2020年河南省高考数学(理科)模拟试卷(2)

2020年河南省高考数学（理科）模拟试卷（2）

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（） A ．A ∩B =(0，5

] B ．A ∩B =(0，13

] C ．A ∪B =(1

3，+∞)

D ．A ∪B ＝（0，+∞）

2．（5分）i 是虚数单位，x ，y 是实数，x +i ＝（2+i ）（y +yi ），则x ＝（） A ．3

B ．1

C ．?1

D ．1

3．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P （﹣3，4），则sin2α＝（） A ．?24

B ．?7

C ．

1625

D ．8

4．（5分）空气质量指数AQI 是反应空气质量状况的指数，AQI 越小，表明空气质量越好．如表： AQI 指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300 空气质量

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染

下图是某城市5月1日～5月20日AQI 指数变化的趋势，则下列说法正确的是（）

A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于200

B ．这20天中的重度污染及以上的天数占

110

C ．该城市5月前半个月的空气质量越来越好

D ．该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好

5．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 和准线为l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且FA →

=?2FB →

，则|AB |＝（） A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

6．（5分）为计算S ＝1+23+32+43+52+…+992+1003设计了如图所示的程序框图，则在和

两个空白框中分别可以填入（）

A ．i ≤101和N ＝N +（i +1）3

B ．i ＜99和N ＝N +（i +1）2

C ．i ≤99和N ＝N +（i +1）2

D ．i ＜101和N ＝N +（i +1）3

7．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（） A ．f （x ）＝xlnx B ．f （x ）＝e x ﹣e ﹣

C ．f （x ）＝sin2x

D ．f （x ）＝x 3﹣x

8．（5分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点D 、E 分别在线段AB 、CD 上，且BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则BE →

?AB →

=（） A ．﹣3

B ．﹣6

C ．4

D ．9

9．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的正弦值为（） A ．1

B ．

√10

C ．

√15

D ．

√63

10．（5分）已知双曲线C ：

x 2a 2?y 2

b 2

=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（） A ．√2

B ．2+√2

C ．2

D ．√2+√2

11．（5分）已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数f '（x ），当x ≥0时，恒有x 3

f′(x)+f(x)

＞0，则不等式x 3f （x ）﹣（1+2x ）3f （1+2x ）＜0的解集为（）

A ．{x |﹣3＜x ＜﹣1}

B ．{x|?1＜x ＜?13

}

C ．{x |x ＜﹣3或x ＞﹣1}

D ．{x |x ＜﹣1或x ＞?13

}

12．（5分）如图，正三棱锥S ﹣ABC 中，侧面SAB 与底面ABC 所成的二面角等于α，动点P 在侧面SAB 内，PQ ⊥底面ABC ，垂足为Q ，PQ ＝PS ?sin α，则动点P 的轨迹为（）

A ．线段

B ．圆

C ．一段圆弧

D ．一段抛物线

二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．（3分）若a =∫ ln3

e x dx ，则(x 2?a

x )6）展开式的常数项为．

14．（3分）六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有种（用数字回答）．

15．（3分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x ﹣4．若f （x ）＜1在区间（m ﹣1，﹣2m ）上恒成立．则实数m 的取值范围是．

16．（3分）在△ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，则△ABC 面积的最大值为．

三．解答题（共5小题，满分24分）

17．（12分）已知等差数列{a n }满足a 2＝2a 1，a 4+a 5＝9，S n 为等比数列{b n }的前n 项和，2S n +1

＝S n +2．

（1）求{a n }，{b n }的通项公式；

（2）设c n ={3

4a n b n ，n 为奇数1a n

2，n 为偶数，证明：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜13

6．

18．如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA ＝AB ＝AC ．（Ⅰ）求证：DA ∥平面EBC ；

（Ⅱ）若∠BAC =π

2，DE ⊥平面BCE ，求二面角A ﹣DC ﹣E 的余弦值．

19．（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．

乙生产线样本的频数分布表

质量指标值[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45]合计频数2184811162100（1）根据乙生产线样本的频率分布表，在指标小于25的产品中任取2件，求两件都为合格品的概率；

