16.1《二次根式》(第1-3课时)教案 新人教版
16.1 二次根式教案
第一课时二次根式的概念教学目标
知识与技能 1 理解二次根式的概念
2
a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围．
过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围
情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐
教学重难点关键
1
a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．
a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
问题1：已知反比例函数y=3
x
，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的
坐标是___________．
问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．
老师点评：
问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以
，
．问题2：由勾股定理得
问题3：由方差的概念得
.
二、探索新知
，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平
a≥0）?的式子叫做二次根式，
”称为二次根号．
（学生活动）议一议：
1．-1有算术平方根吗？
2．0的算术平方根是多少？
3．当a<0
老师点评:
有意义的条件
例1．下列式子，哪些是二次根式，
、
1
x
x>0）
、
、
、
1
x y
+
x≥0，y?≥0）．
分析
”；第二，被开方数是正数或0．
x>0）
、
x≥0，y≥0）；不是二
、
1
x
、
1
x y
+
．
例2．当x是多少时，2
-
x在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2
-
x?才能有意义．
解：由x-2≥0，得：x≥2
当x≥2时，2
-
x在实数范围内有意义．
三、巩固练习
教材练习1、2、3．
四、应用拓展
例3．当x
1
1
x+
在实数范围内有意义？
分析
1
1
x+
在实数范围内有意义，必须同时满足0和
1
1
x+
中的x+1≠0．
解：依题意，得
230
10
x
x
+≥?
?
+≠
?
由①得：x≥-3 2
由②得：x≠-1
当x≥-3
2
且x≠-1
1
1
x+
在实数范围内有意义．
例4(1)已知
，求
x
y
的值．(答案:2)
(2)
+=0，求a2004+b2004的值．(答案:
2
5
)
五、归纳小结（学生活动，老师点评）
1
a≥0）的式子叫做二次根式，
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
七板书设计
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（）
A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（）
A B．1 x
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A．5 B C．
1
5
D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x+x2在实数范围内有意义？
3．
4.x有（）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．
16..1 二次根式教案
教学内容 1
．
a ≥0）是一个非负数；
2．
2=a （a ≥0）． 教学目标
知识与技能
a ≥0
2=a （a ≥0），并利用它们进行计
算和化简．
过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生从简单到复杂从一般到特殊的思 维过程
情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣 教学重难点关键
1
a ≥0）是一个非负数；
2=a （a ≥0）及其运用．
2
a ≥0）是一个非负数；?用探究的方
2=a （a ≥0）． 教学过程
一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？
2．当a ≥0
a<0
老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）
a ≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
做一做：根据算术平方根的意义填空：
）2=_______；
2=_______；2=______
；2=_______；
）2=______
；）2
=_______；）2
=_______．
是4的算术平方根，是一个平方等于4
）2=4．
同理可得：）
2=2，
2=9，）2=3，
）2=13，
）2=7
2
，）2
=0，所以
例1
计算
1．（5.1
）2 2．（
2 3．2
4．（2
）2
分析：我们可以直接利用（2=a （a ≥
0）的结论解题．
解：（5.1
）2 =1.5，（2 =2
2·2=22×5=20
，
2=56
，（2）2=2
27
24=．
三、巩固练习
计算下列各式的值：
2
）2 （
4
）2
）2
（）2 22
-
四、应用拓展
例2 计算
1．
2（
x ≥0） 2．2 3．
2
4． 2 分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2
≥0；（3）a 2
+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以
2=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0
2=x+1
（2）∵a2≥0
2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0
2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0
2=4x2-12x+9
例3在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结
本节课应掌握：
1
a≥0）是一个非负数；
2．
2=a（a≥0）;反之:a=
2（a≥0）．
六、布置作业
1．教材P
8复习巩固2．（1）、（2） P
9
7．
七板书设计
第二课时作业设计
一、选择题
1
个数是（）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0
二、填空题
1．（
2=________．
2
_______数．
三、综合提高题
1．计算
（1）
2（2）-
）2（3）（
1
2
）2（4）（
）2
(5)
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3）
1
6
（4）x（x≥0）
3
=0，求x y的值．
4．在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
16.1 二次根式教案第三课时
教学内容
a（a≥0）
教学目标
知识与技能
