_电场高斯定理_的教学设计
电场的高斯定理
§ 1.4 电场得高斯定理 GAUSS, LAW (教材p45) 1、电场线(Electric Field Lines) 大家已经知道,电场强度E 就是空间坐标得矢量函数、 为了形象地描述电场,我们设想电场中分布着一族曲线,并规定这些曲线每一点上得切线方向,与该点电场强度E 得方向一致、我们把这些曲线称为电场线,简称E 线、 下图示出几种情形下静电场得E 线分布、 从上述例子我们瞧到,静电场得E 线有如下性质 (1)静电场得E 线始发于正电荷而终止于负电荷,所以静电场得E 线不形成闭合曲线;在没有电荷存在得点上,E 线连续 通过,也有可能 E=0 (试从上图找出这样得点)、 (2)在任何客观存在得电场中,每一点上得试探点电荷在同一时刻只能受到一个确定得作用力,因此每一点上得E只能有一 个确定得值, 因而E 必定就是空间坐标得单值函数,故任何两条E 线都不可能相交、 2、电通量 ( Electric Flux ) 按上述图象,通过某处单位截面得 E 线条数 ,即“E 线密度”,决定于该处得场强E。也就就是说,E值大处,“E 线密度”大,反之, “E 线密度”小(见上图)、现在,我们引入“电通量”概念、
设想电场中有一非闭合曲面S,dS 就是S上某点P附近一个无限小面积元矢量,并规定dS 得方向沿曲面在该点得法向 ,即 我们称 dΦ = E · dS = EdScosθ (1、4-1) 为通过该面元得电通量,单位为伏特·米(Vm)、 显然,当 0≤θ< π/2 , dΦ > 0 (正值) π/2 <θ≤π , dΦ < 0 (负值) θ= π/2, dΦ = 0 (E 线仅从该面元掠过) 通过整个S面得总电通量为 (1、4-2) 这就是一个面积分 (二重积分) 对于闭合曲面,规定面元矢量dS 沿曲面各点得外法线方向、于就是,通过任意闭合曲面得总电通量: 3、电场得高斯定理 高斯定理:通过任意闭合曲面 S 得电通量,正比于S内包含得总电量(净电量),与S外得电荷分布无关、即 (1、4-4a)
高斯定理--说课
物理教研室第周教研活动（说课） 高斯定理 说课人： 一、教学对象 授课学生： 2017级大二学生 教学对象分析： 数学基础：对于简单的一维、二维积分基本掌握； 物理基础：在前面我们学习了电场、电场线电场强度、电场强度通量的基本知识，而这一节的内容其实还是电场强度的通量的一种特殊求法。 学生为大学二年级学生，已经学习了高等数学，能够进行微积分和矢量运算；并且已经学习了电场、电场线电场强度、电场强度通量的基本知识， 二、使用教材及参考教材 1.使用教材 《物理学教程》（第三版）下册，马文蔚、周雨青、解希顺编，高等教育出版社。---该教材中高斯定理的验证比较简单，需参考其它教材改进。 2.参考交材 1）《普通物理学》（第五版）第二册，程守洙、江之永主编，高等教育出版社。
2）《新世纪大学物理》下册，陈颖聪、田杨萌主编，华东师范大学出版社。 三、所选内容在本课程中的地位 “高斯定理”是大学物理（二）电磁学篇章中“静电场”（也即教材中第九章）这一章中的重点，是期末考试必考的知识点。高斯定理是电场的重要性质之一。高斯定理是在库仑定律基础上得到的，它适用范围比后者更广泛。库仑定律只适用于真空中的静电场，而高斯适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。 四、教学目标及其重难点 教学目标： 1）理解电通量的概念 2）理解并识记高斯定理表达式 3）掌握利用高斯定理求电荷对称分布的带电体周围电场强度的方法 教学重难点： 1）高斯定理的理解（重点） 2）高斯定理计算电场强度的条件和方法（重点、难点） 五、教学方法 1.讲授法(主要方法) 复习：电场、电场线、电场强度、电场强度通量复习等基本理论； 新课：高斯定理
静电场的高斯定理
302-静电场的高斯定理 1 选择题 1. 一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化：〔 〕 ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 2. 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么〔 〕 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 答案：()C 3. 如图所示，闭合面S 内有一点电荷 Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至 B 点，则；〔 〕 ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 答案：()B 4. 已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： 〔 〕 ()A ()B ()C () D 答案：()C 5. 如图所示，一球对称性静电场的~E r 关系曲线，请指出该电场是由下列哪种带电体产生的（E 表示电场强度的大小，r 表示离对称中心的距离）〔 〕 ()A 点电荷； ()B 半径为R 的均匀带电球体； ()C 半径为R 的均匀带电球面； ()D 内外半径分别为r 和R 的同心均匀带球壳。 答案：()C 6. 半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 的关系曲线为：〔 〕 答案：()B r ()A ()B ()C ()D
电场的高斯定理
