≤≤ ??≤≤+? , ,2,1=n ,则{}[,]n x C a b ?。 对于 n m >,2 2 11 (,)()()n m n m d x x x t x t dt m n -=-= -?,由此可知,{}n x 为([,],)C a b d 中的基本点列。 若 {} n x 在 ([,],)C a b d 中收敛,则存在()[,]x t C a b ∈,使得 2 2 (,)()()0n n d x x x t x t dt -=-→?,从而112 2 1()1()0n n x t dt x t dt --++-→??。 由此可得, (0)1x -=-,(0)1x +=,这与()[,]x t C a b ∈矛盾。因此{}n x 在([,],)C a b d 中不收敛,从而[,]C a b 在积分平 均收敛意义下是不完备的。 十二、设 )(x f 是 R 上的可微函数,并且 1)(<≤'αx f ,则方程x x f =)(有唯一的实数解。 证明:对于任何 R y x ∈,,y x y x f y f x f -?≤-?'=-αξ)()()(。 由 10<<α,可知,f 是完备空间R 上的压缩映射。 由压缩映射不动点原理可知,x x f =)(有唯一的实数解。 十三 、设 F 是n 维欧几里得空间n R 中有界的闭集,A 是F 到自身中的映射,并且满足下列条件:对任何 )(,y x F y x ≠∈,有 ),(),(y x d Ay Ax d <。试证:映射A 在F 中存在唯一的不动点。 证明:令 )(inf ),,()(0x Ax x d x F x ???∈==,则 ) (x ?是紧集 F 上的连续函数,从而存在 F x ∈?,使得)(0?=x ??。 假设 0),()(>=???Ax x d x ?,则),(),(2???? 即 0)()(???=?x Ax ,这与)(inf 0x F Ax F x ??∈?=∈,矛盾,故而0),(=??Ax x d ,从而??=x Ax 。即映射 A 在F 中存在不动点。 若 ?≠=x x x Ax 000,,F x ∈0,则),(),(),(000x x d Ax Ax d x x d ???<=,显然这是 一个错误。因而映射 A 在F 中不动点是唯一的。 十四 、设对于任何实数 1p ≥,12(,, ,,)p n x l ξξξ=∈,试证:lim p p x x ∞ →+∞ =。 证明:不妨设 12(,,,,)0n x ξξξ=≠,令n n x ξη∞ = , () 12,, ,, n y ηηη=,则 1n η≤, p y l ∈, p p x y x ∞ = , 1y ∞ =。由此可知,对于0ε?>,0N ?>,n N >时,使得 1 p n n N ηε ∞ =+<∑ ,并存在 0n ,使得 011n εη-<≤。 由 ()1 1 101111p p p N p p p n n n n p n n n N y N εηηηηε∞∞===+???? -<≤==+≤+ ? ????? ∑∑∑可得, ε?>, 11p p p p lim y lim y ε→+∞ →+∞ -≤≤≤,从而lim 1p p y →+∞ =。 由此可得, lim p p x x ∞ →+∞ =。 十五 、设 X 一个线性空间,数 1x 与2 x 等价的充分必要条件是存在两个正数 b a ,,使得不等式2 12 x b x x a ?≤≤?,对任何 X x ∈成立。 证明:充分性是显然的,只需证明必要性。 假设不存在 0>b ,使得2 1x b x ?≤成立,则对每一个自然数 n ,存在 X x n ∈,使得 2 1 n n x n x ?>,从而 n x x n n 1 2 1 < ,但11 1 =n n x x ,这与数1x 与2 x 等价相矛盾。因而存在 0>b ,使得对任何X x ∈, 2 1x b x ?≤成 立。 同理可证,存在 0>'a ,使得12x a x ?'≤。令a a ' = 1 ,则0>a ,并且对任何X x ∈,成立着12 x x a ≤?。 十六、设 ,2,1,0,0,,=≠≠∈n x x X x x n n ,并且∞→→n x x n ,,则x x x x n n →。 证明:由 x x n →及x x x x n n -≤-(或数的连续性),可得 x x n →。 由 x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n ?-+-???=??-?=-)()(1 ∞→→-?+-???≤ n x x x x x x x x n n n ,0)(1 , 可得 x x x x n n →。 