（a≥0），
（a≥0）并利用它进行计算和化简．
过程与方法经历探索二次根式的性质的过程，培养学生分类的数学思想
情感态度与价值观通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力教学重难点关键
1
a（a≥0）．
2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0
a才成立．
教学过程
一、复习引入
老师口述并板收上两节课的重要内容；
1
a≥0）的式子叫做二次根式；
2
a≥0）是一个非负数；
3．
2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0
是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
二、探究新知
（学生活动）填空：
；
=________
=_______．
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
1
10
=
2
3
=
3
7
．
例1
化简
（1
（2
（3（4
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，
（3）25=52，
（4）（-3）2=32
（
a≥0）?去化简．
解：（1
（2
（3
（4
三、巩固练习
教材
P
7
练习2．
四、应用拓展
例
2 填空：当a≥0；当a<0
，?并根据这一性
质回答下列问题．
（
1，则a可以是什么数？
（
2，则a可以是什么数？
（3
，则a可以是什么数？（学生讨论）
分析：（
a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，
应变形，使“
（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、
（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．
解：（1
，所以a≥0；
（2
，所以a≤0；
（3）因为当a≥0
时，
，即使a>a所以a不存在；当a<0
，
，即使-a>a，a<0综上，a<0
例3当x>2
分析：(略) 五、归纳小结
（a≥0）及其运用，同时理解当a<0
a的应用
拓展．
六、布置作业
板书设计
第三课时作业设计
一、选择题
1
的值是（）．
A．0 B．
2
3
C．4
2
3
D．以上都不对
2．a≥0
，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是
（）．
A
C
．
-
二、填空题
1．
=________．
2
是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
三、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求
如下：
甲的解答为：原式
=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式
=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│1995-a│
，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│
+
二次根式第一课时教学设计
第二章 实数 7．二次根式（第1课时） 一、学情分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度． 二、教材分析 本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力． 为此，确定本节课教学目标是： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 三、教学设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7，121 49，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题． 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础． 第二环节：探究性质
《16.1 二次根式(第1课时)》教学设计案例
《16.1 二次根式（第1课时）》教学设计案例 湖北省通山县教育局教研室袁观六 一、内容和内容解析 1．内容 二次根式的概念. 2．内容解析 本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础. 教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解. 本节课的教学重点是：了解二次根式的概念； 二、目标和目标解析 1.教学目标 （1）体会研究二次根式是实际的需要． （2）了解二次根式的概念． 2. 教学目标解析 （1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性． （2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围． 三、教学问题诊断分析
对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断. 本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性. 四、教学过程设计 1．创设情境，提出问题 问题1你能用带有根号的的式子填空吗？ （1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t?，如果用含有h的式子表示t，则t= _____． 师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价. 【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性． 问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？ 师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． 【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫． 2．抽象概括，形成概念
1.2二次根式的性质第2课时同步练习
1.2 二次根式的性质（第2课时） 课堂笔记 1. 二次根式的性质：ab = （a ≥0，b ≥0）；b a = （a ≥0，b ＞0）. 2. 在根号内不含 ，不含 . 这样的二次根式称为最简二次根式. 课时训练 A 组 基础训练 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. 9 B. 7 C. 20 D. 31 2. 下列化简错误的是（ ） A. 97=97=37 B. 49.001.0?=01.0×49.0=0.1×0.7=0.07 C. 361 1=1×361 =1×61=61 D. 112=1111112??=111 22 3. 下列二次根式中，化简后能与3进行合并的是（ ） A. 8 B. 18 C. 23 D. 12 4. 等式21 -+x x =21 -+x x 成立的条件是（ ） A. x ≥-1 B. x ＜2 C. x ＞2 D. x ≥-1且x ≠2 5. 设2=a ，3=b ，若用含a ，b 的式子表示54.0，则下列表示正确的是（ ） A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab2 D. 0.1a2b
