数学分析学年论文

学年论文

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2011 年月日

浅谈微积分以及如何学好数学分析

什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念

如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。

微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。

微积分的基本原理告诉我们求导和积分是互逆的运算，微积分的精髓告诉我们我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于我们化曲为直了，现实生活中我们会遇到很多非线性问题，那么解决这样的问题有没有统一的方法呢？经过研究思考和总结，我认为，微积分的基本方法在于：先微分，后积分。

定理：如果函数F(x)是连续函数，则f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.牛顿--莱布尼兹公式公式进一步揭示了定积分与原函数(不定积分）之间的联系。它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数在[a,b]上的增量。因此它就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

要学好微积分，我觉得应该注意以下3个方面：

1、基本概念

常常是这样,理解概念比理解定理更困难,而且更基本.概念不清前进.理解概念要从两个方面入手.一是概念的内涵,一是概念的外延.概念的内涵就是概念的基本属性.概念的外延就是概念所概括的一切对象.微积分的基本概念有五个:函数,极限,导数,微分和定积分.

函数概念讲的是两个实数集合间的对应关系.首先使用函数一词的是莱布尼兹,在1692年的论文中他第一次提出函数这一概念.随着数学的发展,函数的定义不断改进和明确.最先将函数概念公式化的是约翰.伯努利,他在1718年说:"一个变量的函数是指由这个变量和常量以任意一种方式组成的一种量."欧拉将伯努利的思想进一步解析化.在《无限小分析引论》(1748)中,他将函数定义为"变量的函数是一个由该变量与一些常数以任意方式组成的解析表达式.并明确宣布:"数学分析是关于函数的科学."微积分被视为建立的微分基础上的函数论.欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位.在这一定义的基础上,函数概念本身大大丰富了.欧拉还明确区分了代数函数与超越函数.他把超越函数看成是用无穷多次算术运算得到的表达式,即用无穷级数表示的函数.第一个给出函数一般定义的是

狄里克雷.并且给出了一个不能画出图形的函数,即狄里克雷函数.狄里克雷的定义使函数概念摆脱了公式的束缚是函数概念现代化进程中重要的一步.

极限概念描述函数在一定变化过程中的终极状态.朴素的,直观的极限思想在古代已经诞生.随着微积分的诞生,对极限概念的要求越来越高.但牛顿,莱布尼兹的极限概念是模糊的.到19世纪,当数学家们转向微积分基础的重建是,极限概念才置于严密的理论基础之上.现在使用的定义是柯西和魏尔斯特拉斯给出的.在柯西的基础上,魏尔斯特拉斯创造了语言.这种语言实质上是将动态过程静态化,就像电影与它的胶片的关系.

极限概念要解决的主要矛盾是近似与精确的矛盾.圆周率的计算史清楚地说明了这一点.面积,体积,弧长以及质量,转动惯量等的计算都涉及到近似与精确的处理.导数,微分和定积分所解决的问题都是一种特殊的极限问题,都是要解决近似与精确的矛盾的.因而从这个意义上讲,微积分是逼近的学问.相对而言,代数是归纳的学问.代数定理的证明多用归纳法.

2、基本运算

微积分最基础的运算是,四则运算,函数的复合运算与极限运算.函数的复合运算是新运算,从基本初等函数出发,借助复合运算与四则运算产生全部初等函数.极限运算引申出求导,求微分和求积分的运算.极限运算是初等数学与高等数学的分水岭,它使求导运算和积分运算回归到四则运算.微分法则中最重要的是锁链法则:

1)它解决了全部初等函数的求导问题;

2)隐函数与反函数求导法是它的推论;

3)引出一阶微分形式不变性,免除了自变量与因变量的区别,而获得了极大自由.

4)一阶微分形式不变性构成积分学中换元积分法的基础.

微积分的基础：

微积分是关于函数的学问.一元微积分中的任何函数都含有两个变量,一个是自变量,一个是因变量.不管是自变量,还是因变量都取实数值.因而,微积分是建立的实数论的基础上的,而且它涉及到一切形式的实数:整数,有理数与无理数等.所以,人们必须弄清实数的结构和性质,才能放心大胆地使用它们.这就是说,对微积分而言,建立实数理论是必要的.但事实上并不如此,数学家们先是糊里糊涂地用,直到出了问题才想到去建立实数理论.实数理论是在19世纪后期建立的,有了实数论微积分就有了严密的基础.大家知道,由有理数构成的序列,它的极限不一定是有理数.人们自然会问,由实数组成的序列,它的极限一定是实数吗?这就是实数论所研究的一个重要问题.答案是,实数序列的极限一定是实数.这件事为什么重要?理由是明显的.导数和定积分都是用极限定义的,这些极限存在吗?它们是实数吗?微积分没有回答这个问题.如果它们的极限不存在,或者存在而不是实数,微积分不就变成空中楼阁了吗?所以这个问题是至关重要的问题.

3、定理

数学是解决问题的艺术.与其他科学家不同的是,数学家有一个专门名词来表达他们对某个问题的解决—那就是定理.如何学好定理?我们提出五个怎样:怎样发现定理;怎样证明定理;怎样理解定理;怎样应用定理;怎样推广定理.如果你能够从这五方面考察一个定理,你就会对定理有一个较为全面的理解.