§ 1．4 电场的高斯定理 GAUSS， LAW (教材p45) 1.电场线（Electric Field Lines） 大家已经知道，电场强度E 是空间坐标的矢量函数. 为了形象地描述电场，我们设想电场中分布着一族曲线，并规定这些曲线每一点上的切线方向，与该点电场强度E 的方向一致. 我们把这些曲线称为电场线，简称E 线. 下图示出几种情形下静电场的E 线分布. 从上述例子我们看到，静电场的E 线有如下性质 (1)静电场的E 线始发于正电荷而终止于负电荷，所以静电场的E 线不形成闭合曲线；在没有电荷存在的点上，E 线连续 通过，也有可能 E=0 （试从上图找出这样的点）. (2)在任何客观存在的电场中，每一点上的试探点电荷在同一时刻只能受到一个确定的作用力，因此每一点上的E只能有一 个确定的值，因而E 必定是空间坐标的单值函数，故任何两条E 线都不可能相交. 2.电通量 ( Electric Flux ) 按上述图象，通过某处单位截面的 E 线条数，即“E 线密度”，决定于该处的场强E。也就是说，E值大处，“E 线密度”大,反之, “E 线密度”小（见上图）.现在,我们引入“电通量”概念.
设想电场中有一非闭合曲面S，dS 是S上某点P附近一个无限小面积元矢量，并规定dS 的方向沿曲面在该点的法向，即 我们称 dΦ = E · dS = EdScosθ（1.4-1） 为通过该面元的电通量，单位为伏特·米（Vm）. 显然，当 0≤θ< π/2 , dΦ > 0 (正值) π/2 <θ≤π , dΦ < 0 (负值) θ= π/2， dΦ = 0 （E 线仅从该面元掠过） 通过整个S面的总电通量为 （1.4-2） 这是一个面积分（二重积分） 对于闭合曲面，规定面元矢量dS 沿曲面各点的外法线方向.于是，通过任意闭合曲面的总电通量： 3.电场的高斯定理 高斯定理：通过任意闭合曲面 S 的电通量，正比于S包含的总电量(净电量)，与S外的电荷分布无关.即 （1.4-4a）
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理 静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。 电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。 静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S q E S ε?=∑? 。英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度） 穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。这个假设后来被实验证实了。正因为这个原因，数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 也叫做高斯定律。 由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。 in 0d i S q E S ε?=∑? 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定 理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。 高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式
或者高斯散度公式）。高斯公式的数学表示式是d d S V f S f V ?=???? 。其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。 高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε??= 。 根据库仑定律还可以推出d 0l E l ?=? ，其含义是静电场强度沿任意回路的线积分恒等于零。数学表示式d 0l E l ?=? 除了适用于静电场，也适用于恒定电场， 还适用于位电场，但是不适用于涡旋电场。所以，d 0l E l ?=? 不是电磁学中普遍 适用的规律。正因为这个原因，首先从库仑定律导出d 0l E l ?=? 的那个人没有名 气，我们甚至不知道他姓甚名谁。大理大学工程学院教授罗凌霄 2020年3月11日
电场的高斯定理
小结：
1.电力线（电场线） （1）线上每一点的切向就是该点的电场强度方向 （2）该点处的电力线的密度等于该处场强大小 2.电通量：
高斯定理的证明: （分下面几种情况证明） （1）通过点电荷q为球心的球面的电通量等于q /ε0
Φ =
∫∫ E ? d s
s
v
v
S
r E r n dS r
q
Φe =
∫∫ E ? d S
=
r
r
q dS r2
3.高斯定理： Φ =
∫∫
r r E ?d S =
∑
∫∫ 4 π ε
q
1
0
ε0
q i内
定理的表述：真空中的任何静电场内，通过任意封 闭曲面的电通量等于曲面内所包围的电荷电量的代 数和除以真空介电常数。
1 q = 4 π ε0 r2
∫∫ d S
E=
q 4πε 0 r 2
=
ε0
点电荷的 电通量与球面的半径 无关。 → 点电荷的
r E
线连续。
（2）通过包围点电荷 q 的任意封闭曲面的 电通量都等于q/ε0 因为点电荷q 的电力线连续 地延伸到无限远 q Φe = ε0
（4）推广到多个点电荷的情形 作任意封闭曲面（高斯面） ， S
q1 ′ q1
q2 S
q S S1
?
