线性代数习题及答案复旦版

线性代数习题及答案(复旦版)[]

线性代数习题及答案

习题一

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659；(2) 987654321；

(3) n(n?1)…321；(4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2.

【解】

(1) τ(341782659)=11;

(2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n(n?1)…32221)= 0+1+2 +…+(n?1)=;

(4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1).

2. 略.见教材习题参考答案.

3. 略.见教材习题参考答案.

4. 本行列式的展开式中包含和的项.

解：设，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有

展开式中含项有

5. 用定义计算下列各行列式.

(1)；(2).

【解】(1) D=(?1)τ(2314)4!=24; (2) D=12.

6. 计算下列各行列式.

(1)；(2) ；

(3)；(4) .

【解】(1) ;

(2) ;

7. 证明下列各式.

(1) ；

(2) ；

(3)

(4) ；

(5) .

【证明】(1)

(2)

(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

(4) 对D2n按第一行展开，得

据此递推下去，可得

(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.

当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.

按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

但由归纳假设

从而有

8. 计算下列n阶行列式.

(1) (2) ；

(3). (4)其中；

(5).

【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得

将第一行乘（?1）后分别加到其余各行，得

(2) 按第二行展开

(3) 行列式按第一列展开后，得

(4)由题意，知

(5)

即有

由得

9. 计算n阶行列式.

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得

将第一行乘（?1）后加到其余各行，得

10. 计算阶行列式（其中）.

【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.

11. 已知4阶行列式

;

试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式. 【解】

同理

12. 用克莱姆法则解方程组.

(1) (2)

【解】方程组的系数行列式为

故原方程组有惟一解，为

13. λ和μ为何值时，齐次方程组

有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式即

故或时，方程组有非零解.

14. 问：齐次线性方程组

有非零解时，a,b必须满足什么条件？

【解】该齐次线性方程组有非零解

，a,b需满足

即(a+1)2=4b.

15. 求三次多项式，使得

【解】根据题意，得

这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于

故得

于是所求的多项式为

16. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.

【解】设平面上的直线方程为

ax+by+c=0 (a,b不同时为0)

按题设有

则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.

习题二

1. 计算下列矩阵的乘积.

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）.

【解】

(1) (2); (3) (10);

(4)

(5); (6) .

2.设，，

求(1);(2) ；(3) 吗?

【解】(1) (2)

(3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2.

3. 举例说明下列命题是错误的.

(1) 若，则；(2) 若，则或；

(3) 若，，则.

【解】

(1) 以三阶矩阵为例，取,但A≠0

(2) 令,则A2=A,但A≠0且A≠E

(3) 令

则AX=AY,但X≠Y.

4.设, 求A2，A3，…，Ak.

【解】

5.，求并证明：

【解】

今归纳假设

那么

所以，对于一切自然数k,都有

6. 已知，其中

求及.

【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得

而

7. 设，求||.

解：由已知条件，的伴随矩阵为

又因为，所以有

，且，

即

于是有.

8.已知线性变换

利用矩阵乘法求从到的线性变换.

【解】已知

从而由到的线性变换为

9.设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.

【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,

所以(B′AB)′=B′A′B=B′AB,

故也为对称阵.

10.设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA. 【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.

则AB=(AB)′=B′A′=BA,

反之，因AB=BA,则

(AB)′=B′A′=BA=AB,

所以，AB为对称阵.

11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：

(1) B2是对称矩阵.

(2) AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.

【证明】

因A′=A,B′= ?B,故

(B2)′=B′2B′= ?B2(?B)=B2;

(AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′

= ?BA?A2(?B)=AB?BA;

(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′

= ?BA+A2(?B)= ?(AB+BA).

所以B2是对称矩阵，AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.

12. 求与A=可交换的全体二阶矩阵.

【解】设与A可交换的方阵为,则由

得

由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.

13. 求与A=可交换的全体三阶矩阵.

【解】由于

A=E+,

而且由

可得

由此又可得

所

以

即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.

14.求下列矩阵的逆矩阵.

(1) ；(2) ；

(3)；(4)；

(5)；(6)，

未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.

【解】

(1) ; (2) ;

(3) ; (4) ;

(5) ; (6) .

15. 利用逆矩阵，解线性方程组

【解】因,而

故

16. 证明下列命题：

(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.