（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述表格提供的数据，

①绘制两条生产线合格率的等高条形图（图2）；

②完成下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质

量指标值与设备改造有关？若有97.5%的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？

甲生产线乙生产线合计

合格品不合格品合计

附： P （K 2≥k 0）

0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

K 2

=n(ad?bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．

20．已知函数f(x)=x 2?2ax ?ln 1

，a ∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性；

（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值． 21．已知动圆C 与圆C 1：(x ?2)2+y 2=1外切，又与直线l ：x ＝﹣1相切．设动圆C 的圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；

（2）在x 轴上求一点P （不与原点重合），使得点P 关于直线y =12

x 的对称点在曲线E 上．

四．解答题（共1小题）

22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（√2，0）为一个顶点．直线l 的参数方程是{x =1?t y =2t ，（t 为参数）．

（Ⅰ）求椭圆C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 的交点分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），求线段MN 的长度．五．解答题（共1小题）

23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|+|x ﹣1|．

（1）若不等式f （x ）＝x +m 有解，求实数m 的取值范围：

（2）函数f （x ）的最小值为n ，若正实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝n ，证明：4ab +bc +ac ≥8abc ．

2020年河南省高考数学（理科）模拟试卷（2）

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（） A ．A ∩B =(0，53

] B ．A ∩B =(0，13

] C ．A ∪B =(1

，+∞)

D ．A ∪B ＝（0，+∞）

【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |2

3＜x ＜2}，

则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（2

，2），

故选：D ．

2．（5分）i 是虚数单位，x ，y 是实数，x +i ＝（2+i ）（y +yi ），则x ＝（） A ．3

B ．1

C ．?1

D ．1

【解答】解：（2+i ）（y +yi ）＝y +3yi ，所以3y ＝1，x ＝y =1

，故选：D ．

3．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P （﹣3，4），则sin2α＝（） A ．?24

B ．?7

C ．

1625

D ．8

【解答】解：∵终边上点P （﹣3，4），∴sin α=4

5，cos α=?3

5， ∴sin2α=2sinαcosα=2×4

×(?35

)=?2425

．故选：A ．

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染

下图是某城市5月1日～5月20日AQI 指数变化的趋势，则下列说法正确的是（）

A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于200

B ．这20天中的重度污染及以上的天数占

110

C ．该城市5月前半个月的空气质量越来越好

D ．该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【解答】解：A 选项中高于200的只有三天，错误； B 选项中重度污染及以上的天数占

320

，错误；

C 选项4号到15号空气污染越来越严重，错误；

对于D 选项，总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D 正确．故选：D ．

5．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 和准线为l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且FA →

=?2FB →

，则|AB |＝（） A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

【解答】解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0）和准线l ：x ＝﹣1，设A （﹣1，a ），B （m ，n ），

∵FA →

=?2FB →

，可得|F A |：|AB |＝2：3，|FD |：|BC |＝2：3，|BC |＝3， ∴m ＝2，n 2＝4×2，n ＝2√2，a ＝﹣4√2，AB =√32+(6√2)2=9，故选：C ．

6．（5分）为计算S＝1+23+32+43+52+…+992+1003设计了如图所示的程序框图，则在和两个空白框中分别可以填入（）

A．i≤101和N＝N+（i+1）3B．i＜99和N＝N+（i+1）2

C．i≤99和N＝N+（i+1）2D．i＜101和N＝N+（i+1）3

【解答】解：程序框图为计算S＝1+23+32+43+52+…+992+1003，则终止程序运行的i值为101，

∴判断框处应为i＜101，又知偶数列加的是立方和，

所以应填N＝N+（i+1）3，

故选：D．

7．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（）A．f（x）＝xlnx B．f（x）＝e x﹣e﹣x

