排列组合与二项式定理及概率应用综合

第一讲 排列组合概念及简单应用

排列和排列数公式

A m n

＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！

(n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1.

组合与组合数公式

1．组合数公式

C m

n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且

m ≤n )

2．组合数的性质

(1)C m n ＝C n

－m

n

(2)C m n ＋1＝C m n ＋C m －

1n

常规题型

一、投信问题

1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？

（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？

二、染色问题

1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.

2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．

3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．

解析：把区域分为三部分，第一部分1,5,9，有3种涂法．第二部分4,7,8，当5,7同色时，4,8各有2种涂法，共4种涂法；当5,7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．

答案：108

三、相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位乙不在某位问题有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选其中5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

（4）全体排成一排，女生必须站在一起；

（5）全体排成一排，男生互不相邻；

（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.

（7）甲必须站在中间

（8）甲不能站在开头,乙不站在排尾。

四、顺序一定问题

1、7名同学排成一排，甲必须在乙的左边，有多少种排队方法？

2、7名同学排成一排，甲在乙的左边，乙在丙的左边，共有几种排队方法？

五、平均分配与不平均分配问题

1、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？

2、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？

3、六本不同的书分成1本，2本，3本，共有多少种分配方法？

4、六本不同的书分成1本，2本，3本，然后分给甲、乙、丙三位同学，共有多少种分配方法？

5、6本不同的书，分成两个1本，一个四本三组，分给三位同学，共有多少种不同的分发？

六、综合

1、用0、1、

2、

3、

4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125的数.

解（1）144（个）.

（2）156（个）.

（3）162(个).

2、（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）队长中至少有1人参加；

（4）既要有队长，又要有女运动员.

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.

（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？

（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？

（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

5、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有（）

A.1 440种

B.960种

C.720种

D.480种

6、宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄掉其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为.（用数字作答）

基础训练

1．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）

A.9个

B.24个

C.36个

D.54个

解析选出符合题意的三个数有12

339

C C=种方法，每三个数可排成3

36

A=个三位数，

∴共有9×6=54个符合题意的三位数

2.已知{1，2}?X?{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合X共有（）

A.2个

B.6个

C.4个

D.8个

解析由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，

从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个.故有0123

33338

C C C C

+++=（个）

3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）

A.25种

B.35种

C.840种

D.820种

解析若选男生甲，则有3

510

C=种不同的选法；同理，选女生乙也有10种不同的选法；两人都

不选有4

55

C=种不同的选法，所以共有25种不同的选派方案.

4.（2009·湖南理，5）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）

A.85

B.56

C.49

D.28

解析丙不入选的选法有3

984

C=（种）,甲乙丙都不入选的选法有3

735

C=（种）.

所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84-35=49种.

5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）

A.36种

B.48种

C.72种

D.96种

解析恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空.从而共

32 3472

A A

?=种排法.

例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选其中5人排成一排；2520

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；5040

（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；3600

（4）全体排成一排，女生必须站在一起；576

（5）全体排成一排，男生互不相邻；1440

（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.720

例2 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多

少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；120 （2）至少有1名女运动员；246 （3）队长中至少有1人参加；196

（4）既要有队长，又要有女运动员.191

练习：在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ （1）A ，B 必须当选；120 （2）A ，B 必不当选；252 （3）A ，B 不全当选；672

（4）至少有2名女生当选；596

（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.12600

例 3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？144 （2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？144 （3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？84

练习：已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止. （1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

解 （1）先排前4次测试，只能取正品，有 种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和

第10的位置上测试，有2242

C A ?种测法，再排余下4件的测试位置，有4

4A 种测法.所以共有不同排法 424644103680A A A ??=种.

（2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现.所以不同测试方法共有

1134

4634()576A C C A ??=种.

第二讲 二项式定理及其应用

一、 定理

1.公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *

)叫做二项式定理

2. 通项T k ＋1＝C k n a

n －

k b k 为展开式的第k ＋1项． 3．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数

二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1，…，n })叫做二项式系数． (2)项的系数

项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 4．二项式系数的性质

(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －

m n

. (2)增减性与最大值：二项式系数C k n

，当k n ＋12时，二项式系数逐渐减小．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大．

(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n

. (4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2

n －

1. 5. 二项展开式系数最大项的求法

如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别

为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用?????