(2) 若A可逆，则A*可逆且（A*）?1=（A?1）*.

(3) 若AA′=E,则（A*）′=(A*)?1.

【证明】（1）因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得

|A|2|B|2B*A*=|AB|E(B*A*)

=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*

=(AB) *A|B|EA*=|A|2|B|(AB) *.

∵|A|≠0,|B|≠0,

∴(AB) *=B*A*.

(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A?1,从而(A?1) *=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A.

A* (A?1) *=|A|A?12|A|?1A=E,

所以

(A?1) *=(A*)?1.

(3) 因AA′=E，故A可逆且A?1=A′.

由(2)(A*)?1=(A?1) *,得

(A*)?1=(A′) *=(A*)′.

17.已知线性变换

求从变量到变量的线性变换.

【解】已知

且|A|=1≠0,故A可逆，因而

所以从变量到变量的线性变换为

18.解下列矩阵方程.

(1) ；

(2)；

(3) ；

(4) .

【解】(1) 令A=;B=.由于

故原方程的惟一解为

同理

(2) X=; (3) X=; (4) X=

19. 若(k为正整数)，证明：

【证明】作乘法

从而E?A可逆，且

20.设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A?1及(A+2E)?1. 【证】因为A2?A?2E=0,

故

由此可知，A可逆，且

同样地

由此知，A+2E可逆，且

21. 设，,求.

【解】由AB=A+2B得(A?2E)B=A.

即A?2E可逆，故

22.设.其中，，求.

【解】因可逆，且故由

得

23. 设次多项式，记,称为方阵的次多项式.

(1)，证明

，；

(2) 设，证明，.

【证明】

(1)即k=2和k=3时，结论成立.

今假设

那么

所以，对一切自然数k，都有

而

(2) 由(1)与A=P ?1BP,得

B=PAP ?1.

且

Bk=( PAP ?1)k= PAkP ?1,

又

24. ，证明矩阵满足方程.

【证明】将A代入式子得

故A满足方程.

25. 设阶方阵的伴随矩阵为，

证明：(1) 若｜｜＝０，则｜｜＝０；

(2) .

【证明】（1）若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*|≠0，则有A*( A*)?1=E,由此又得A=AE=AA*( A*)?1=|A|( A*)?1=0,

这与| A*|≠0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0.

(2) 由A A*=|A|E，两边取行列式，得

|A|| A*|=|A|n,

若|A|≠0，则| A*|=|A|n?1

若|A|=0,由(1)知也有

| A*|=|A|n?1.

26.设

求(1) ; (2); (3) ；(4)｜｜k (为正整数).

【解】

(1); (2) ;

(3) ; (4).

27. 用矩阵分块的方法，证明

下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.

（1）；（2）;

（3）.

【解】(1) 对A做如下分块

其中

的逆矩阵分别为

所以A可逆，且

同理(2)

(3)

习题三

1. 略.见教材习题参考答案.

2. 略.见教材习题参考答案.

3. 略.见教材习题参考答案.

4. 略.见教材习题参考答案.

5.，证明向量组线性相关.

【证明】因为

所以向量组线性相关.

6. 设向量组线性无关，证明向量组也线性无关，这里【证明】设向量组线性相关，则存在不全为零的数使得

把代入上式，得

又已知线性无关，故

该方程组只有惟一零解，这与题设矛盾，故向量组线性无关.

7. 略.见教材习题参考答案.

8. .证明：如果，那么线性无关.

【证明】已知,故R(A)=n,而A是由n个n维向量

组成的，所以线性无关.

9. 设是互不相同的数，r≤n.证明：是线性无关的.

【证明】任取n?r个数tr+1,…,tn使t1,…,tr,tr+1,…,tn互不相同，于是n阶范德蒙行列式

从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量也线性无关.

10. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组.

【证明】若(1)

线性相关，且不妨设

(t<r) (2)

是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是的一个极大无关组，这与的秩为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组.

11. 求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.

【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.

当k=1时，的秩为为其一极大无关组.

当k≠1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.

12. 确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1),

=(1,2,1),=(1,0,?1)的秩相同，且可由线性表出.

【解】由于

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

要使可由线性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0).

