高考物理弹簧类问题专题复习

《弹簧问题专题》教案

一、学习目标

轻弹簧是一种理想化的物理模型，该模型是以轻弹簧为载体，设置复杂的物理情景，可以考查力的概念、物体的平衡、牛顿定律的应用、能的转化与守恒，以及我们分析问题、解决问题的能力，所以在高考命题中时常出现这类问题，也是高考的难点之一。 二、有关弹簧题目类型 1、平衡类问题 2、突变类问题

3、简谐运动型弹簧问题

4、功能关系型弹簧问题

5、碰撞型弹簧问题

6、综合类弹簧问题 三、知能演练 1、平衡类问题

例1.(1999年，全国)如图示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( )

A.m1g/k 1

B.m2g/k 2

C.m1g/k 2

D.m2g/k 2

解析：我们把m m 12、看成一个系统，当整个系统处于平衡状态时，整个系统受重力和弹力，即

()()/m m g k x x m g m g k 12211122

+==+则

当上面木块离开弹簧时，m 2受重力和弹力，则

m g k x x m g k x x x m g k C 222222

1212===-=，则所以，应选（）

//?

【例2】、（2012 浙江）14、如图所示，与水平面夹角为30°的固定斜面上有一质量m=1.0kg 的物体。细绳的一端摩擦不计的定滑轮与固定的弹簧秤相连。物体静止在斜面上，弹簧秤的示数为4.9N 。关于

物体受力的判断（取g=9.8m/s2），下列说法正确的是C A.斜面对物体的摩擦力大小为零

B. 斜面对物体的摩擦力大小为4.9N ，方向沿斜面向上

C. 斜面对物体的摩擦力大小为4.9N ，方向沿斜面向下

D. 斜面对物体的摩擦力大小为4.9N ，方向垂直斜面向上

练习1、（2010山东卷）17．如图所示，质量分别为1m 、2m 的两个物体通过轻弹簧连接，在力F 的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动（1m 在地面，2m 在空中），力F 与水平方向成θ角。则1m 所受支持力N 和摩擦力f 正确的是AC

A ．12sin N m g m g F θ=+-

B ．12cos N m g m g F θ=+-

C ．cos f F θ=

D ．sin f F θ=

2、在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0kg 的木板相连。若在木板上再作用一个竖直向下的力F 使木板缓慢向下移动0.1米，力F 作功2.5J,此时木板再次处于平衡，力F 的大小为50N ，如图所示，则木板下移0.1米的过程中，弹性势能增加了多少？

解：由于木板压缩弹簧，木板克服弹力做了多少功，弹簧的弹性势能就增加了多少,即：（木板克服弹力做功，就是弹力对木块做负功）

，

W 弹＝－mgx －W F =－4.5J 所以弹性势能增加4.5焦耳

点评：弹力是变力，缓慢下移，F 也是变力，所以弹力功

2、突变类问题

例1、一个轻弹簧一端B 固定,另一端C 与细绳的一端共同拉住一个质量为m 的小球,绳的另一端A 也固定,如图所示,且AC 、BC 与竖直方向夹角分别为21θθ、、,求 （1）烧断细绳瞬间,小球的加速度

k F E mgx W W ?=++=弹50J W Fx ≠=弹

E W ?=-弹弹

（2）在Ｃ处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度

解:(1)若烧断细绳的瞬间，小球的所受合力与原来AC 绳拉力TAC 方向等大、反向，即加速度a 1方向为AC 绳的反向，原来断绳前，把三个力画到一个三角形内部，由正弦定理知： mg/sin(180°-θ1-θ2)=T AC /sinθ2， 解得T AC =mgsinθ2/sin(180°-θ1-θ2)=mgsinθ2/sin(θ1+θ2)， 故由牛顿第二定律知：a 1=T AC /m=gsinθ2/sin(θ1+θ2) 或者: F AC ×cosθ1+F BC ×cosθ2=mg F AC ×sinθ1=F BC ×sinθ2 解之得

F AC =mgsinθ2/sin (θ1+θ2)

则瞬间加速度大小a 1=gsinθ2/sin(θ1+θ2)，方向AC 延长线方向。

(2)若弹簧在C 处与小球脱开时：则此时AC 绳的拉力突变，使此时沿AC 绳方向合力为0，故加速度沿垂直AC 绳方向斜向下（学完曲线运动那章会明白），故a 2=mgsinθ1/m=gsinθ1