A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，

二、常规题型 专题一

题型一：二项式定理的逆用；

例：123

21666 .n

n n n n n C C C C -+?+?+

+?=

练：123

1393 .n n

n n n n C C C C -+++

+=

题型二：利用通项公式求n

x 的系数；

例：在二项式n

的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？

练：求29

1()2x x

-

展开式中9x 的系数？

题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(

x 的展开式中的常数项？

练：求二项式6

1(2)2x x

-的展开式中的常数项？

练：若2

1()n

x x

+

的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =

题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

例：求二项式9展开式中的有理项？

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；

例：若

n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .

练：若n

的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

题型六：最大系数，最大项；

例：已知1(2)2

n

x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二

项式系数最大项的系数是多少？ 。

练：在2()n a b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

练：在

(2n

x -的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？

练：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

练：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2

n

x +的展开式中系数最大的项？

练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？

题型七：含有三项变两项；

例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？

练：求式子31

(2)x x

+

-的常数项？

题型八：两个二项式相乘；

例：342

(12)(1)x x x +-求展开式中的系数.

练：6

10

(1(1求展开式中的常数项.

练：2

*31(1)(),28,______.n x x x n N n n x

+++∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则

题型九：赋值法；

例：设二项式1)n

x

的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若

272p s +=,则n 等于多少？

练：若n

x x ???

? ??-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？

练：2009

1232009200912

0123200922009

(12)(),222a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++???+若则

的值为

练：55432154321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则

概率 随机事件的概率

例1．1) 一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求

取出的两个球都是白球的概率；

(2) 箱中有某种产品a 个正品，b 个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（ ）

A ．33b

a a C C + B ．33

b a a A A + C ．33

)(b a a + D ．33b a a A C -

(3) 某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他

们是选修不同课程的学生的概率是多少？

解：（1）从袋内8个球中任取两个球共有2828=C 种不同结果，从5个白球中取出2个白球有10

2

5=C 种不同结果，则取出的两球都是白球的概率为14

5

2810)(==A P （2）

3

3)(b a a + （3）7

3250

135115=

?=

C C C P 练习1. 盒中有1个黑球9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由10人依次摸出1个球，高第1人摸出的是黑球的概率为P 1，第10人摸出是黑球的概率为P 10，则 （ ） A ．11010

1P P =

B ．1109

1

P P =

C ．P 10＝0

D ．P 10＝P 1 解：D

2. 在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就可获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：

（1）他获得优秀的概率是多少？

（2）他获得及格与及格以上的概率有多大？

解：从20道题中随机抽出6道题的结果数，即是从20个元素中任取6个元素的组合数6

20C ．由于是

随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等．

(1)记“他答对5道题”为事件1A ，由分析过程已知在这620C 种结果中，他答对5题的结果有

6518812700C C C +=种，故事件1A 的概率为()12070035

.1938

P A C =

= (2)记“他至少答对4道题”为事件2A ，由分析知他答对4道题的可能结果为65142

88128125320C C C C C ++=种，

故事件2A 的概率为：()26

20

53207

51P A C == 答：他获得优秀的概率为

351938，获得及格以上的概率为7.51

3、有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席

位上就坐时.

(1) 求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；

(2) 若在这5个人侍在指定位置上的概率不小于6

1，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？ 解：（1）12

1)(55

35=

=

A C A P （2）由于3人坐在指定位置的概率121<6

1

，故可考虑2人坐在指定位置上的概率，设5人中有2人坐在指定位置上为事件B ，则6

1

2)(55

25=

=

A C

B P ，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于6

1，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多2人坐在指定席位上．

互斥事件有一个发生的概率

例1. 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求： （1）3只全是红球的概率． （2）3只颜色全相同的概率． （3）3只颜色不全相同的概率． （4）3只颜色全不相同的概率． 解：(1)记“3只全是红球”为事件A ．从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现33327??=种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A 的概率为1

27

P(A )=

． (2) “3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(事件A)；“3只全是黄球”(设为事件B)；“3只全是白球”(设为事件C)．故“3只颜色全相同”这个事件为A+B+C ，由于事件A 、B 、C 不可能同时发生，因此它们是互斥事件．再由于红、黄、白球个数一样，故不难得

1

27

P(B )P(C )P(A )===

，

故19

P(A B C )P(A )P(B )P(C )++=++=．

(3) 3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D ，则事件D 为“3只颜色全相同”，显然事件D 与D 是对立事件．

181199

P(D )P(D ).∴=-=-

= (4) 要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各

一只的可能结果有111

3216C C C =种，故3只颜色全不相同的概率为

62

279

=． 练习1. 从装有２个红球和２个黑球的口袋内任取２个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ ）

A ．至少有1个黑球与都是黑球

B ．至少有1个黑球与至少有1个红球

C ．恰有1个黑球与恰有2个黑球

D ．至少有1个黑球与都是红球 解：C

2. 从男女学生共36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会，如果选得同性委员的概率等于1

2

，求男女相差几名？

解: 设男生有x 名，则女生有36-x 名，选得2名委员都是男生的概率为：2

36

13635

x C x(x )

C -=

? 选得

2名委员都是女生的概率为236236

36353635x C (x )(x )

C ---=?