十七、设 , ,21X X 是一列 Banach 空间,{} ,,,,21n x x x x =是一列元素,其中n n X x ∈, ,2,1=n ,并 且 ∑∞ =∞<1 n p n x ,这种元素列的全体记为X ,按通常数列的加法和数乘,在 X 中引入线性运算。若令 p n p n x x 11 ?? ? ?? =∑∞ =,试证:当 1 ≥p 时, X 是Banach 空间。 证明:仅证 X 的完备性。设 ,2,1),,,,,()()(2 )(1)(==i x x x x i n i i i ,为X 中的基本列,则 I j i I >>?>?,,0,0ε时 ε<-)()(j i x x ,即∑∞ =<-1 1 )() ()(n p p j n i n x x ε,从而对每个自然数n ,均有ε<-) ()(j n i n x x ,即{} ∞ =1 )(i i n x 为 n X 中的基本列。由 n X 的完备性可知,存在点列 {}n n X x ?,使得 ∞ →i 时, ,2,1,)(=→n x x n i n 。令 ) ,,,,(21 n x x x x =, 则 ∑∞ =-=-1 1 ) ()() (n p p n i n i x x x x 。由 ∑∑∞ =∞ =∞ →-=-1 1 ) (1 1 )() () ()(lim n p p n i n n p p j n i n j x x x x ,可得 I i >时,ε ≤-x x i )(,从而 ∞→→i x x i ,)(, 并且 ∑∑∞ =∞ =-≤=1 1)(1 1) ()(n p p n i n n p p n x x x x + +∞<∑∞ =1 1)()(n p p i n x ,即X x ∈。因此X 是完备空间。 十八、设 ()()12,,,,1,,,,,T n ij ij n n Tx z z Ax A a a R i j n x x x x R ===∈≤≤=???∈,并且 n R 中数分别 取为 {}1max i i n x x ∞ ≤≤=、11 n i i x x ==∑、 12 2 21 () n i i x x ==∑。试证: T 是n n R R →的有界线性算子,并求算子T 的数 T ∞ 、 1 T 、 2 T 。 证明:(1)由 1111 1 1 ()()n n n ij j ij j ij i n i n i n j j j Tx max a x max a x max a x ∞ ∞ ≤≤≤≤≤≤====≤?≤?∑∑∑可得, T 为有界线性算子,并且 11n ij i n j T max a ∞ ≤≤=≤∑。 不妨设 11 1 0n n ij mj i n j j M max a a ≤≤====≠∑∑,1m n ≤≤。 取 012((),(), ,())T m m mn x sign a sign a sign a =,则0 1x ∞ =,并且 11 11 ()()n n n ij mj mj mj mj i n j j j Tx max a sign a a sign a a M ∞ ≤≤====≥ ==∑∑∑。 由此可得, T M ∞ ≥,从而11 n ij i n j T max a ∞ ≤≤==∑。 (2)由 1111 1 11 1 1 1 ()()()n n n n n n n ij j ij j j ij ij j n i j i j j i i Tx a x a x x a max a x ≤≤========≤?=≤∑∑∑∑∑∑∑可得,T 为有界线性 算子,并且 111 n ij j n i T max a ≤≤=≤∑。 不妨设 11 1 0n n ij im j n i i M max a a ≤≤====≠∑∑,1m n ≤≤。 取 0x 为向量单位m e ,则011x =,并且011 n im i Tx a M ===∑。 由此可得, T M ∞ ≥,从而111 n ij j n i T max a ≤≤==∑。 (3)不妨设 0A ≠,由实对称矩阵T A A 的半正定性可知,其特征值均为非负实数,并且最大特征值()0T max A A λ>。 由二次型理论可知, () ()() () () 1 1 1 2 2 2 22 ()()T T T T max Tx Ax Ax x A A x A A x λ= =≤,同时存在 0n x R ∈, 021x =,使得() 1 2 2 ()T max Tx A A λ=。 由此可知, T 为有界线性算子,并且() 1 2 2 ()T max T A A λ=。 十九 、试求 ]11[,-C 上线性泛函??