6. 已知n 20是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 7. 化简：（1）48= ； （2）12 5= ； （3）2236+= ； （4）)25()10(-?-= . 8. 已知等边三角形的边长为42cm ，则它的高为 cm. 9. 若)2)(1(--x x =1-x ×2-x ，则x 的取值范围是 . 10. 已知：322=23 2；833=383；1544=4154；2455=5245…如果n 是大于1的正整数，那么请用含n 的式子表示你发现的规律 ． 11. 化简： （1）2416?； （2）)75()3(-?-； （3）3 11； （4）3532?. 12. 化简：
数学：3.1 二次根式(第4课时)同步练习(苏科版九年级上)
南沙初中初三数学练习（4） 2008 班级 姓名 学号 得分 1．在二次根式a 5，a 8， 9 c ，22b a +，3a 中，最简二次根式共有（ ） （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2．计算()()1212-+，正确结果是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列各组二次根式中是同类二次根式的是 （ ） A ．2 112与 B ．2718与 C ．313与 D ．5445与 4．把a a 1-根号外的因式移到根号内得 （ ） A ．a B ．－a C ．－a - D ．a - 5．当0二次根式教学设计新部编版(第一课时)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
二次根式（第一课时）教学设计 执教者-------陈利华（株洲市十六中） 教学内容：湘教版八年级数学下册第4.1.1第一课时 一、教学目标 （1）知识目标：使学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。理解根号内字母的取值范围，学会根据性质化简二次根式。 （2）能力目标：让学生经过探索二次根式的性质的过程，培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。 （3）情感目标：通过合作学习，给学生提供探索和发现的机会和欣赏、交流的空间，引导学生自主学习，激发学生学习数学的兴趣，使全体学生积极参与并体验成功的喜悦。 二、教学重点 1a≥0）的内涵．2a≥0）是一个非负数 3、2＝a（a≥0）4a ?及其运用． 三、教学难点 a≥0）是一个非负数的理解 1 22＝a的推导及应用。 四、教学设想： 过去老师教，学生被动听。新课改要求教师把学习的主动权交给学生，让学生自主探究、合作交流；教师只是引导、点拨，这样的课堂教学，才能够培养学生的钻研探讨能力，同时也提高了学生的语言表达能力。课堂上学生展现出的是自己的思维火花、创新能
力。让学生变“要我学”为“我要学”，“我乐学”。只有这样学生才 有可能成为课堂真正的主人。 五、教学环节分析： 本节课由两个环节组成:1、先由学生提前进行课前预习。2、利 用学案，学生分小组在课堂上进行展示。教师引导学生突破本节课 的重点、难点。 六、教学过程： （一）第一学习小组展示学案里的复习回顾的内容 问题1：什么是4的平方根?4的平方根有哪些? 2的算术平方根是什么？ 问题2：如图，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=1，∠C=90°， 那么AC 边的长是__________． 问题3：正方形的面积为S,则它的边长为_____. 归纳出:每一个正实数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根 是0，负数没有平方根。 （二）探索新知： 知识点一: 二次根式的定义 师：像±25这样的式子，我们就把它称二次根式．什 么是二次根式呢？下面由第二学习小组展示 生1：一般地，a ≥0）?的式子叫做二次根式，称为:“二次根号”,简称为“根号”．根号下的数a 叫做被开方数。 师：二次根式概念里，抓住哪两个关键点？
二次根式的乘除(第2课时)教案
二次根式的乘除教案 第二课时 教学内容 a b = a b （a≥0，b>0），反过来 a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 理解a b = a b （a≥0，b>0）和 a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1．重点：理解a b = a b （a≥0，b>0）， a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1） 9 16 =________， 9 16 =_________； （216 36 =________ 16 36 ； （3 4 16 =________ 4 16 ； （436 81 =________ 36 81 ． 9 16 9 16 16 36 16 36 4 16 4 16 36 8136 81 3．利用计算器计算填空:
（1）3 4 =_________，（2） 2 3 =_________，（3） 2 5 =______，（4） 7 8 =________． 规律：3 4 ______ 3 4 ； 2 3 _______ 2 3 ； 2 5 _____ 2 5 ； 7 8 _____ 7 8 。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果． （老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定： a b = a b （a≥0，b>0）， 反过来，a b = a b （a≥0，b>0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 例1．计算：（112 3 （2 31 28 （3 11 416 （4 64 8 分析：上面4a b a b a≥0，b>0）便可直接得出答案． 解：（112 3 12 3 4=2 （231 28 313 834 282 ÷=?=?33 （311 416 111 16 4164 ÷=?4=2 （464 8 64 8 82 例2．化简： （13 64 （2 2 2 64 9 b a （3 2 9 64 x y （4 2 5 169 x y a b a b a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
第2课时—二次根式的性质
第十六章二次根式 第2课时二次根式的性质知识点1：（√a）2=a（a≥0） 【例1】计算： （1）（√5）2=____； （2）（√1.2）2=____； （32=____； （4）（2√2）2=____. 同步练习 1.计算： （1）（√3）2=____； （2）（√3.6）2=____； （32=____； （4）（3√7）2=____. 知识点2：√a2=|a| 【例2】利用√a2=|a|的性质化简： （1）√82=_____； （2）√（?2）2 =_____； （3； （4）√（x2+1）2 =_____.