答案：(1)烧断细绳的瞬间小球的加速度为（gsin θ2）/sin （θ1+θ2） (2).在C 处弹簧与小球脱开的瞬间小球的加速度为gsin θ1

例2.（2011山东）．如图所示，将两相同的木块a 、b 至于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳固定于墙壁。开始时a 、b 均静止。弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a 所受摩擦力

0≠fa F ，b 所受摩擦力0=fb F ，现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间 （ AD ）

A ．fa F 大小不变

B ．fa F 方向改变

C ．fb F 仍然为零

D ．fb F 方向向右

练习：1质量相同的小球A 和B 系在质量不计的弹簧两端，用细线悬挂起来，如图，在剪断绳子的瞬间，A 球的加速度为 2g 向下和g 向上 ， B 球的加速度为 0和g 向下 。 如果剪断弹簧呢？

A 球的加速度为0和g 向下

B 球的加速度为g 向下和g 向下

练习2 （08年全国1）如图，一辆有动力驱动的小车上有一水平放置的弹簧，其左端固定在小车上，右端与一小球相连，设在某一段时间内小球与小车相对静止且弹簧处于压缩状态，若忽略小球与小车间

的摩擦力，则在此段时间内小车可能是（AD ）

A ．向右做加速运动

B ．向右做减速运动

C ．向左做加速运动

D ．向左做减速运动

3、简谐运动型弹簧问题

例1．如图9所示，一根轻弹簧竖直直立在水平面上，下端固定。在弹簧正上方有一个物块从高处自由下落到弹簧上端O ，将弹簧压缩。当弹簧被压缩了x 0时，物块的速度减小到零。从物块和弹簧接触开始到物块速度减小到零过程中，物块的加速度大小a 随下降位移大小x 变化的图像，可能是下图中的D

分析：我们知道物体所受的力为弹力和重力的合力，而弹力与形变量成正比，所以加速度与位移之间也应该是线性关系，加速度与位移关系的图像为直线。物体在最低点的加速度与重力加速度之间的大小关系应该是本题的难点，借助简谐运动的加速度对称性来处理最方便。若物块正好是原长处下落的，根据简谐运动对称性，可知最低点时所受的合力也是mg ，方向向上，所以弹力为2mg ，加速度为g 。现在，初始位置比原长处要高，这样最低点的位置比上述情况要低，弹簧压缩量也要大，产生的弹力必定大于2mg ，加速度必定大于g 。

例2：如图所示，小球从a 处由静止自由下落，到b 点时与弹簧接触，到c 点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧的质量和空气阻力，在小球由a →b →c 运动过程中( CE ) A ．小球的机械能守恒 B.小球在b 点时的动能最大

C ．到C 点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量 D.小球在C 点的加速度最大，大小为g

E.从a 到c 的过程，重力冲量的大小等于弹簧弹力冲量的大小。

拓展：一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中( CD

)

（A ）升降机的速度不断减小 （B ）升降机的加速度不断变大

（C ）先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功 （D ）到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值。

4、功能关系弹簧问题

例1、如图9所示，一劲度系数为k =800N/m 的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m =12kg 的物体A 、B 。物体A 、B 和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F 在上面物体A 上，使物体A 开始向上做匀加速运动，经0.4s 物体B 刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，g =10m/s2 ， 求：（1）此过程中所加外力F 的最大值和最小值。

（2）此过程中外力F 所做的功。

解：(1)A 原来静止时：kx 1=mg ①

当物体A 开始做匀加速运动时，拉力F 最小，设为F 1，对物体A 有： F 1＋kx 1－mg =ma ②

当物体B 刚要离开地面时，拉力F 最大，设为F 2，对物体A 有： F 2－kx 2－mg =ma ③ 对物体B 有：kx 2=mg ④ 对物体A 有：x 1＋x 2＝

2

2

1at ⑤ 由①、④两式解得 a =3.75m/s 2 ，分别由②、③得F 1＝45N ，F 2＝285N (2)在力F 作用的0.4s 内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得： W F =mg (x 1＋x 2)+

=2)(21

at m 49.5J [点评]本题中考查到弹簧与物体A 和B 相连，在运动过程中弹簧的弹力是变力，为确保系统的加速度恒定，则外加力必须也要随之变化，解决本题的关键找出开始时弹簧的形变量最大，弹力最大，则外力F 最小。当B 刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A ，则外力F 最大。其次，求变力功时必须由动能定理或能量守恒定律求得。