C．f（x）＝sin2x D．f（x）＝x3﹣x

【解答】解：对于A，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数；

对于B ，f （x ）＝﹣f （x ）奇函数，且f ′（x ）＝e x +e ﹣

x ＞0，即在（0，1）上是增函数；

对于C ，f （x ）＝﹣f （x ）奇函数，正弦函数sin2x 周期为π，易知在（0，1）上先增后减；

对于D ，f （x ）＝﹣f （x ）奇函数，易知f （x ）在（0，1）上先减后增；故选：B ．

8．（5分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点D 、E 分别在线段AB 、CD 上，且BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则BE →

?AB →

=（） A ．﹣3

B ．﹣6

C ．4

D ．9

【解答】解：如图，BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，

∴BE →

?AB →

=(BD →

+DE →

)?AB →

=(?23AB →+13DC →

)?AB →

=[?23AB →+13(DA →

+AC →)]?AB →

=[?23

AB →

+13(?13

AB →+AC →)]?AB →

=(?79AB →+13AC →

)?AB →

=?79AB →2+13AB →?AC →

=?7

9×9+13×3×2×12

＝﹣6．故选：B ．

9．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的正弦值为（） A ．1

B ．

√10

C ．

√15

D ．

√63

【解答】解：如图，

∵∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝BB 1＝1，∠B 1BC ＝∠B 1BA ＝90°，

∴AB 1→?BC 1→=(?BA →+BB 1→)?(BC →+BB 1→

) =?BA →

?BC →

?BA →

?BB 1→

+BB 1→

?BC →

+BB 1→2

=?2×1×(?1

2)+1 ＝2，

又|AB 1→

|=√5，|BC 1→

|=√2， ∴cos ＜AB 1→

，BC 1→

＞=

AB 1→?BC 1→

|AB 1→

||BC 1→

， ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的正弦值为√15

．故选：C ．

10．（5分）已知双曲线C ：

x 2a 2?y 2

b 2

=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（） A ．√2

B ．2+√2

C ．2

D ．√2+√2

【解答】解：以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，联立双曲线的方程b 2x 2﹣a 2y 2＝a 2b 2，

可得x 2

=a 2(c 2+b 2

)

c 2

，

以F 1F 2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，可得x 2＝y 2=1

2c 2，即有c 4﹣4a 2c 2+2a 4＝0，由e =c

a ，可得e 4﹣4e 2+2＝0，解得e 2＝2+√2（2?√2舍去），则e =√2+√2．

故选：D ．

11．（5分）已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数f '（x ），当x ≥0时，恒有x

3f′(x)+f(x)

＞0，则不等式x 3f （x ）﹣（1+2x ）3f （1+2x ）＜0的解集为（）

A ．{x |﹣3＜x ＜﹣1}

B ．{x|?1＜x ＜?1

C ．{x |x ＜﹣3或x ＞﹣1}

D ．{x |x ＜﹣1或x ＞?1

【解答】解：根据题意，不妨设g （x ）＝x 3f （x ），则当x ≥0时，g ′(x)=3x 2[f(x)+x 3

f′(x)]≥0，则g （x ）在（0，+∞）上单调递增，又g （x ）＝x 3f （x ）为偶函数，则g （x ）＝g （|x |），

x 3f （x ）﹣（1+2x ）3f （1+2x ）＜0?x 3f （x ）＜（1+2x ）3f （1+2x ），即g （x ）＜g （1+2x ），可知g （|x |）＜g （|1+2x |），