同步练习 2.化简： （1）√22=_____； （2）√（?0.5）2 =_____； （3）√（3?π）2 =_____. 【例3】使√（x?1）2=1-x成立的x的取值范围是______. 同步练习 3. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简√a2?|a-b|的结果为_____. 【课时过关】 4.计算：（1）（√7）2=_____； （2） 2 7 3 ?? ? ?? =_____； （3）√（?4）2 =_____. 5. 利用a=(√a)2(a≥0),把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式:（1）9=____； （2）5=____； （3）2.5=____； （4）0.25=____； （5）1 2 =____；
（6）0=____. 6.若a ＜2,化简√（a ?2）2-3=___________. 7.若√a +1+√b ?1=0，a 2021+b 2022的值. 8.化简：√1?2a +a 2（a ＜1）. 【课时提升】 9. 若a 为正数，则有（ ） A.a ＞√a B.a ＜√a C.a=√a D.a 与√a 的大小无法确定 10. 已知a 为实数，若√?a 2在实数范围内有意义，那么√?a 2=_____. 11. 实数a 、b 在数轴上对应的如图所示，化简：√a 2-√b 2+√（a ?b ）2 . 12.若|b-1|+√b 2?10b +25=4，求b 的取值范围.
二次根式第1课时二次根式的概念教案
16．1 二次根式 第1课时二次根式的概念 1．能用二次根式表示实际问题中的数 量及数量关系，体会研究二次根式的必要 性；(难点) 2．能根据算术平方根的意义了解二次 根式的概念及性质，会求二次根式中被开方 数中字母的取值范围．(重点) 一、情境导入 问题1：你能用带有根号的式子填空 吗？ (1)面积为3的正方形的边长为 ________，面积为S的正方形的边长为 ________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍， 面积为130m2，则它的宽为________m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地 面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单 位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式 子表示t，则t＝______． 问题2：上面得到的式子3，S，65， h 5 分别表示什么意义？它们有什么共同 特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的定义 下列各式中，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)3 13；(5) 1 5 － 1 6 ；(6)3－x (x≤3)； (7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2； (9)－x2－5； (10)（a－b）2(ab≥0)． 解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数． 解：因为11，（－7）2， 1 5 － 1 6 ＝ 1 30 ，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式. 3 13的根指数不是2，－5，－x (x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式． 方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数． 探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围 求使下列式子有意义的x的取值范围． (1) 1 4－3x ；(2) 3－x x－2 ；(3) x＋5 x . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解． 解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜ 4 3 .当x＜ 4 3 时， 1 4－3x 有意义； (2)由题意得 ?? ? ??3－x≥0， x－2≠0， 解得x≤3且
第七节 二次根式 第4课时 导学案
子洲三中 “双主”高效课堂 数学 导学案 2014-2015 学年第一学期 姓名： 组名： 使用时间2014年 月 日 年 级 科 目 课 题 主 备 人 备 课 方 式 负责人（签字） 审核领导（签字） 序号 八（3） 数学 第七节 二次根式 第4课时 乔智 一、【学习目标】 1．理解分母有理化的概念。 2．掌握二次根式的混合运算顺序。 二、【学习过程】 （一）、学习准备 1、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含________________，我们说这两个代数式互为有理化因式。 2、二次根式：形如)0(≥a a 的式子叫做________________，其中____________叫做被开方数。 3、二次根式的乘、除法则（1）);0,0(__________≥≥=b a ab （2） )0,0(__________>≥=b a b a 。 4、阅读教材：第七节《二次根式》（四） （二）、教材精读 5、分母有理化的概念 例1计算：（1） ；3 1 （2） 5 2 。 归纳：分母有理化：把 中的根号化去叫做分母有理化。 实践练习：把下面各式分母有理化：（1） ；3 3 （2） 5 22。 解：（1） )(() ______;3333==??=（） （） 6、分母有理化的依据 例2 将 3 51 -分母有理化。 解： ()()()() == ?-?= -)35(1351 归纳：分母有理化的依据是分式的基本性质。 实践练习：化简：（1）；2 2 2+ （2） 2 31 -。 7、有理化因式 例3化简（1） ；1 21 + （2） 3 2236 -。 归纳：常见的有理化因式有a 与________，b a +与____________，d c b a +与 ___________。 实践练习：计算（1）01)22()32(----； （2） 2 53 +。 （三）、教材拓展 8、例4计算（1） 1 32 121++-； （2） 0)13(81 21 -+-+。 归纳：分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。