例2（2012 江苏）14．（16分）某缓冲装置的理想模型如图所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f ，轻杆向右移动不超过L 时，装置可安全工作，一质量为m 的小车若以速度v 0撞击弹簧，将导致轻杆向右移动L /4，轻杆与槽间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦。

（1）若弹簧的劲度系数为k ，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x ； （2）为这使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度v m

（3）讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度v ˊ与撞击速度v 的关系

解：（1）轻杆开始移动时，弹簧的弹力kx F = ①

且f F = ② 解得k

f

x =

③ （2）设轻杆移动前小车对弹簧所做的功为W ，则小车从撞击到停止的过程中，动能定理 小车以0v 撞击弹簧时 202

104.

mv W l f -=-- ④ 小车以m v 撞击弹簧时 2210m mv W fl -

=-- ⑤ 解m

fl v v m 232

0+

= ⑥ （3）设轻杆恰好移动时，小车撞击速度为1v ， W mv =2

12

1 ⑦ 由④⑦解得m fl v v 22

01-

= 当m

fl v v 22

0-<时，v v =' 当<-m fl v 22

0m fl v v 2320+

<时，m

fl v v 2'2

0-=。

点评:(1)问告诉我们：小车把弹簧压缩到x=F/k 时，两者一起推动杆向右减速运动，这个过程中，杆受到的摩擦力不变，弹簧的压缩量x 不变，直到杆的速度减为0，小车才被弹簧反弹。——这就是这个过程的物理过程模型。

(2)问告诉我们：轻杆移动前小车对弹簧所做的功为W （实际上就是弹簧存储的弹性势能）不变，与小车的初速度无关，所以两次W 相等，这就是为什么有第一个问的存在（递进+引导）。这样列两次动能定理就可以求出结果了。

(3)问告诉我们：先把最小的撞击速度v 1求出（此时杆要滑没滑，处于临界状态），然后分情况讨论：若小车速度vv 1，则杆动了，但为了安全，杆移动的最大位移不超过l ，因此，约束了小车的初速度v ，即v 1≤v≤vm，这时，如图我在上面(1)(2)分析的一样，这时，小车、

图 9

杆

弹簧两者共同压杆，使之向右移动，直到杆的速度减为0，小车才被弹簧反弹，弹簧把开始存储的弹性势能W 释放出来，变为小车反弹的动能，对应的速度v 1即为所求。

练习1：A 、B 两木块叠放在竖直的轻弹簧上，如图所示。已知木块A 、B 的质量为 mA=mB=1kg ，轻弹簧的劲度系数k=100N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止开始以2m/s 2的加速度竖直向上作匀加速运动（g 取10m/s2） （1）使木块A 竖直向上做匀加速运动的过程中，力F 的最小值和最大值各为多少？ （2）若木块由静止开始做匀加速运动直到A 、B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减小1.28J ，求力F 做的功。

解：（1）对A: F-m A g+F B A=m A a ，

A 静止时F BA =m A g ，开始时F 最小，即F min =m A a=2N 当F BA =0时，F 最大，即F max =m A g+m A a=12 N ：（2）初始位置弹簧的压缩量x1=(mAg+mBg)/k=0.20m A 、

B 分离时，F BA =0，以B 为研究对象可得： F N -m B g=m B a ， F N =12N

此时x 2=F N /k=0.12m

A 、

B 上升的高度：△x=x 1-x 2=0.08 m 对A 、B 的v 2= 2a △x

以A 、B 作为一个整体，由动能定理得 w F ＋w N －（m A +m B ）g △x=1/2（m A +m B ）v 2 其中w N =1.28J

解得：w F =0.64J ，即此过程力F 对木块做的功是0.64J ．

[点评]此题命题意图是考查对物理过程、状态的综合分析能力。难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力N=0时 ，恰好分离

练习2：．有一倾角为θ的斜面，其底端固定一挡板M ，另有三个木块A 、B 和C ，它们的质量分别为

m A =m B =m ， m C =3m ，它们与斜面间的动摩擦因数都相同. 其中木块A 放于斜面上并通过一轻弹簧与挡板M 相连，如图所示. 开始时，木块A 静止在P 处，弹簧处于自然伸长状态. 木块B 在Q 点以初速度v 0向下运动，P 、Q 间的距离为L . 已知木块B 在下滑过程中做匀速直线运动，与木块A 相撞后立刻一起向下运动，但不粘连. 它们到达一个最低点后又向上运动，木块B 向上运动恰好能回到Q 点. 若木块A 仍静放于P 点，木块C 从Q 点处开始以初速度0v 3