以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率是1

2

得：

136351

363536352

x(x )(x )(x )---+=?? 解得：15x =或21x =

即：男生有15名，女生有21名；或男生有21名，女生有15名．总之，男、女生相差6名．

3. 学校某班学习小组共10小，有男生若干人，女生若干人，现要选出3人去参加某项调查活动，已知至少有一名女生去的概率为6

5，求该小组男生的人数？ 解：6人

相互独立事件同时发生的概率和条件概率

例1. 如图所示，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统1N 、2N ，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统1N 正常工作，当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有1个正常工作时系统2N 正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.8、0.9、0.9，分别求系统1N 、2N 正常工作时的概率．

解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ， 由已知条件080090090P(A ).,P(B ).,P(C ).===

(Ⅰ)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统1N 正常工作的概率

10800900900648

P P(A B C )P(A )P(B )P(C )....=??=??=??= 故系统1N 正常工作的概率为0.648.

(Ⅱ)系统2N 正常工作的概率

()()()()

()

()21111090010P P(A )P P A P P ,

P B P B ..,

????=?-?=?-?????=-=-=

()

()[]21109001008010100100800990792P C P C ..,P .......

=-=-=∴=?-?=?=

故系统正常工作的概率为0.792．

练习1. 有甲、乙两地生产某种产品，甲地的合格率为90%，乙地的合格率为92%，从两地生产的产品中各抽取1 件，都抽到合格品的概率等于 （ ） A ．112% B ．9.2% C ．82.8% D ．0.8% 解：C

2. 箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题： ①求事件A ：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率； ②求事件B ：“三次中恰有一次取出红球”的概率. 解：（①

12516

；② 125

48 3、从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出1 个红球的概率是2

1，从两袋中各摸出1个球，则3

2等于 （ ）

A ．2个球不都是红球的概率

B ．2个球都是红球的概率

C ．至少有1个红球的概率

D ．2个球中恰好有1个红球的概率 解：C

4、甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率为12，甲、乙、丙三人都做对的概率是1

24

，甲、乙、丙三人全做错的概率是14

．

（1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；

（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率． 解： ①3

1,4

1或4

1,3

1；②

24

11 5. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为4

1

，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为

121

，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为9

2.①分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零

件是一等品的概率；②从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 解：①3

1,4

1,3

2；②6

5

例 2 甲、乙两地位于长江下游，根据天气预报的记录得知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%，求甲市为雨天，乙市也为雨天的概率是多少？乙市为雨天甲市也为雨天的概率市多少？甲乙两市至少有一地委雨天的概率是多少？

几何概型

例1 （Ⅰ）连续抛掷两枚正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，

6)，记所得朝上的面的点数分别为y x ,, 过坐标原点和点),(y x P 的直线的倾斜角为θ.求060>θ的概率；

（Ⅱ）若R y x ∈,, 且,61,61≤≤≤≤y x 过坐标原点和点),(y x P 的直线的斜率为k,求

1

33

k ≤≤的概率. 答案.解：（Ⅰ）用),(y x 表示基本事件，其中}6,5,4,3,2,1{,∈y x ，则总的基本事件有

3666=?个 ----------------2分

,60 >θ ∴ 360tan tan => θ 过原点和),(y x P 的直线的斜率为x

y ∴ 斜率大于3的基本事件为

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,6)

共9个

-----------------------------4分

∴ 所求的概率为

91

364

= ----------6分 （Ⅱ） 61,61,,≤≤≤≤∈y x R y x

∴

设事件M=1(,)|16,16,

3,,3y x y x y x y R x ??≤≤≤≤≤≤∈????

则事件M 构成的区域如下图中的阴影部分:

∴ 所求的概率P 1(3)3k ≤≤=1

252132222525

-???=

----------12分

练习 1.(2009山东卷理)在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到2

1

之间的概率为( ). A.