16.1《二次根式》(第1-3课时)教案 新人教版
16.1 二次根式教案 第一课时二次根式的概念教学目标 知识与技能 1 理解二次根式的概念 2 a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围． 过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围 情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐 教学重难点关键 1 a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2． a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的 坐标是___________． 问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以 ， ．问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得 . 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平 a≥0）?的式子叫做二次根式， ”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 老师点评: 有意义的条件 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、 1 x x>0） 、 、 、 1 x y + x≥0，y?≥0）． 分析 ”；第二，被开方数是正数或0． x>0） 、 x≥0，y≥0）；不是二 、 1 x 、 1 x y + ． 例2．当x是多少时，2 - x在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2 - x?才能有意义． 解：由x-2≥0，得：x≥2 当x≥2时，2 - x在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材练习1、2、3． 四、应用拓展
7.1二次根式(第1课时)教学设计
7．二次根式（第1课时） 教学目标： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2. 会用计算器求平方根和立方根． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 教学重点：认识二次根式和最简二次根式的概念. 教学难点：利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 教学过程 ： 一：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7， 12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子 )0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 二：探究性质 （一）内容：通过探究得出b a b a ?=?， b a b a =． 具体过程如下： （1）94?＝ ，94?＝ ； 2516?＝ ，2516?＝ ； 94 ＝ ，94＝ ； 2516＝ ，25 16＝ ．
（2）用计算器计算： 76?＝ ，76?＝ ；76 ＝ ，7 6＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？ 问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？ 问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？ 三：知识巩固 例1 化简（1）6481?；（2）625?；（3）9 5。 观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？ 例2.化简：（1）45；（2）27；（3） 31；（4）98；（5）16 125． 问题： （1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？ （2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。 四：知识拓展 随堂练习 五：课堂小结 （1）掌握并会运用公式：b a b a ?=? b a b a =
二次根式的性质(第2课时)
二次根式的性质（第2课时） 学生姓名： 教学目标1 a ≥0）是一个非负数2 2=a （a ≥0 （a ≥0）。3、会运用上述两个性质进行有关计算和化简。 重点：理解二次根式的上述两个性质；难点：灵活运用上述两个性质进行有关计算。 学习过程 一、知识准备 二次根式的概念： 二、探究 探究（—）当a>0 a 0; 当a=0 0. 概括: 探究（二） 根据算术平方根的意义填空： 2=_______； 4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 2=4． 2=_______；2=______；2=_______． 概括: 例题与练习： 计算 （1） ）2 （2） （ 2 （3） （2 ）2 ；)3(2-= ； )21(2-= ；=_____。 例题与练习： 化简