则|x |＜|1+2x |，解得：x ＜﹣1或x ＞?13，

所以不等式x 3f （x ）﹣（1+2x ）3f （1+2x ）＜0的解集为：{x|x ＜?1或x ＞?1

}，故选：D ．

A ．线段

B ．圆

C ．一段圆弧

D ．一段抛物线

【解答】解：如图：过点P 作AB 的垂线段PR ，连接RQ ，则RQ 是PR 在面ABC 内的射影，由三垂线定理得逆定理得，QR ⊥AB ，

∠PRQ 为侧面SAB 与底面ABC 所成的二面角α，直角三角形PRQ 中，sin α=PQ

PR ，又已知 PQ ＝PS ?sin α，

∴sinα=PQ

PS，∴

，∴PS＝PR，即点P到点S的距离等于点P到AB的距离，

根据抛物线的定义，点P在以点S为焦点，以AB为准线的抛物线上．

又点P在侧面SAB内，故点P的轨迹为一段抛物线，

故选：D．

二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）

13．（3分）若a=∫ln3

e x dx，则(x2?a x)6）展开式的常数项为240．

【解答】解：若a=∫ln3

e x dx=e x|0ln3=e ln3﹣e0＝2，则(x2?a x)6=(x2?2x)6，

它的展开式通项公式为T r+1=C6r?（﹣2）r?x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，

可得它的展开式的常数项为C64?16＝240，

故答案为：240．

14．（3分）六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有135种（用数字回答）．

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，有C62＝15种情况，

②、假设不坐自己位置的4人为A、B、C、D，

A不坐自己的位置，有3种坐法，

假设A坐在了B的位置，B有3种坐法，

剩下C、D，只有一种坐法，

则剩下4人不坐自己的位置，有3×3＝9种情况，

故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有15×9＝135种；

故答案为：135．

15．（3分）已知函数f（x）＝x2﹣4x﹣4．若f（x）＜1在区间（m﹣1，﹣2m）上恒成立．则

实数m的取值范围是[0，1

）．

【解答】解：因为f（x）＝x2﹣4x﹣4，

所以f（x）＜1?x2﹣4x﹣5＜0?﹣1＜x＜5，

即解集为（﹣1，5）．

因为f（x）＜1在区间（m﹣1，﹣2m）上恒成立，

所以（m﹣1，﹣2m）?（﹣1，5），

所以﹣1≤m﹣1＜﹣2m≤5，且两个等号不同时成立，

所以0≤m＜1 3，

故答案为：[0，1

3 )．

16．（3分）在△ABC中，角A的平分线交BC于D，BD＝3，CD＝2，则△ABC面积的最大值为15．

【解答】解：如图，由角平分线可得：AB

BD =

，即

，

设AB＝3x，AC＝2x，则cosA=9x2+4x2?25

12x2

=13x

2?25

12x2

，

则有sinA=√1?(13x2?25

12x2

)2=5

12x2

√?x4+26x2?25，

∴S△ABC=1

2AB?AC?sin A

=12?3x?2x?5

12x2

?√?x4+26x2?25 =54√?x4+26x2?25

=54√?(x2?13)2+144

≤15，当x＝13时，取得最大值15．故答案为：15．

三．解答题（共5小题，满分24分）

17．（12分）已知等差数列{a n }满足a 2＝2a 1，a 4+a 5＝9，S n 为等比数列{b n }的前n 项和，2S n +1

＝S n +2．

（1）求{a n }，{b n }的通项公式；

（2）设c n ={3

4a n b n ，n 为奇数1a n

2，n 为偶数，证明：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜13

6．

【解答】解：（1）（基本量法求等差等比通项）等差数列{a n }的公差设为d ， a 2＝2a 1，a 4+a 5＝9，可得a 1+d ＝2a 1，2a 1+7d ＝9，解得a 1＝d ＝1，可得a n ＝n ；

由2S n +1＝S n +2得2S n ＝S n ﹣1+2，n ≥2，两式相减整理得2b n +1＝b n ，可得公比q =12

，由2（b 1+12

b 1）＝b 1+2，解得b 1＝1，∴b n =

n?1；

（2）证法1：（应用放缩和错位相减求和证明不等式）

c n ={3

4a n b n ，n 为奇数1a n 2，n 为偶数=={34n ?12n?1，n 为奇数1n 2

，n 为偶数， ?n ＝c 1+c 2+c 3+…+c n ，A k ＝c 1+c 3+…+c 2k ﹣1，B k ＝c 2+c 4+…+c 2k ， A k =3

4（

14+

+?+

2k?14

），1

A k =3

4（14

+34+?+

2k?14），

两式相减整理得34

A k =3

（1+12

+18

+?+1

2k?3?