31 B.π2 C.21 D.3

2

【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2x π的值介于0到2

1

之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3

2，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为3

1

232

=.故选A.

答案:A

2.ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为

（A ）

4

π

（B ）14

π

-

（C ）

8

π

（D ）18

π

-

【解析】长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为

2

π 因此取到的点到O 的距离小于1的概率为2π÷2＝4

π 取到的点到O 的距离大于1的概率为14

π-

3、有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率是多少？

4、两个人约定在20：00点到21：00点见面，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离开， 如果两个人出发是各自独立的，在这个时间相见是等可能的，求两个人相见的概率。

5、在长度为10米的线段内任取两点将线段分成三份，求它们可以构成三角形的概率。

离散型随机变量的分布列

例1. 袋子中有1个白球和2个红球．

⑴ 每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数ξ的分布列． ⑵ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数ξ的分布列．

⑶ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次．求取球次数ξ的分布列． ⑷ 每次取1个球，放回，共取5次．求取到白球次数ξ的分布列． 解： ⑴1,2,3.ξ=

()()()1

3

12232233

111,311

2,

3113.

3P A A P A A P A ξξξ==

=======

)2(=ξP ＝3

1

12312=

?A A

)3(=ξP ＝

3

1133

22=

?A A ∴所求ξ的分布列是

⑵每次取到白球的概率是13

，不取到白球的概率是23

，∴所求的分布列是

⑶ ⑷

1~5,

,3B ξ?? ??

?

∴ P ＝(ξ＝k)＝C 5

k

(3

1)k

·(3

2)5－k

，

其中0,1,2,3,4,5.k =

∴所求ξ的分布列是

ξ则q ＝

（ ）

A ．1 B

．1±C

．1

D

．1

解：D

例2. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列．

解：随机变量的取值为3，4，5，6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为3

6C ，事件

“3ξ=”包含的基本事件总数为33C ，事件“4ξ=”包含的基本事件总数为1213

C C ；事件“5ξ=”包含的基本事件总数为1214

C C ；事件6ξ=包含的基本事件总数为1215C C ；从而有 ()()()()3

336

12136

12

14

361215

36

1320

3

4203510162

C P C C C P C C C P C C C P C ξξξξ==

=

========

=

粒，记ξ为2粒中优质良种粒数，则ξ的分布列是 . 解：

例3. 一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ

的概率分布. 解：

变式训练3：师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为ξ，求随机变量ξ的概率分布.

解：

第4课时 离散型随机变量的期望与方差

例1． 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数． ①求ξ的分布列； ②求ξ的数学期望；

③求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率. 解：①

②E ξ＝1

③5

4)1()0()1(==+==≤ξξξP P P

变式训练1：如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E ξ＝ （ ） A ．34

B ．

12

5 C ．

19

7

D ．13

解：B

例2 抛掷两个骰子,当至少有一个5点或6点出现时,就说这次试验成功,求在30次试验中成功次数η的期望和方差.

解:()~30,B P η,其中44516

6

9

P =-?=.所以5505420030.30.9

3

9

9

27

E D ηη=?==??=

变式训练2：布袋中有大小相同的4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，试求得分ξ的概率分布和数学期望． 解：

527

例3 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表： 射手甲

射手乙

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平． 解：10.60.20.2,10.40.40.2a b =--==--=

()()()()()()12

2

2

122

2

2

1121280.290.6100.29,

890.2990.61090.20.480.490.2100.49,

890.4990.21090.40.8,.

E D E D E E D D ξξξξξξξξ=?+?+?==-?+-?+-?==?+?+?==-?+-?+-?==<

∴甲乙两名射手所得环数的平均值相等，但射手甲所得环数比较集中，射手乙所得环数比较分散，射手甲射击水平较稳定．

几种常见的分布

一、离散型随机变量的分布列

例1 设袋中有8个大小相同的球，其中3个白球，3个红球，2个黑球，从中随机取3个球，若取的一个白球的一分，取一个红球扣一分，取一个黑球的0分，求得分数X 的分布列。

三、超几何分布

例1 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示参赛的男生，求X 的分布列。

4644

10

()k k

C C P X k C -==

四、二项分布

例1 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每对三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率为

23

，乙队中三人答对的概率分布为211

,,332，且各人回答正确与

否相互之间没有影响，用ξ表示你甲队的总得分。 （1） 求随机变量ξ的分布列和数学期望；

（2） 用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总

得分”这一事件，求P(AB).