2

向下运动，经历同样过程，最后木块C 停在斜面的R 点，求：

（1）木块B 与A 相撞后瞬间的速度v 1。

（2）弹簧第一次被压缩时获得的最大弹性势能E p 。

（3）P 、R 间的距离L ′ 的大小。

解：（1）木块B 下滑做匀速直线运动，有：sin cos mg mg θμθ= （1） (2分)

B 与A 碰撞前后总动量守恒，有：012mv mv = （2） (2分) 所以 v 1=

2

v （2）设AB 两木块向下压缩弹簧的最大长度为S ，弹簧具有的最大弹性势能为E P ，压缩过程对AB 由能量守恒定律得： 211

22sin 2cos 2

P mv mgS mgS E θμθ+=?+ （3） (2分)

联立上三式解得： 201

4

P E mv =

（4） (1分) （3）木块C 与A 碰撞过程，由动量守恒定律得：/01343

m m v ?

=? （5） (2分) 碰后AC 的总动能为：/

/221011

424

k E mv mv =

?= （6） (1分) 由（3）式可知AC 压缩弹簧具有的最大弹性势能和AB 压缩弹簧具有的最大弹性势能相等，两次的压缩量也相等。(在木块压缩弹簧的过程中，重力对木块所做的功与摩擦力对木块所做的功大小相等，因此弹簧被压缩而具有的最大弹性势能等于开始压缩弹簧时两木块的总动能.

因此，木块B 和A 压缩弹簧的初动能E ,4

12·

2

12

02

11mv mv k ==木块C 与A 压缩弹簧的初动能E ,4

12120212mv mv k ='=

即E 21k k E =因此，弹簧前后两次的最大压缩量相等，即s=s ′) 设AB 被弹回到P 点时的速度为v 2，从开始压缩到回到P 点有：

221211

2cos 22222

mg S mv mv μθ??=

?-? （7） (2分) 两木块在P 点处分开后，木块B 上滑到Q 点的过程：

221

(sin cos )2

mg mg L mv θμθ+=

（8） (2分)

设AC 回到P 点时的速度为v 2/，同理有： /2/21211

4cos 24422

mg S mv mv μθ??=

?-? （9） (1分) //221

(3sin 3cos )32

mg mg L mv θμθ+?= （10） (1分)

联立（7）（8）（9）（10）得：

2

/

032sin v L L g θ

=- (1分)

5、碰撞型弹簧问题

例1：如图34，木块ＡＢ用轻弹簧连接，放在光滑的水平面上，Ａ紧靠墙壁，在木块Ｂ上施加向左的水平力Ｆ，使弹簧压缩，当撤去外力后；ACD Ａ.Ａ尚未离开墙壁前，弹簧和Ｂ的机械能守恒； Ｂ.Ａ尚未离开墙壁前，系统的动量守恒；

Ｃ.Ａ离开墙壁后，系统动量守恒； Ｄ.Ａ离开墙壁后，系统机械能守恒。

思考：若力F 压缩弹簧做的功为E ，m B =2m A ，求从A 物体开始运动以后的过程中，弹簧最大的弹性势能？

解:用E 的功压缩弹簧,则弹簧弹性势能为E.撤去外力后,弹性势能完全转变为B 物体的动能,此时B 物体的动能即为E 所以E=1/2(m B )V B 2

而A 物体开始运动以后,弹簧的弹性势能最大时为两物体共速时,设为V,由动量定理 m B V B =(m A +m B )V,因为m A =2m B ,所以(m B )(V B )=(3m B )V,可得V=V B /3

则此时A,B 物体动能之和为1/2(m A +m B )(V B /3) 2= m B V B 2/6=E/3

由机械能守恒,总能量仍为E,故此时弹性势能等于总能量减去A,B 物体动能之和 弹性势能E=E-E/3=(2/3)E

练习1、光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为2kg 的A 、B 两物块都以V 0=6m/s 的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为4kg 的物块C 静止在前方，如图8所示。B 与C 碰撞后二者粘在一起运动，在以后的运动中，当弹簧的弹性势能达到最大为 J 时，物块A 的速度是 m/s 。 解：B ，C 碰撞瞬间，B ，C 的总动量守恒 m B v 0=(m B +m C )v 1，v 1=2 m/s