--=01 1 )()()(dt t x dt t x x f 的数。 解:由 ?????---=+≤-= 01 10 1 1 1 10 )()()()()()(dt t x dt t x dt t x dt t x dt t x x f ]1,1[,2)(max 21 1-∈??=?≤≤≤-C x x t x t 可得 2≤f 。 取??? ? ? ????-----=] 1,1[,1]1,1[,]1,1[,1)(n n n nt n t x n ,则 ,2,1,1],1,1[==-∈n x C x n n ,并且 ????=-=-----+=---n n n n n n n dt dt nt dt nt dt x f 10 1 11 10 1,2,1,1 2)1()()(1)( , 从而 ,2,1,1 2)(=-=≥n n x f f n 。 由此可得 2≥f ,从而2=f 。 二十 、设无穷矩阵 ()ij a ( ,2,1,=j i ),满足 ∞<∑∞ =≥1 1 sup j ij i a 。作∞l 到∞l 的算子如下: 若 ),,(21 x x x =,),,(21 y y y =,y Tx =,则∑∞ =?=1 j j ij i x a y , ,2,1=i 。试证,T 是∞l 到∞l 的有界 线性算子,并且 ∑∞ =≥=1 1 sup j ij i a T 。 证明:显然 T 是线性算子。 对于任何 ∞∈=l x n ),,,,(21 ξξξ, ∑∑∑∞ =≥∞ =≥∞ =≥≥?≤?≤?==1 1 1 1 1 1 1 sup sup sup sup j ij i j j ij i j j ij i i i a x a a Tx ξξη, 即 ∑∞ =≥≤1 1 sup j ij i a T (记为 M ,不妨设0 1k M > )。 对 ,1,,1 00+== k k k k ε,存在自然数k i ,使得011 >->∑∞ =k M a j j i k 。 令 ),sgn ,,(sgn 1 j i i k k k a a x =,则∞∈l x k ,并且 ,,10k k x k ==。 由此可得 ),sgn ,(1 j i j ij k k a a Tx ?=∑∞= ,∑∑∞ =∞ =≥?≥ ?=1 1 1 sgn sgn sup j j i j i j j i ij i k k k k a a a a Tx ,2,1,1 1 =- >=∑∞ =k k M a j j i k 。从而 ,,1 0k k k M Tx T k =->≥,即有 M T ≥。因而 M T =。 二十一 、设 X 是赋线性空间, Z 是X 的线性子空间, X x ∈0,又 0),(0>Z x d ,试证,存在*∈X f ,满足条件:(1)当 Z x ∈时,0)(=x f ;(2)),()(0 0Z x d x f =;(3 )1=f 。 证明:设 {}K k Z z z kx G ∈∈+=,0,对于任何),()(,00Z x d k x F G z kx x ?=∈+=,则F 为X 的子空间 G 上的线性泛函,),()(00Z x d x F =,并且Z x ∈时,0)(=x F 。 0≠k 时,x k z x k Z x d k z x k F x F =+?≤?=+?=)(),()()(000,即有 1≤F 。 设 {}Z z n ∈,使得 ∞→→-n Z x d z x n ),,(00,则≤-==)()(),(000n z x F x F Z x d n z x F -?0。令 ∞→n ,可得),(),(00Z x d F Z x d ?≤,即1≥F 。因此1=F 。 由 Banach 延拓定理,可得存在*∈X f ,满足1),,()(,0)(00===f Z x d x f Z f 。 二十二、设 X 是线性空间, 1x 和2 x 是 X 上两个数,若 X 按 1x 及2 x 都是完备的,并且由点列 {} n x 按 1x 收敛于0,必有按 2 x 收敛于0,试证:存在正数 b a ,,使 121x b x x a ?≤≤?。 证明:记 Banach 空间),(),,(21x X x X 分别为F E ,,E 到F 上的恒等算子为I ,则 x x n →即01→-x x n 时, 022→-=-x x Ix Ix n n ,即Ix Ix n →,从而 I 为 E 到 F 上的连续线性算子。因此存在正常数 b ,使得 12x b x ?≤。由逆算子定理,可得1-I 为F 到E 上的有界线性算子,从而存在正常数a ,使得2 111x x I a x a ≤?=?-。 