微积分中的主要定理都有明显的几何意义,或物理意义.学习这些定理一定要结合它们的实际背景,方能学得深.

在微积分中什么定理最重要?答案是,微积分基本定理.它相当于数论中的算

术基本定理,与代数中的代数基本定理.微积分基本定理的发现终于将微分学与积分学这两大分支连成一个整体.

在函数部分,一个需要强调的重要定理是反函数存在定理.有了反函数存在定理,就可以从指数函数出发去定义对数函数,从三角函数出发去定义反三角函数.

可见,反函数存在定理是产生新函数的工具.

在极限理论中,有两个重要极限.它们分别是三角函数求导公式和对数函数求导公式的基础.在微积分中有两个重要常数,即和.与指数函数和对数函数密切相关,而与面积和体积密切相关.在微分学中,拉格朗日中值定理起着核心的作用,它是研究函数性质的主要工具,借助函数在一点的性质,表达了函数的某种整体性质.洛必达法则为求不定型极限提供了方便而有力的工具.

数学分析，是一门深奥而又有趣的课程。如果增加对这门课程的自信心，不要畏惧它，你会很容易接受这门课，你也会发觉其实这门课程并不难，这对于学好数学是一个非常必要的条件。

培根说，“数学是科学的大门和钥匙。”的确，数学是科学技术的基础。数学分析与应用数学（包括线性代数、概率论与数理统计、复变函数、数学物理方程，等等）是各专业的重要基础理论课。在会计专业里，比如财务成本管理，审计，评估，管理会计，……等等科目里都有高等数学的影子；在经济学领域里，更是如此。无论微观经济还是宏观经济的经典理论里都有高等数学的烙印。大凡经济学大家们，数学功底都极深。比如，约翰·纳什，萨缪尔逊，中国的茅于轼，……都是数学家或者有相当深厚的数学功底。即使是有些敌视数理经济学的张五常，也免不了要创造一个“张式数学”（这是俺给的名字）来加强论文说服力和逻辑性。

数学学科的特点是高度的抽象理论与严密的逻辑推理，要通过学习数学提高抽象思维能力，逻辑推理能力，数学运算能力以及应用数学解决实际问题的能力。任何一门数学课的内容都是由基本概念(定义)、基本理论(性质与定理)、基本运算(计算)及应用四部分组成，要学好数学就要在这四个部分上认真钻研刻苦努力，多下功夫。

基本概念要清楚，要读懂，要理解透彻、叙述准确，不能似是而非、一知半解。数学分析的推理完全靠基本概念，基本概念不清楚，很多内容就学不懂，无法掌握和运用。例如，线性代数中向量组的线性相关性、线性无关性，向量组的秩与极大无关组，矩阵的相似对角形等，初学者往往掌握不深不透，这就要通过复习与作习题的过程中逐步深入、反复思考、彻底读懂。

基本理论是数学分析推理论证的核心，是由一些概念、性质与定理组成的，有些定理并不要求每位初学者都会证明，但定理的条件和结论一定要清楚，要熟悉定理并学会使用定理，有些内容是必须牢记的。例如，矩阵的初等变换是线性代数的重要内容之一。求逆方阵、求矩阵的秩，解线性方程组等都离不开矩阵的初等变换，要懂得其中的道理，为什么可以用初等变换解决以上问题，理论依据是什么？是作初等行变换还是列变换。又如，线性方程组解的存在定理及解的结构定理，判断向量组线性相关与线性无关的有关定理，都是必须牢记的。在概率论的学习中，微积分知识对于理解概率统计的理论很重要。

掌握数学分析概念和理论并学会运用主要靠作题，在读懂了内容后要作题，而且要作一定数量的题，才能不断加深对内容的理解，提高解题能力，熟才能生巧，捷径是没有的，“不作题等于没学数学”这是大家公认的事实。在解题过程中要不断总结思路和方法，掌握解题规律性，通过作题提高分析问题、解决问题的能力，也就是逐步提高数学分析素养。

要学好数学分析就要认真对待学习的各个环节。首先是听课，听课要精神集中，如能预习效果会更好，要抓住教师讲课中对问题的分析，作好笔记，学会自己动手，边听边记，特别要记下没有听懂的部分。第二个环节是复习整理笔记及作题，课下结合教材和笔记进行复习，要对笔记进行整理按自己的思路，整理出这一次课的内容。在复习好并掌握了内容后再作习题，切忌边翻书边看例题，照猫画虎式地完成练习册上的习题，这样做是收不到任何效果的。要用作题来检验自己的学习，是真懂了还是没完全懂。对于没有彻底读懂的地方再反复思考，直到完全读懂。

接着是阶段总结。每学完一章，自己要作总结。总结包括一章中的基本概念，核心内容；本章解决了什么问题，是怎样解决的；依靠哪些重要理论和结论，解决问题的思路是什么？理出条理，归纳出要点与核心内容以及自己对问题的理解和体会。

最后是全课程的总结。在考试前要作总结，这个总结将全书内容加以整理概括，分析所学的内容，掌握各章之间的联系。这个总结很重要，是对全课程核心内容、重要理论与方法的综合整理。在总结的基础上，自己对全书内容要有更深一层的了解，要对一些稍有难度的题加以分析解决以检验自己对全部内容的掌握。