Φ e = ∫∫ E ? d S
（3）通过不包围点电荷 q 的任意封闭曲面的电通量 都等于0。 S
Φe =
∫ E ? ds = 0
s
r
r
q′ 2 r r r r r ′ ′ = ∫∫ E1 + E 2 + L + E1 + E 2 + L ? d S r r r r r r r r ′ = ∫∫ E1 ? d S + ∫∫ E2 ? d S + .... + ∫∫ E1′ ? d S + ∫∫ E2 ? d S + ....
r
r
(
)
内
q
?
注意:封闭曲面 S上各点处的场 强 并不等于0。
=
ε0
q1
+
ε0
q2
∑q +L+ 0 =
ε0
外
内
同理,对电荷连续分布的带电体,可将它分成许 多电荷元,一样可以证明高斯定律是正确的。
高斯定理可以证明电场线有如下性质： 电场线发自于正电荷， 终止于负电荷， 在无电荷处不间断。 证： 设P点有电场线发出 P
?
∫∫ ε 0 说明： r （1）高斯定律中的 E ，总电场，是高斯面内、外全 部电荷激发的 ; 而 Σ q内只是对高斯面内的电荷求和。 （2） Φe由 ∑ q内 的值决定，与 q内 分布无关；
Φ =
i内
r r E ?d S =
∑
q
则： ∫ E ? d s > 0 → q内 > 0
S
r
r
(3)正确理解 （4） 给定电荷分布
∑q = 0
，不是E＝0，只是积分为零
由库伦定律 由高斯定理
（5）高斯定律适用于静电场还适用于随时间变化的电场
r E Φ （通常情况） r E （电荷对称分布）
S
令 S → 0， 则 q内 = q P > 0
若P点有电场线终止，
S
?
P
同理，有 qp < 0。
1
电通量,高斯定理
电通量、高斯定理 1、均匀电场的场强E 与半径为R 的半球面的轴线平行，则 通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q 不改变E 分布，则通过半球面的电场强 度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。 2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑?= ?0/εq s d E i s ， 其物理意义是静电场是有源场。 3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通 过立方体每个表面的E 的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方 体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E 的通量 是 0 ，通过立方体另外三个面的E 的通量是 q/8ε0。 4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C ) (A) (B) (C) (D) 5、应用高斯定理求场强E 时，要求E 的分布具有对称性， 对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B ) (A)正确 (B)错误 (C)无法判断 6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D ) (A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C ) (A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零； ()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-
(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零； (C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零； (D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。 8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布 解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面 根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场 强大小相等，方向沿矢径方向 ? ? ? ?? + ? + ? = ? 侧面 下底 上底 s d E s d E s d E s d E s =?? 侧面 s d E =E? 侧面 ds=2rhE π （1）r < R时, ∑=ρ πh r q i 2, 2/ 2ε ρ π πh r rhE=, 2ε ρr E=（2）r > R时, ∑=ρ πh R q i 2, 2/ 2ε ρ π πh R rhE=, r R E 2 2ε ρ =∴= E ) ( , 2 ) ( , 2 2 R r r R R r r > < ε ρ ε ρ