2k?14

k ）=34（1+12(1?1

k?1)1?14

?2k?14k ），可得A k =

53?(2k +53)14k ＜10

，又因为（2k ）2＞（2k ﹣1）（2k +1），∴B k =122+142+?+1(2k)

2＜12(11?13+13?1

5+?

12k?1?12k+1)＜12=3

．所以B k =

122+142+?+1(2k)

2＜36，∴C n =A k +B k ＜106+36=13

6．证法2：（应用放缩和裂项求和证明不等式）令d n =(an +b)

n?1，

2n?14=d n+1?d n 化简整理得：d n =(?83n +4

n?1，∴A k

d k+1?d 1=5

3?(2k +53)1

k ＜10

6，

T n =

112+122+13

2+?+12＜1+11×2+12×3+?1(n?1)×n =2?1

n ＜2，122T n =122+14+?+

1(2n)＜

14n

＜1

，

所以B k =

122+142+?+1(2k)

2＜36，∴C n =A k +B k ＜106+36=136． 18．如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA ＝AB ＝AC ．（Ⅰ）求证：DA ∥平面EBC ；

（Ⅱ）若∠BAC =π

2，DE ⊥平面BCE ，求二面角A ﹣DC ﹣E 的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，

∵平面BCE ⊥平面ABC ，又平面BCE ⊥平面ABC ＝BC ，EH ?平面BCE ， ∴EH ⊥平面ABC ，

又∵DA ⊥平面ABC ，∴AD ∥EH ， ∵EH ?平面BCE ，DA ?平面BCE ， ∴DA ∥平面EBC ；

（Ⅱ）∵DE ⊥平面BEC ，∴∠DEB ＝∠DEC =π

，

又∵DB ＝DC ，DE ＝DE ，∴△DEB ≌△DEC ，则BE ＝CE ， ∴点H 是BC 的中点，连接AH ，则AH ⊥BC ， ∴AH ⊥平面EBC ，则DE ∥AH ，AH ⊥EH ． ∴四边形DAHE 是矩形．

以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝2a ，则E （a ，a ，2a ），C （2a ，0，0），D （0，0，2a ），设平面DEC 的一个法向量为n →

=(x ，y ，z)， ∵DE →

=(a ，a ，0)，DC →

=(2a ，0，?2a)．

由{

n →

?DE →

=ax +ay =0

n →

?DC →=2ax ?2az =0

，取x ＝1，得n →

=(1，?1，1)；又平面DAC 的一个法向量为m →

=(0，1，0)，设二面角A ﹣DC ﹣E 的平面角为θ，

则|cos θ|＝|cos ＜m →

，n →

＞|=|m →?n →

|m →|?|n →|

=√33，

又∵二面角A ﹣DC ﹣E 是钝角，则二面角A ﹣DC ﹣E 的余弦值为?√3

3．

19．（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．乙生产线样本的频数分布表

质量指标值 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45] 合计频数

100

（1）根据乙生产线样本的频率分布表，在指标小于25的产品中任取2件，求两件都为合格品的概率；

（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述表格提供的数据， ①绘制两条生产线合格率的等高条形图（图2）；

②完成下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关？若有97.5%的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？

甲生产线

乙生产线

合计合格品不合格品合计

附： P （K 2≥k 0）

0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

K 2

=n(ad?bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．

【解答】解：（1）由频率约等概率可得答案为：18×1720×19

153190

，

（2）条形图如下：

根据题目所给的数据填写2×2列联表如下：

甲生产线乙生产线合计合格品 86 96 182 不合格品 14 4 18 合计

100

200

K 2=

200(86×4?96×14)2

182×18×100×100

≈6.105＞5.024

所以有97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关，甲生产线的合格率

100

，乙产线的合格率

100

，

因此保留乙生产线较好．故答案为：（1）

153190

，（2）有97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设

备改造有关，保留乙生产线较好， 20．已知函数f(x)=x 2?2ax ?ln 1x

，a ∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性；

（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值．

【解答】解：（1）f ′（x ）＝2x ﹣2a +1x =2x 2

?2ax+1x

，x ＞0，

令y ＝2x 2﹣2ax +1，

当△＝4a 2﹣8≤0，即?√2≤a ≤√2时，y ≥0，此时f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＜?√2时，2x 2﹣2ax +1＝0有两个负根，此时f （x ）在（0，+∞）上单调递增；