（1） 22 （2 三、课堂小结 二次根式的性质： 四、课后作业 1、数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A 、a>0 B 、a ≥0 C 、a<0 D 、a=0 2x 的取值范围为 A 、x>3 B 、x ≥3 C 、x<3 D ．x=3 3、（）2=________； 4x 的取值范围是_______ 5m 的最小值是________． 6、计算 （1）2 （2）-）2 （3）（ 122 7，求x y 的值． 8、在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 2 x+3 9、先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+（1-a ）=1； 乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
八年级数学下册第16章二次根式161二次根式课时提升作业人教版
二次根式 (第1课时) (30分钟50分) 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.下列式子(1),(2),(3),(4)中, 是二次根式的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.其中(1)(2)是二次根式. 2.(2017·济宁中考)若++1在实数范围内有意义,则x满足的条件是( ) 导学号42684187 A.x≥ B.x≤ C.x= D.x≠ 【解析】选C.由题意知:解得x=. 3.若是整数,则正整数n的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C.因为20n=22×5n,所以整数n的最小值为5. 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.(2017·衢州中考)二次根式中字母a的取值范围是________. 【解析】由题意得a-2>0.解得a>2. 答案:a>2 【变式训练】无论x取任何实数,代数式都有意义,则m的取值范围为________. 【解析】由题意,得x2-6x+m≥0,即(x-3)2-9+m≥0,则(x-3)2≥9-m.∵(x-3)2≥0,∴9-m≤0,∴m≥9.
答案:m≥9 5.若y=++2,则x y=________. 导学号42684188 【解题指南】对于二次根式,根号下的被开方数必须是非负数才有意义,那么一对相反数同时为二次根式的被开方数,则被开方数为0,通过计算得x的值,进而得到y的值,然后代入求值即可. 【解析】因为y=++2, 所以x-3=0, 故x=3,y=2, 则x y=32=9. 答案:9 【变式训练】x取什么实数时,式子+有意义? 【解析】由3x-4≥0,且4-3x≥0.解得x≥,且x≤,所以x=. 所以当x=时,式子+有意义. 6.已知一个球的表面积是84π,那么它的半径是________.(球的表面积公式为S=4πr2) 【解析】根据题意可知S=4πr2=84π,即r2=21, 可得r=(根据题意,取正值). 答案: 三、解答题(共26分) 7.(8分)阅读下列材料:我们在学习二次根式时,式子 有意义,则x≥0;式子有意义,则x≤0;若式子 +有意义,求x的取值范围.这个问题可以转化为不等式组来解决,即求关于x的不等式组 的解集,解这个不等式组得x=0.
(完整版)16.1二次根式(第二课时)教学设计.doc
《16.1 二次根式（第二课时）》教学设计 教学目标 1.理解二次根式的基本性质，能运用二次根式的性质计算和化简，正 确区分 a 2 a a 0 ，了解代数式的概念与特 a a 0 和a2 征. 2.在观察、比较、总结归纳二次根式的基本性质的过程中，增强学生的参与意识，发展学生的归纳概括能力，通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力. 3.通过小组合作学习，经历观察、比较、总结归纳和应用等数学活动，感受数学学习的探索性和创造性，利用小组交流体验发现问题的乐趣，激发学生的学习兴趣，并提高对二次根式性质的应用意识. 教学重点与难点 教学重点 :二次根式基本性质的探究 教学难点 :二次根式基本性质的应用 教材与学情分析 教材分析 : 在“实数”一章中，学生已经学习了平方根及算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系，求解非负数的平方根和算术平方根的方法 . 而本节课是在学生了解了二次根式的概念的基础上学习二次根式的基本性质，并为之后学习二次根式的 加、减、乘、除四则运算与最简二次根式打下基础，是本章最基础的知识点之一，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习打下基础 . 同时，本章以二次根式这一典型的“式”为载体，进一步
学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，进而培养符号意识和运算能力 . 学情分析 : 在这节课之前，学生刚刚学习了二次根式的概念，理解起来有一定的难度，所以通过利用算术平方根的意义等知识，进行探究、计算，得出二次根式的基本性质 . 利用二次根式的基本性质进行简单计算加深印象，并在此基础上将习题变形，提高学生的应用能力 . 二、教学过程 ( 一) 、新知引入： 1.指出下列式子中的二次根式： 5，- 3 3， x 2 1，a 2(a 2), a b(a b) 3，21，2 2.什么样的式子我们称之为二次根式？（二次根式的概念） 二次根式：形如 a (a0) 的式子叫做二次根式. 其中 a 0 ，a 0. 【设计意图：】通过辨别二次根式的练习，回顾二次根式的概念. ( 二) 、探究新知： 一、性质 1 的探究： 1.问题 1 根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？ 4 2 2 2 ______ ______ 1 2 ______ 0 2 3 ______ 小组合作学习，进行探究，并得出猜想和结论： 2 a a(a0)
7 二次根式(第2课时)说课稿