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理： 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为 01 ()1/n i i S E ds q φε==?=∑?? （1） 高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平 的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种: 1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等; 2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面 3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。 根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是: ○ 1 待求场强的场点必须在高斯面上;○ 2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○ 3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○ 4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量 只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。 下面举一些例子来说静电场中高定理的应用： 例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。试求球体内外的场强分布及其方向。 解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 23d d 4d 4d q V Ar r r Ar r ρ==?π=π 在径为r 的球面内包含的总电荷为 430d 4d Ar r r A V q V r ππρ==?=???? ()r R ≤
A08_库仑定律_电场强度_电通量_高斯定理
单元八 库仑定律 电场 电场强度 1 一 选择题 01. 下列几种说法中哪一个是正确的? 【 C 】 (A) 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； (B) 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同； (C) 场强方向可由F E q = 定义给出，其中q 为试验电荷的电量，q 可正、可负，F 为试验电荷 所受的电场力； (D) 以上说法都不正确。 02. 一带电体可作为点电荷处理的条件是 【 C 】 (A) 电荷必须呈球形分布； (B) 带电体的线度很小； (C) 带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计； (D) 电量很小。 03. 如图所示, 在坐标原点放一正电荷Q ，它在P 点 (1,0x y =+=) 产生的电场强度为E ，现在，另外有一个负电荷2Q -，试问应将它放在什么位置才能使P 点的电场强度等于零? 【 C 】 (A) x 轴上1x >； (B) x 轴上01x <<； (C) x 轴上0x <； (D) y 轴上0y >； (E) y 轴上0y <。 04. 在一个带有正电荷的均匀带电球面外，放置一个电偶极子，其电矩p 的方向如图所示。当释放 后，该电偶极子的运动主要是： 【 D 】 (A) 沿逆时针方向旋转，直至电矩p 沿径向指向球面而停止； (B) 沿顺时针方向旋转，直至电矩p 沿径向朝外而停止； (C) 沿顺时针方向旋转至电矩p 沿径向朝外，同时沿电力线方向远离球面移动； 选择题_03图示 选择题_04图示 选择题_05图示
(D) 沿顺时针方向旋转至电矩p 沿径向朝外，同时逆电力线方向向着球面移动。 05. 如图所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为(0)x λ+<和 (0)x λ->则Oxy 坐标平面上点(0,)a 处的场强E 为 【 B 】 (A) 0； (B) 02i a λπε ； (C) 04i a λπε ； (D) 0()4i j a λπε+ 。 二 填空题 06. 带有N 个电子的一个油滴，其质量为m ，电子的电量的大小为e ，在重力场中由静止开始下落(重力加速度为g )，下落中穿越一均匀电场区域，欲使油滴在该区域中匀速下落，则电场的方向为向下，大小为 mg Ne 。 07. 如图所示的曲线表示一种球对称性电场的场强大小E 的分布，r 表示离对称中心的距离。这是由半径为R 均匀带电为q +的球体产生的电场。 08. 一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d ()d R <<环上均匀带有正电，电荷为q ，如图所示。