当a ＞√2时，2x 2

﹣2ax +1＝0有两个正根，分别为x 1=a?√a 2?22，x 2=a+√a 2?2

，

此时f （x ）在（0，x 1），（x 2，+∞）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减．综上可得：a ≤√2时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增， a ＞√2时，f （x ）在（0，a?√a 2?2

），（

a+√a 2?2

，+∞）上单调递增，

在（

a?√a 2?2

，

a+√a 2?2

）上单调递减．

（2）由（1）可得x 1+x 2＝a ，x 1?x 2=1

2，a ＞√2， 2ax 1＝2x 12+1，2ax 2＝2x 22+1， ∵a ＞√2，a

2＞

√2

， ∴x 1∈（0，√22），x 2∈（√2

，+∞），

f （x 2）﹣2f （x 1）=x 22?2ax 2+lnx 2﹣2（x 12?2ax 1+lnx 1） =?x 22+2x 12+lnx 2﹣2lnx 1+1 =?x 22+2(

12x 2)2+lnx 2+2ln 12x 2+1=?x 22+12x

2+32ln x 22+1+2ln 2，令t =x 22，则t ＞12

，

g （t ）＝﹣t +12t +3

2lnt +1+2ln 2，

g ′（t ）＝﹣1?12t 2+32t =?2t 2

+3t?12t 2=?(2t?1)(t?1)

，当1

＜t ＜1时，g ′（t ）＞0；当t ＞1时，g ′（t ）＜0，

∴g （t ）在（12

，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减 g （t ）max ＝g （1）=

1+4ln2

f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值为

1+4ln22

．

21．已知动圆C 与圆C 1：(x ?2)2+y 2=1外切，又与直线l ：x ＝﹣1相切．设动圆C 的圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；

（2）在x 轴上求一点P （不与原点重合），使得点P 关于直线y =1

2x 的对称点在曲线E 上．

【解答】解：解法一：（1）依题意得圆心C 到于直线x ＝﹣2的距离等于到圆C 1圆心的

距离，

所以C 的轨迹是（2，0）为焦点，以直线x ＝﹣2为准线的抛物线，设其方程y 2＝2px （p ＞0），则p

2=2，p ＝4，

所以曲线E 的方程为y 2＝8x ．

（2）设P （t ，0），P 关于直线y =1

2x 的对称点为P 1（m ，n ），

则{n

m?t

=?2，n 2=12(m+t 2

)，即{2m +n =2t ，2n ?m =t ，

解得{m =35t ，n =35

代入曲线E 得

1625

t 2=

t ，

解得t ＝0（舍去），t =152，即点P 的坐标为(15

2，0)．解法二：（1）设圆心C （x ，y ），依题意x ≥﹣1，因为圆C 与直线l ：x ＝﹣1相切，所以r ＝x +1，又圆C 与圆C 1外切，所以|CC 1|＝r +1，即√(x ?2)2+y 2=x +2，化简得曲线E 的方程为y 2＝8x ．（2）同解法．四．解答题（共1小题）

22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（√2，0）为一个顶点．直线l 的参数方程是{x =1?t

y =2t ，（t 为参数）．

（Ⅰ）求椭圆C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 的交点分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），求线段MN 的长度．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（√2，0）为一个顶点．

所以c ＝1，a =√2，b ＝1，所以椭圆的方程为

x 22

+y 2=1，转换为极坐标方程为ρ2=

1+sin 2θ

．