二次根式（第2课时） 一、学生起点分析 在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式： b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。 二、教材任务分析 二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册 第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是： 1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法． 3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识． 4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 三．教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：复习引入 内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？ 这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题 意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。 面积8 面积2
第二环节：知识探究 1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则： b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？ 例3 计算： （1）326?；（2）2 36?；（3）52。 解： （1）略 （2）2 3 6?＝236?＝236?＝9＝3 （3）52＝＝5 2＝5552??=510 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数． 第三环节：巩固练习 例4 计算： （1）3322?（2）5312-?；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+； （5）3)3112(?-；（6）2 188+。 解：（1）3322?=32??32?=66； （2）5312-?＝5312-?＝536-＝6－5＝1； （3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52； （4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4； （5）3)3112(?-51613633 1312=-=-=?-?=；
21.1 二次根式(第3课时)教案
21.1 二次根式(3) 第三课时 教学内容 a （a ≥0） 教学目标 （a ≥0）并利用它进行计算和化简． （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1a ≥0）的式子叫做二次根式； 2a ≥0）是一个非负数； 3．2＝a （a ≥0）． 那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空： =_______=______； =________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： =0.01=11023=037． 例1 化简 （1 （2 （3 （4
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32（a≥0）?去化简． 解：（1=3 （2=4 （3（4=3 三、巩固练习 教材P7练习2． 四、应用拓展 例2 填空：当a≥0；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题． （1，则a可以是什么数？ （2，则a可以是什么数？ （3，则a可以是什么数？ 分析（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应 变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2） │a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1，所以a≥0； （2，所以a≤0； （3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0， ，即使-a>a，a<0综上，a<0 例3当x>2 分析：(略) 五、归纳小结 （a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展． 六、布置作业 1．教材P8习题21．1 3、4、6、8． 2．选作课时作业设计．
中考数学总复习第4课时二次根式基础过关训练新版新人教版
第4课时 二次根式 知能优化训练 中考回顾 1.(2017天津中考)估计的值在() A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 2.(2017四川成都中考)二次根式中,x 的取值范围是 () A.x ≥1 B.x>1 C.x ≤1 D.x<1 3.(2017内蒙古赤峰中考)能使式子成立的x 的取值范围是() A.x ≥1 B.x ≥2 C.1≤x ≤2 D.x ≤2 4.(2017重庆中考)估计 +1的值应在() A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 5.(2017四川成都中考)计算:|-1|- +2sin 45°+ .3=4+2-1-=4+2 +2-1-= 模拟预测 1.估计+1的值在() A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 2.若a<1,化简 -1等于() A.a-2 B.2-a C.a D.-a 3.下列式子运算正确的是() A =1 B =4 C D =4 4.已知实数x ,y 满足|x-4|+=0,则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是()