则圆心O 处的场强大小2 3 08qd E R πε= 。 09. 某区域的电场线如图所示，把一个带负电的点电荷q 放在点A 或B 时，在A 点受的电场力大 10. 电偶极子的电偶极矩是一个矢量，它的大小是ql (其中l 是正负电荷之间的距离)，它的方向是由 负电荷指向正电荷 。 三 判断题 11. 若将放在电场中某点的试探电荷q 改为q -，则该点的电场强度大小不变，方向与原来相反 。 【 错 】 12. 静电场中的电场线不会相交，不会形成闭合线。 【 对 】 四 计算题 13. 两个电量分别为71210q C -=+?和72210q C -=-?的点电荷，相距0.3m ，求距1q 为0.4m 、距2q 为0.5m 处P 点电场强度。 填空题_07图示 填空题_08图示 填空题_09图示
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理 [摘要] 高斯定理是静电学的重要定理，它可以通过数学证明方法得到，同时 要注意高斯面的选择和对高斯定理的理解。 [关键字] 高斯定理 高斯面 证明 注意事项 [内容] 高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源就是电荷。可以将其表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0 分之一，而与闭合曲面外的电荷无关。高斯定理的表达式如下： ? ?= ?=ΦV e dq 1 d εS S E 其中，E 表示在闭合曲面上任一dS 面处的电场强度，而EdS 则表示通过面元dS 的电场强度通量， 就表示通过整个闭合曲面S 的电场强度通量， 习惯上称闭合曲面S 为高斯面。由高斯定理可知：静电场是有源的，发散的，源头在电荷所在处，由此确定的电场线起于正电荷，终于负电荷。 下面对于静电场中的高斯定理进行证明： （a ）点电荷在球面中心 点电荷q 的电场强度为 r r q 41 30??=πεE 球面的电通量为 2 20S 2 030q r 4r 4q d r 4q d r r q 41 d εππεπεπε= ??==???=????S S S E S S （1） （b ）点电荷在任意闭曲面外
闭曲面S 的电通量为 ()??? ?++= ++=??? =?S S S S S E zdxdy r 1ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d 3330S 3030 πεπεπε （2） 根据高斯公式 ?????++=???? ? ???+??+??S V R Q P R Q P dxdy dzdx dydz dxdydz z y x （3） 并考虑到3 33r z r y ,r x === R Q P ，在S 内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用高斯公式计算。 将式（2）代入式（3）中得 ()???? ?? ? =???? ? ??? ???????? ???+???? ???+???? ???= ++= ++=??? =?V 33303330 S 3030 0dxdydz z r z y r y x r x 4q zdxdy r 1 ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d πεπεπεπεS S S S S E
高斯定理
简析高斯定理在电场中的应用 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为 01 () 1/n i i S E ds q φε==?=∑?? （1） 高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种: 1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等; 2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面 3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。 根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是: ○ 1 待求场强的场点必须在高斯面上;○ 2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○ 3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○ 4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。 步骤： 1．进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2．根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过 该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量n 与E 平行或垂直，n 与E 平行时， E 的大小要求处处相等，使得E 能提到积分号外面； 3．