13. 设为一组n维向量.证明：线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出. 【证明】充分性: 设任意n维向量都可由线性表示，则单位向量，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组的秩为n，因此线性无关.

必要性：设线性无关，任取一个n维向量,则线性相关，所以能由线性表示.

14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.

证明：由已知条件，，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且

，

又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且

，

所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.

15. 略.见教材习题参考答案.

16. 设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.

【解】设向量组

(1)

与向量组

(2)

的极大线性无关组分别为

(3)

和

(4)

由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即

因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.

17. 设A为m3n矩阵，B为s3n矩阵.证明：

【证明】因A,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示，故

同理

故有

又设R(A)=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R（B）=k, 是B的行向量组的极大线性无关组.设是中的任一行向量，则若属于A的行向量组，则可由表示，若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示，故

所以有

18. 设A为s3n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r3s矩阵.证明：B＝KA行无关的充分必要条件是R(K)=r.

【证明】设

A=(As,Ps3(n?s)),

因为A为行无关的s3n矩阵，故s阶方阵As可逆.

()当B=KA行无关时，B为r3n矩阵.

r=R(B)=R(KA)≤R(K),

又K为r3s矩阵R(K)≤r,∴R(K)=r.

()当r=R(K)时，即K行无关，

由B=KA=K(As,Ps3(n?s))=(KAs,KPs3(n?s))

知R(B)=r,即B行无关.

19. 略.见教材习题参考答案.

20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.

(1)；(2).

【解】(1) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为;

(2) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为.

21. 略.见教材习题参考答案.

22. 集合V1＝{()｜∈R且＝0}是否构成向量空间?为什么?

【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设)则

因为

所以,故是向量空间.

23. 试证：由,生成的向量空间恰为R3.

【证明】把排成矩阵A=(),则

所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3.

24. 求由向量所生的向量空间的一组基及其维数.

【解】因为矩阵

∴是一组基，其维数是3维的.

25. 设,证明:

【解】因为矩阵

由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以

26. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基

下

有相同的坐标.

【解】设在两组基下的坐标均为()，即

即

求该齐次线性方程组得通解

(k为任意实数)

故

27. 验证为R3的一个基，并把

用这个基线性表示.

【解】设

又设

即

记作B=AX.

则

因有,故为R3的一个基，且

即

习题四

1. 用消元法解下列方程组.

(1) (2)

【解】(1)

得

所以

(2)

①

②

③

解②?①32得x2?2x3=0

③?①得2x3=4

得同解方程组

④

⑤

⑥

由⑥得x3=2,

由⑤得x2=2x3=4,

由④得x1=2?2x3 ?2x2 = ?10, 得(x1,x2,x3)T=(?10,4,2)T.

2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.

(1) (2)

(3) (4)

【解】(1)

得同解方程组

得基础解系为

(2) 系数矩阵为

∴其基础解系含有个解向量.

基础解系为

(3)

得同解方程组

取得基础解系为

(?2，0，1，0，0)T,(?1，?1，0，1，0). (4) 方程的系数矩阵为

∴基础解系所含解向量为n?R(A)=5?2=3个取为自由未知量

得基础解系

3. 解下列非齐次线性方程组.

(1) (2)

(3) (4)

【解】

（1）方程组的增广矩阵为

得同解方程组

(2) 方程组的增广矩阵为

得同解方程组

即

令得非齐次线性方程组的特解

xT=(0，1，0，0)T.

又分别取

得其导出组的基础解系为

∴方程组的解为

(3)

∴方程组无解.

(4) 方程组的增广矩阵为

分别令

得其导出组的解为

令,

得非齐次线性方程组的特解为：xT=(?16,23,0,0,0)T,

∴方程组的解为

其中为任意常数.

4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.

车间

消耗系数

车间

出厂产量

（万元）

总产量

（万元）

0.1

0.2

0.45

0.2

0.3

0.5

0.12

55.6

表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.

解：根据表中数据列方程组有

即

解之

5. 取何值时，方程组

(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.

【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为

|A|=.

(1) 当≠1且≠?2时，|A|≠0，R(A)=R(B)=3.

∴方程组有惟一解

（2）当=?2时，

R(A)≠R(B),∴方程组无解.

(3) 当=1时

R(A)=R(B)<3,方程组有无穷解.