A.20或16 B.20 C.16 D.以上答案均不对 5.平方根节是数学爱好者的节日,这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的算术平方根,例如2004年的2月2日,2009年的3月3日,请你写出本世纪内你喜欢的一个平方根节(题中 所举例子除外). 年月日 )答案不唯一4( 6.对于任意不相等的两个实数a ,b ,定义运算※如下:a ※b=,则8※12=. - == 7.当-1 16.1 二次根式（第3课时） 使学生理解并掌握 =,并能利用这一结论进行计算. 通过对的化简，培养学生分类讨论的思想. 解决了这一类问题的化简问题. 利用=（≥0）进行计算 当<0时，=-这一结论的推导和应用. 课题16.1 二次根式 问题1，2 结论：当（≥0）时= 归纳小结例2.计算: 活动一复习旧知识 1.()2 2.()2=_______ =_______； 活动二探索填空 _____==______； _____==______； _____==______；_____==______；_____==______； 求的是22算术平方 根，即求4的算术平方根是2； 同理依次可得 4，0.1，，0； 因此，总结出 当（≥0）时=. 例1 化简: 学生口答第（1）小题 （2）小题学生考虑应考 虑什么?怎样填写? 与学生一起分析填空， 同时讲清（≥0）的 意义并总结出规律. （1）（2）两小题学生自 己解决； （3）小题提醒学生应注 意考虑x的取值范围. 学生独自完成，在全体 订正答案. 这两道小题的设计目 的是复习旧知识,使学生 与本节课的内容分开. 使学生理解（ ≥0）实际上是求2的算 术平方根. 培养学生的归纳能力 虽然x可以取全体实 数，但要养成习惯对字母 进行讨论. 对负指数的化简学生 应多加注意. （1）； （2）； （3）. 解：（1）=8；（2）==4；（3）=x2+1. 练习.计算： （1）； （2） （3）； （4）. 解：（1）=0.3；（2）=； （3）=5； （4）=10-1=0.1=. 问题与情境设计意图活动三拓展提高 议一议： =_______=______； =_______=______； =______=______； 由上可知,需要a 的范围吗？为什么？ 当a<0时，=？ =＿＿＿(≥0) =＿＿＿(<0). 例2.计算: （1）； （2）； （3）. 从特殊到一般归纳完整的化简的结论. 利用这三个小题进一步使学生对的化简有更深刻的理解. 介绍代数式的定义为今后的学习代数式化简做好准备. 训练学生的语言表达能力,勇于表达出自己的意见和想法. 第二章实数 7．二次根式（第3课时） 一、学生情况分析 前面学习了实数，实数的运算法则，最简二次根式及二次根式的化简，已能进行实数的四则运算.但熟练程度不高，同时对根号内含字母的二次根式的化简比较生疏.．为今后的数学学习扫清了计算方面的障碍． 二、教学任务分析 二次根式（第3课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第3课时．继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算．二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算基本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算。若能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题基本解决了．经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解。因此本节课的目标定为： 1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。 2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简 3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题．通过独立思考，能选择合理的方法解决问题． 4.在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法． 根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点． 三、教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识巩固； 第三环节：问题解决；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结； 第六环节：作业布置. 第一环节：复习引入 内容： （1）最简二次根式的概念； （2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？ （3）上节课课后作业：若414.12≈，732.13≈，449.26≈，求2 3 ．你是怎样解决的？ 意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课． 第二环节：知识巩固 1.巩固提升 例4 计算： （1） 3223- ；（2）81 818+-；（3）3)6 124(÷-． 解：（1） 3223-＝33322223??-??＝631621-＝6)3 1 21(-＝661； （2）81818+ -＝162222322+?-?＝2412223+-＝24 5 ； （3）3) 6124(÷- ＝ 361324÷-÷＝ 361324÷-÷ ＝ 3618?- ＝ 66224?-?＝ 26122-＝ 26 11 ． 说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见． 2.交流 收集第（3）小题有多少种解决方法．让学生说说想法． 3.反思 以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？ 4.练习 化简： （1） 10152-；（2）31312+-；（3）8)2 118(?-． 八年级数学教案 课题：16.1二次根式(第一课时) 课型：新授课 执笔：亓桂琴 备课时间： 月 日 授课时间： 授课班级: 教学过程 序号：1 （3）??? n > 0, ??? -n w 0, ???当n=0时」n2才是二次根式； （4）当a-2 > 0时是二次 根式,当a-2<0时不是二次根式；即当 a > 2是二次根式,当a<0时不是二次根式； （5）当x-y> 0时是二次根式,当x-y<0 时不是二次根式；即当x> y是二次根式，当x二次根式第三课时教案.
7.3 二次根式(第3课时)教学设计
二次根式第一课时教案