计算电通量???S d E 和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。 应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。 利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。 典型例题： 例题1、设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为σ=9.3×10-8C/m 2，放置在真空中，求空间任一点的场强. 解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3) 带电面右半空间
大学物理课堂教学设计：高斯定理
课堂教学设计4：高斯定理 【授课内容】：高斯定理 【所在章节】：第7章：静电场与恒定电场7.2节：高斯定理 【授课对象】：2018级大数据学院（软件工程、数字工程、网络工程专业） 【教学学时】：2学时 一、学情分析 （一）教材内容分析 本书将“高斯定理”编排在第7 章“静电场”的第2节，是整个电学部分两个基本定理之一。在本节之前，教材已经介绍了库仑定律求解真空中静止点电荷周围激发的静电场问题，学生感觉利用该定律求解静电场在有些情况下比较复杂．本节内容安排了从特殊到一般的高斯定理的归纳过程，由特殊的以点电荷为球心的球面积分模型出发，进行不断变化，最终得出一般表达式，让学生亲身经历高斯定理的推导过程．根据电荷的分布特点，选择适当的高斯面，使用此定理能够更为方便地求出具有对称性分布的电场强度，将高斯定理与库仑定律联系对比，使学生认识到用高斯定理求解具有某种对称性的带电体周围分布的电场时较一般方法更加简单方便．同时也说明了静电场是有源场．电场中高斯定理的学习为之后稳恒磁场高斯定理的学习和理工科专业后续专业课程（比如电子信息工程专业课《电磁场与波》的学习）中计算电场强度奠定了基础，学生通过学习该定理能掌握科学的思维方法和研究方法，体验物理学中的对称和谐之美。 （二）学生学习基础分析 学生在学习本节之前，已掌握了利用库仑定律求解真空中静止点电荷周围的电场强度Ｅ，体会到利用该定律求解对数学尤其是积分运算要求较高且计算过程比较复杂，那么，求解带电体周围激发的静电场Ｅ是否还有其他相对简便的方法？静电场是否是有源场？这些都是要和学生共同解决的问题．更重要的是静电场和稳恒磁场的物理规律具有一定的对称性，静电场的学习将为后续稳恒磁场的学习做铺垫。 二、教学目标设计 （一）知识与技能 1、深刻理解电场强度Ｅ的闭合曲面积分（或Ｅ的通量）与该闭合面所包围电荷之间的关系； 2、电通量概念的理解和正负的判断； 3、对于多个点电荷或连续分布带电体周围激发的电场，理解闭合曲面上Ｅ的本质
电通量高斯定理教案
电通量、静电场的高斯定理(第三次课) 2学时 本次课的内容为电通量的概念和静电场的高斯定理。高斯定理在电学中占有重要地位， 它表明了静电场是无旋的。高斯定理也是麦克斯韦方程组的基本方程之一。教材在引入 电场线的基础上，给出了电场强度通量的定义；然后讨论了点电荷放在球面中心时的电 通量；再将结论推广到一般情况。较好地体现了物理学中的归纳、演绎的研究方法。 授课对象在高中学习了如何利用电场线来描述电场，也学习了通量（包括电通量和磁通 量）的概念，为本节课的学习奠定了基础。但学生研究物理问题时运用归纳和演绎方法 的能力不足，在教学中有待通过引导使其能力得到逐步提高。 1、掌握电场线、电场强度通量的概念； 2、掌握静电场的高斯定理内容、以及内涵； 3、掌握利用高斯定理求解具有高度对称性的带电体的电场； 4、通过对高斯定理的推导，使学生掌握科学研究中归纳、演绎等基本的研究方法。 1、静电场的高斯定理的内容； 2、静电场的高斯定理的物理内涵。 1、静电场的高斯定理的物理内涵； 2、利用静电场的高斯定理求解具有高度对称性的带电体的电场。 以问题讨论方法为主。以引导、分析、归纳、互动等方法辅助教学。 多媒体、讲授 一、课程导入（约5分钟） 知识回顾（高中的电场线、电通量） 设问：静电场中闭合曲面的电通量遵循设么样的规律呢？ 二、新课展开（约40分钟） 概念：电场
设问：为了形象地描述静电场，可以采用什么样的方法？ 概念：电场线 设问：我们在中学学习过匀强电场中的电通量，在一般的电场中的电通量应如何计算？ 分析讨论定义：将曲面分割→每个面元处的电场可视为匀强电场→求出各面元的电通量ds B d ?=φ→将各面元的电通量累加（积分）? ??==s s ds B d φφ→整个曲面的电通量。 设问：在静电场中，如果曲面是闭合曲面，曲面的电通量有何规律呢？ 分析讨论：先讨论点电荷置于球面中心时球面的电通量→然后将球面推广到任意曲面→再讨论点电荷位于曲面外的情况→最后归纳得到高斯定理。 设问：高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，那么两者是不是等同的呢？ 分析讨论：主要强调两个方面——反映静电场的性质的角度不同；适用范围不同。 