得同解方程组

∴得通解为

6. 齐次方程组

当取何值时，才可能有非

零解?并求解.

【解】方程组的系数矩阵为

|A|=

当|A|=0即=4或=?1时，方程组有非零解.

(i) 当=4时,

得同解方程组

(ii) 当=?1时,

∴()T=k2(?2,?3,1)T.k∈R

7. 当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.

（1）(2)

【解】方程组的增广矩阵为

(1)

(i) 当b≠?52时,方程组有惟一解

(ii) 当b=?52,a≠?1时，方程组无解.

(iii) 当b=?52，a=?1时，方程组有无穷解.

得同解方程组

(*)

其导出组的解为

非齐次线性方程组（*）的特解为

取x4=1,

∴原方程组的解为

(2)

(i) 当a?1≠0时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.

(ii) 当a?1=0时,b≠?1时，方程组R(A)=2<R()=3,

∴此时方程组无解.

(iii) 当a=1，b= ?1时，方程组有无穷解.

得同解方程组

取

∴得方程组的解为

8. 设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.

【解】设B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量,

由

为Ax=0的解.

求=0的解.由

得同解方程组

∴其解为

取

则

9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及

求方程组Ax=b的通解.

【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组

R(A)=1Ax=0的基础解系中含有3?R(A)=3?1=2个解向量.

由为Ax=b的解为Ax=0的解,

且线性无关为Ax=0的基础解系.

又

∴方程组Ax=b的解为

10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.

(1)

(2)

【解】

(1) 设齐次线性方程组为Ax=0

由为Ax=0的基础解系，可知

令k1=x2 , k2=x3

Ax=0即为x1+2x2?3x3=0.

(2) A()=0A的行向量为方程组为的解.

即的解为

得基础解系为=(?5 ?1 1 1 0)T =(?1 ?1 1 0 1)T

方程为

11. 设向量组=（1，0，2，3），=（1，1，3，5），=（1，?1，a+2，1），=（1，2，4，a+8），=（1，1，b+3，5）

问：（1）a，b为何值时，不能由，，，线性表出？

（2）a，b为何值时，可由，，，惟一地线性表出？并写出该表出式.

（3）a，b为何值时，可由，，，线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式. 【解】

(*)

(1) 不能由，，，线性表出方程组（*）无解,即a+1=0,且b≠0.即a=?1,且b≠0.

(2) 可由，，，惟一地线性表出方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠?1.

(*) 等价于方程组

(3) 可由，，，线性表出，且表出不惟一方程组（*）有无数解，即有

a+1=0,b=0a=?1,b=0.

方程组（*）

为常数.

∴

12. 证明：线性方程组有解的充要条件是.

【解】

方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A)

得证.

13. 设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明

（1）线

性无关；

（2）线性无关.

【证明】

(1) 线性无关

成立,

当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),k=0

∵为Ax=0的基础解系

由于

由于为线性无关

∴线性无关.

(2) 证线性无关.

成立

当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),且k=0

即

由(1)可知，线性无关.

即有ki=0(i=1,2,…,n?r),且

∴线性无关.

14. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)

（Ⅰ）(Ⅱ)

(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；

(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵进行行初等变换

由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组

（*）

得方程组（*）的基础解系

令，得方程组（Ⅰ）的特解

于是方程组（Ⅰ）的通解为，k为任意常数。

(2) 方程组（Ⅱ）的增广矩阵为

系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，令

(**)

方程组（**）的基础解系为

当时，，当时，

方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解，则，故有

把m，n代入方程组，同时有，即t = 6.

也就是说当m=2，n=4，t=6时，方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解.

习题五

1. 计算.

【解】

2.把下列向量单位化.

(1) ＝（3，0，－1，4）；(2)＝（5，1，－2，0）. 【解】

3. 利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.

(1) 1 =(0，1，1)′, 2 =(1,1,0)′, 3 =(1,0,1)′;

(2) 1 =(1,0,?1,1), 2 =(1,?1,0,1), 3 =(?1,1,1,0)

【解】

4. 试证，若n维向量与正交，则对于任意实数k，l，有k与l正交. 【证】与正交.

∴与正交.

5.下列矩阵是否为正交矩阵.

【解】

(1) A′A≠E, ∴A不是正交矩阵

(2) A′A=EA为正交矩阵