因此存在正常数 a 、 b ,使得12 1x b x x a ?≤≤?。 二十三、设 )(Y X B T n →∈) ,2,1( =n ,其中 X 是Banach 空间,Y 是赋线性空间,若对于每个X x ∈,{} x T n 都收敛,令 x T Tx n n ∞ →=lim ,试证:T 是X 到Y 中有界线性算子,并且n n T T ∞ →≤lim 。 证明:由已知,对于每个 X x ∈,{}x T n 收敛,从而有界。由共鸣定理可知,{} n T 有界,即存在 0>M ,使得M T n ≤。 由 Ty Tx y T x T y x T y x T n n n n n n ?+?=?+?=?+?=?+?∞ →∞ →∞ →μλμλμλμλlim lim )(lim )(,可知T 是 X 到Y 中的线性算子。 对于任何 X x ∈,x T x T x T x T Tx n n n n n n n n ?=?≤==∞ →∞ →∞ →∞ →lim )(lim lim lim ,即有 n n T T ∞ →≤lim 。 二十四 、任取积空间 X 中一点y ,对于任意x X ∈,令 (),f x x y =<>,试证:()f x 为X 上有界线性泛函,并计算其数f 。 证明:对于任意 ,x z X ∈和常数 k , (),,,()()f x z x z y x y z y f x f z +=<+>=<>+<>=+ (),,()f kx kx y k x y kf x =<>=<>= 因此 ()f x 为X 上线性泛函。 对于任意 x X ∈,由 (),f x x y x y =<>≤?可知, ()f x 为X 上有界线性泛函,并且f y ≤。 不妨设 0y ≠,令y x y =,则 1x =,并且()f x y =。 由此可得, f y ≥,从而 f y =。 二十五 、设 {} n x 是积空间 X 中点列,若 x x n →) (∞→n ,并且对于一切 X y ∈,有 > 证明:由 >-<+>-<++=-n n n n x x x x x x x x ,,22 2 以及2 2 x x n →、 2 ,,x x x x x n ->=->→<-<、 2 ,,,,x x x x x x x x x n n ->=-=<>-<→>-<>=-<,可得 ∞→=--+→-n x x x x x x n ,02 2 2 2 2 ,即∞→→n x x n ,。 二十六 、设 X 是n 维线性空间,{}n e e e ,,,21 是X 的一组基,试证: > 上积的充要条件是存在 n 阶正定方阵 ()ij a A =,使得 ∑∑∑===??>= ?? j i j i ij n j j j n i i i y x a e y e x 1 ,1 1 ,。 必要性证明:设 > = > =<> ji ij a a =, n j i ≤≤,1,并且 ∑∑∑===??>= ?? j i j i ij n j j j n i i i y x a e y e x 1 ,1 1 ,。 令 n ij a A )(=, 则 A A =', 并 且 对 任何 ),,,(21' =n x x x α, ∑∑∑===> ??=?= 'n i i i n i i i n j i j i ij e x e x x x a A 1 1 1 ,,αα。由积的正定性可知,仅当 01 =?=∑=n i i i e x x ,即0=α时,0='ααA 。因而A 为n 阶正定矩阵。 充分性证明:对于任何 X y x ∈,,设 ? ? ? ? ? ??=????? ??=?=?=∑∑==n n n i i i n i i i y y x x e y y e x x 1111,,,βα,则 A A A y x =''>=<,,βα,从而 (1) 000,0,=?=?='≥'>= (2) ><+><='?+'?='?+?>=?+? ),,,(,211 '=?=∑=n n i i i z z z e z z γ; (3) ><='='='>= 因此 > 二十七、设 X 为积空间, 12,,,n x x x X ∈,满足 n j i x x ij j i ≤≤>=<,1,,δ,试证:n x x x ,,,21 线性无关。 证明:考察 ∑==?n i i i x k 1 0,两端同时与j x 作积得, ∑==>=>=? i j i j j i i n j x x k x x k 1 ,,2,1,0,, ,即n j k j ,,2,1,0 ==。 因而 n x x x ,,,21 线性无关。 二十八、设 X 是 Hilbert 空间, M X ?,M ≠?,试证:()M ⊥⊥是X 中包含M 的最小闭子空间。 