三、课堂讨论（约35分钟） 以例题形式讨论：均匀带电的球面、球体；无限长的柱面、柱体；无限大的平面的电场分布。 四、小结（约3分钟） 五、拓展（约6分钟） 讨论：求检验电荷在点电荷的电场中沿任意路径运动一周后电场力做的功。结论能否推广到任意静电场？ 六、作业：（约1分钟） 自编习题集下册，练习三。 1、马文蔚主编．物理学（上、下册）．高等教育出版社，2000年； 2、黄乔松、朱淑英．以电场线为纽带讲解真空中静电场的高斯定理．中国高教论丛， 26（2），p36~38，20XX 年。 归纳方法是科学研究的重要方法，为培养学生用归纳法从事科学研究的能力，在得到高 斯定理的过程中，应着力体现出归纳过程的步骤：一是搜集和积累一系列事物的经验或 知识素材；二是分析所得材料的基本性质和特点，寻找出其服从的基本规律或共同规 律；三是描述和概括（作出系统化判断）所得材料的规律和特点，从而将这些规律作为 预测同类事物的其他事物的基本原理。
电通量、高斯定理
习题 七 电通量、高斯定理 一、选择题 1、 一电场强度为→E 的均匀电场，→ E 的方向与x 则通过图中一半径为R 的半球面的电通量为（D ） A 、πR 2 E B 、 2 1πR 2E C 、2πR 2 E D 、0 提示：电通量的几何意义：穿过该曲面的电场线的条数。穿过该半球面的任一电场线必穿过两次，一次算正的，一次算负的，因半球面是有方向的，穿过该半球面的电场线的条数是代数量。 2、点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪种情况高斯面的电通量会发生变化（C ） A 、将另一点电荷放在高斯面外 B 、将球心处的点电荷移到高斯面内另一处 C 、将另一点电荷放进高斯面内 D 、改变高斯面半径大小 提示：由高斯定理知，高斯面的电通量只和面内的电荷有关。 3、真空中两平行带电平板相距为d ，面积为S ，且有d 2 << S ,带电量分别为+q 和-q ，则两极板之间的作用力大小为（ D ） A 、2 024d q F πε= B 、2 0q F S ε= C 、202q F S ε= D 、2 02q F S ε= 提示：A 板在B 板处的电场：000/222q S q E S σεεε= == B 板上一电荷微元的受力：00()() ()22q q dF dq E dq dq S S εε=== B 板总受力：2 000()()2222S S S q q q q F dF dq dq q S S S S εεεε====?=??? 4、如果一点电荷q 位于立方体一个顶点上，则通过不与该顶点相连的任一立方体侧面的电通量为（ D ） A 、0 B 、 εq C 、 6εq D 、 24εq 提示：以该立方体为一个卦限，作一边长为该立方体边长2倍的立方体。将大立方体的6个面分别分成4个小正方形，这样的小正方形共24个。由
大学物理学教案
《大学物理学》教案 教学课题：§8.2 电通量高斯定理 选用教材：赵近芳.《大学物理学》（第3版）.北京邮电大学出版社
教学指标 课题：§8.2 电通量高斯定理 课型：新授课 课时：1课时 教学目标： 1.学生理解电通量的概念 2.学生掌握各种几何面电通量的计算 3.学生通过典型例题分析，自行导出高斯定理 4.学生正确理解高斯定理的含义，并能简单运用 教学内容： 1.电通量指电场线对于某几何面的通过量值，对电通量概念的理解是导出 高斯定理的前提与基础。 2.高斯定理是静电学部分非常重要的定理之一，是计算具有高度对称性静 电场的强大理论工具。 3.高斯定理表明了场强通过任意闭合曲面的通量与闭合曲面内的电荷之间 的数值关系，高斯定理内容的正确理解是准确运用高斯定理的保证。 教学重点：高斯定理内容 教学难点：高斯定理理解 教学方法与手段：知识点的推进遵从循序渐进、由表及里的原则。以多媒体教学为主要手段，辅以板书展示，利用详细语言讲授的方法，让学生通过眼、耳、大脑共同的感知，达到传授理论的目的。讲解过程结合适当练习达到具体、直观强化理论的目的。
教学过程： （一）导入新课 前面我们已经开始了静电场部分的学习，首先学习了库仑定律，我们知道了静止电荷周围存在静电场，并且用电场强度 q F E =定量的描述电场的性质，还学习了电场的计算，由点 电荷的电场r r q E 2041 πε= ，采用叠加原理计算各种带电体的电场分布。 我们本节课内继续研究静电场，进入本章第二节，电通量 高斯定理，这两点就是本堂课的重点。我们将学习电通量的计算、导出高斯定理、并准确理解定理内容。 （二）讲授新课 § 8.2 电通量 高斯定理 一、电场线 (Electric Field Lines) 1、 电场线 曲线上每一点的切线方向与该点电场方向E 一致 2、 E 的量值。 板书1： 点电荷的电场 r r q E 2 041 πε= 幻灯片1 根据点电荷电场线图理解定义， 电场线不仅要体 现各点场强方向还应反应出各点场强大小，如何？ 幻灯片2 板书2： 正点电荷电力线
电通量、高斯定理答案