三个物块速度相同时弹簧的弹性势能最大 m A v 0+m B v 0=(m A +m B +m C )v 2 得v 2=3m/s 设最大弹性势能为E P ，由能量守恒

练习2：如图5所示，质量为M 的小车A 右端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m 的小物块B 从左端以速度v 0冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车左端时刚好与车保持相对静止．求整个过程中弹簧的最大弹性势能E P 和B 相对于车向右运动过程中系统摩擦生热Q 各是多少？ 解:

v M m mv )(0+=，220)(2

1

212v M m mv Q +-=

，

E P =Q=)

(42

M m mMv +

6、综合类弹簧问题

例1：一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m 的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图7所示。现让木板由静止开始以加速度a(a ＜g)匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。

解：设物体与平板一起向下运动的距离为x 时，物体受重力mg ，弹簧的弹力F=kx 和平板的支持力N 作用。据牛顿第二定律有： mg-kx-N=ma 得N=mg-kx-ma

当N=0时，物体与平板分离，所以此时k

a g m x )

(-= 因为2

21at x =，所以ka

a g m t )

(2-=

图7

图34

图8

图5

例2：质量均为m的两个矩形木块A和B用轻弹簧相连接，弹簧的劲度系数为k,将它们竖直叠放在水平地面上，如图13所示，另一质量也是m的物体C，从距离A为H的高度自由下落，C与A相碰，相碰时间极短，碰后A、C不粘连，当A、C一起回到最高点时，地面对B的支持力恰好等于B的重力。若C从距离A为2H高处自由落下，在A、C一起上升到某一位置，C与A分离，C继续上升，求：

（1）C没有与A相碰之前，弹簧的弹性势能是多少？

（2）C上升到最高点与A、C分离时的位置之间距离是多少？

解：（1）C由静止下落H高度。即与A 相撞前的速度为，则：

，得出：

C与A 相撞，由动量守恒定律可得：得出：

A、C一起压缩弹簧至A、C上升到最高点，由机械能守恒定律得：

得出

（2）C由静止下落2H 高度时的速度为，则：

得出

C与A相撞：得出：

A、C一起压缩弹簧至A、C分离，由机械能守恒定律得：

得出：

C单独上升X 高度，由机械能守恒定律得：得出：

练习：（09年四川卷）25.(20分)如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P,其质量m=2×10-2 kg,电荷量q=0.2 C.将弹簧拉至水平后，以初速度V0=20 m/s竖直向下射出小球P,小球P到达O点的正下方O1点时速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O1相距R=1.5 m,小球P在O1点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10-1 kg的静止绝缘小球N相碰。碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的弱强磁场。此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5 m 的圆周运动。小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10 m/s2。

那么，

?（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？

?（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。

?(3)若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前

?提下，请推导出r的表达式(要求用B、

?q、m、θ表示，其中θ为小球N的

?运动速度与水平方向的夹角)

解：（1）设弹簧的弹力做功为W ，有：①

代入数据得：W＝-2.05J②

（2）由题给条件知，N碰后作平抛运动，P所受电场力和重力平衡，P带正电荷。设P、N碰后的速度大小分别为v1和V ，并令水平向右为正方向，有③

而④

若P、N碰后速度同向时，计算可得V＜v1，这种碰撞不能实现。P、N

碰后瞬时必为反向运动。有：

⑤

P、N速度相同时，N经过的时间为t N，P经过的时间为t P。设此时N的速度V1的方向与水平方向的夹角为θ，有：⑥

⑦

代入数据，得：⑧

对小球P，其圆周运动的周期为T ，有：⑨

经计算得：t N＜T

P经过t P时，对应的圆心角为α，有：⑩

当B的方向垂直纸面朝外时，P、N 的速度相同，如图可知，有：

联立相关方程得：

比较得，，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同

当B的方向垂直纸面朝里时，P、N 的速度相同，同样由图，有：

同上得：

比较得，，在此情况下，P、N的速度在同一时刻也不可能相同

（3）当B的方向垂直纸面朝外时，设在t时刻P、N 的速度相同，

再联立④⑦⑨⑩解得：

当B的方向垂直纸面朝里时，设在t时刻P、N 的速度相同，

同理得：

考虑圆周运动的周期性，有（给定的B、q、r、m、θ等物理量决定n的取值）