证明:显然, ()M ⊥⊥为X 中包含 M 的闭子空间。 设F 为X 中包含M 的任意闭子空间,则F 为完备的子空间,并且() ()F M ⊥⊥ ⊥⊥?。 下证:() F F ⊥⊥ ?,从而()F F ⊥⊥=。 任取 ()x F ⊥⊥∈,由正交分解定理可知,12x x x =+,12,x F x F ⊥∈∈。 两边与 2x 作积得,21222,,,x x x x x x <>=<>+<>。 由 2,0x x <>,12,0x x <>=可得,22,0x x <>=,即20x =,1x x F =∈,因此()F F ⊥⊥?。 (或:由 1()x F F ⊥⊥∈?可知,{}12()0x x x F F ⊥ ⊥⊥-=∈=,即1x x F =∈,因此()F F ⊥⊥?。 ) 由此可知, ()F M ⊥⊥?。 综上所述, ()M ⊥⊥是X 中包含 M 的最小闭子空间。 二十九 、试证:数域 K 上积空间X 中向量y x ,垂直的充要条件是对一切数K ∈α,成立x y x ≥?+α。 充分性证明:由 x y x ≥?+α,可得 >>≥+?+ ,,,2 >≥+>+> ,,,≠> <> <- =y y y y x α,代入上式后得到, 0,,2 ≥> <> <- y y y x ,从而0,>= 必要性证明:由 y x ⊥,即 ,>= ,>=?<∈?y x K αα,,即 y x ?⊥α。由此可得 2 2 2 2 x y x y x ≥?+=?+αα,即 x y x ≥?+α。 三十、设 12,,,n e e e 为积空间 X 中的规正交系,试证:X 到12{,, ,}n span e e e 的投影算子P 为 1 ,n i i i Px x e e ==<>∑,x X ∈。 证明:设 12{,,,}n M span e e e =,则M 为X 中完备子空间。 由题意知,对于任何 x X ∈,x Px y =+,其中Px M ∈,y M ⊥∈,从而12,, ,n y e e e ⊥。 设 1 n i i i Px c e ==∑,由12,, ,n e e e y ⊥可得,,i i c x e =<>,1,2, ,i n =。 由此可知, 1 ,n i i i Px x e e ==<>∑,x X ∈。 三十一、设 X 是可分的 Hilbert 空间,试证:X 中任何规正交系至多为可数集。 证明:显然 X 是有限维的线性空间时,其任何规正交系必为一线性无关的向量组,因而一定是一个有限集。 若X 不是有限维的线性空间,则由X 的可分性与完备性可知,存在可列的完全规正交系{ } ,,,,21n e e e M =。对于X 中任何规正交系 {}I v e E v ∈=,作集合 {}I v e e e E i v v i ∈>≠<=,0,, ,2,1=i ,则 ∞ =??? ? ??∈>><=1,1,k i v v i I v k e e e E 至多是可列集(由 Bessel 不等式 1,2 1 ,2 =≤><∑ ≥∈i j I v i v e e e j j ,可知? ?? ???∈>> ,2,1=i ,并且E E i i ?∞ = 1 。对于E 中任何向量v e ,若 ∞ =?1 i i v E e ,则必有0,>= 性可知,必有 0=v e ,这与1=v e 矛盾。因此必有 ∞=∈1 i i v E e ,从而E E i i =∞ = 1 。由此可知,规正交系E 至多为可数集。 三十二、设 T 是 Hilbert 空间 X 上的有界线性算子,1≤T ,试证: {}{} x x T x x Tx x ===? 。 证明:设 00x Tx =,则>>=<>=<<∈??y T x y Tx y x X y ,,,,000,即 0,0>=- y T y x 。取0x y =,得到000)(x x x T ⊥-? ,从而2 2 02 0x T x x T x ? ? =-+。由此可得 2 2 2 2 02 x x T x x T x ≤?≤-+? ?,从而 000=-?x x T ,即00x x T =?; 同样, 00x x T =?时,由1≤=?T T ,可得00x x T =? ?)(,即00x Tx =。从而 {}{} x x T x x Tx x ===? 。 三十三、设 2 1,T T 均为 Hilbert 空间H 中的有界线性算子,若H y x ∈?,,有>= > 证明:由已知可得, 0,,,21>=-<∈?y x T x T H y x 。 取 x T x T y 21-=,则0,2 21=-∈?x T x T H x ,即x T x T 21=。因而21T T =。