习题十一 电通量、高斯定理 一、选择题 1、 一电场强度为→ E 的均匀电场，→ E 的方向与x 则通过图中一半径为R 的半球面的电通量为（D ） A 、πR 2E B 、 2 1 πR 2E C 、2πR 2E D 、0 2、点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪种情况高斯面的电通量会发生变化（C ） A 、将另一点电荷放在高斯面外 B 、将球心处的点电荷移到高斯面内另一处 C 、将另一点电荷放进高斯面内 D 、改变高斯面半径大小 3、真空中两平行带电平板相距为d ，面积为S ，且有d 2<l ）为半径作球面，则通过该 球面的电通量为1 0-εQ ，在带电直线的延长线上与球面的交点处的场强大小为 1 0224-?? ? ?????? ??-??? ?? +l R l R Q πε。 2、由一半径为R 、均匀带有电量Q 的球面，产生的电场空间，在距离球心r 处的电场强度为：当 r
静电场的高斯定理复习题
－ 选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ε； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕 答案：()D 3.在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ， 2φ，3φ，则 ()A 1230Ebc Ebc φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==； ()C 22123Eac Ec a b Ebc φφφ=-=-+=-； ()D 22 123Eac Ec a b Ebc φφφ==+=。 〔 〕 答案：()B 4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： ()A 高斯面上各点场强均为零。 ()B 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。 ()C 穿过整个高斯面的电通量为零。()D 以上说法都不对。 〔 〕 答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。 在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和 2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。 〔 〕 答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 7.A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电荷q +，B 带电荷q -，作一与A 同心的球面S 为高斯面，如图所示。则 x y z a b c E O A A B B C x O q q a 2a S 1 S 2 A S +q r -q B
高斯定理
电场与磁场的散度定理和旋度定理磁通连续性原理 散度定理(高斯定理)：一个矢量通过包围它的闭合面的总通量（矢量的面积分）等于该矢量的散度（和算子点乘）在该闭合面构成的体积内的体积分。散度定理搭建了面积分与体积分之间的转换桥梁。散度定理可用一个球图示。 散度定理是高斯定理在物理中的应用.即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分 旋度定理（斯托克斯定理）：一个矢量的闭合线积分等于矢量的旋度（和算子叉乘）在该闭合线围成的开放面上的面积分。旋度定理搭建了线积分与面积分之间的转换桥梁。旋度定理可用一个环图示。 散度定理和旋度定理是将麦克斯韦方程从积分形式向差分形式转化的基础，而麦克方程的差分形式方才便于求解。 高斯散度定律有"两个"，分别是对电通密度矢量和磁通密度矢量而言，也即分别描述电场和磁场。高斯定律描述的是流出闭合面的电通/磁通总量与电场源/磁场源之间的对应关系。 1)对电场来说（闭合面内有电场源，对应流出闭合面的是电通总量），高斯定律描述如下：电通密度矢量D在S上的闭合面积分，等于电荷体密度在该闭合面围成的体积内的体积分。D单位C/m^2，电荷体密度单位C/m^3。电场高斯定律的物理意义是：流出闭合面的总电通量等于闭合面内包围的总正电荷。 也就是说，电场源是独立的，电场是一去不返的，从正电荷出发，到负电荷终止。其微分方程如下: 表示电场是有散场，这
是由于自然界存在着自由电荷，因此，▽·E ≠0的地方，味着此处一定存在着净的正电荷或净的负电荷. （1）自然界存在着自由电荷，电子电荷的绝对值e 就是自由电荷的基本值. （2）静电场的场线即E 线始发于正电荷并终止于负电荷，也就是说静电场的E 线不是闭合曲线，它们没有涡旋状结构.即无旋.静电场的这种性质，反映在电场高斯定理和环路定理中. 2)对磁场来说（对应流出闭合面的是磁通总量）(磁通连续性原理)，高斯定律描述如下：磁通密度矢量B在S上的闭合面积分，等于0。B单位Wb/m^2。磁场高斯定律的物理意义是：通过任意闭合曲面S 的净磁通量必定恒为零。也就是说，自然界不存在独立的磁场源，磁场是有来有去的，磁力线通过任意闭合面后必然会从相反方向再次通过。磁力线是闭合的！ 式子 这就是磁场的“高斯定理”.它反映了磁通量的连续性，所以也被称为“磁通连续性原理”.