高二数学圆锥曲线基础练习题(一)讲义

高二数学圆锥曲线基础练习题（一）

一、选择题：

１.抛物线x y 42=的焦点坐标为 ? ( ） A ．)1,0( ?Ｂ.)0,1( C ． )2,0(

D ．)0,2(

2．双曲线2

2

1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = （ ）

?A.1

4

-

?B ．4- C.4 D ．

14

3.双曲线

22

1916

x y -=的一个焦点到渐近线距离为 （ )

?A ．６ B.5 C ．4 D.3

４．已知△ＡBC 的顶点Ｂ、C 在椭圆错误!＋ｙ2=１上,顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点

在BC 边上,则△ABC 的周长是 （ ） ?A.2＼ｒ(，3） ?B.６

C.4 3 ?D ．1２

5.已知椭圆22

1102

x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4,则m 等于 ?( ) A.4 ?Ｂ．5 C ．7 ?D.8

6.已知P 是双曲线22

219

x y a -

=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=． 设 12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = ?( ) ?A ． 5 ?B.４ ?C ．3 ?D ．2

7．将抛物线2

(2)1y x =-+按向量a 平移，使顶点与原点重合，则向量ａ的坐标是（ ) ?A.(2,1)--

B ．(2,1) ?C.(2,1)-

D ．(2,1)-

8．已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ,P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥,

12||||2PF PF ?=,则该双曲线的方程是 ?（ ）

A.13222=-y x ?Ｂ．12322=-y x ?C.1422

=-y x D ．14

2

2

=-y x 9．设11229

(,),(4,),(,)5

A x y

B

C x y 是右焦点为F 的椭圆

221259x y +=上三个不同的点,则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的 ?( ) ?A.充要条件 ?Ｂ.必要不充分条件

１0.已知双曲线22

:

1916

x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点,且212PF F F =，则12PF F ?的面积等于 ?（ )

A.24 ?

B.36 ?

C.48 ?D ．96

１1.已知点Ｐ在抛物线2

4y x =上,那么点P 到点Q （２,-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小

值时,点P 的坐标为 ??（ ）

A ．（

1

4

,-1) Ｂ.(

1

4

，1) ?C.(1，2) Ｄ．(1，－2)

１2．设P 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上的一点,1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点,则以线段2

PF 为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是

（ ）

?A.内切?B ．外切 C.内切或外切?Ｄ.不相切

二、填空题:

１3．点P 是抛物线x y 42

=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值

是? ?;

1４．已知Ｐ是椭圆2

214

x y +=在第一象限内的点,Ａ(2，0）,Ｂ（0,1)，O 为原点，求四边形O ＡPB 的面积的最大值_____＿___;

15.已知抛物线2

1y ax =-的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积

为 ；

1６.若直线03=-+ny mx 与圆32

2

=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为_______;以(ｍ，n ）为点

Ｐ的坐标,过点P 的一条直线与椭圆13

72

2=+y x 的公共点有_＿_＿个。

三、解答题:

1７．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在ｘ轴上,若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. (I ）求椭圆的标准方程；

（II)设直线l :m x y +=,是否存在实数m,使直线l 椭圆有两个不同的交点M 、Ｎ,且AN AM =,若存

在,求出 m 的值；若不存在，请说明理由.

１8．如图，椭圆b

y a x 2

22+=1（a ＞b>0）与过点A （2,0）B （０,1)的直线有且只有一个公共点Ｔ，且椭圆

的离心率2

3

=

e . （I)求椭圆方程；

(ＩＩ）设Ｆ1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,

求证:2

121||||||2

AT AF AF ＝.

19．已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2

2

34x y +=上,对角线BD 所在直线的斜率为1.

(Ⅰ）当直线BD 过点(01)，

时，求直线AC 的方程; (Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值.

２0．已知△OFQ 的面积为26OF FQ m ?=. （I)646m ≤≤求OFQ ∠正切值的取值范围; (II)设以O 为中心，Ｆ为焦点的双曲线经过点Q （如图),

26

||,1)OF c m c ==-,当 ||OQ 取得最小值时, 求此双曲线的方程。

21．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是102０m,试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)

22.已知抛物线C :2

2y x =,直线2y kx =+交C 于A B ，两点,M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .

（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

(Ⅱ）是否存在实数k 使0=?NB NA ,若存在,求k 的值；若不存在,说明理由．

参考答案

一、选择题 １．B ．

2.A.双曲线22

1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2214

x y -+=，∴ m ＝14-．

3．C.

4．C. 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得ABC ?的周长为4ａ=35．D ．由题意,得 24c =,2c =.2

2

2,10a m b m =-=-，代入222

a b c =+,有2104,m m -=-+即

8m =.

6.Ａ. 由课本知识,得知双曲线的渐近线方程为30x ay -=,或者30x ay +=.与已知的渐近线方程

30x y -=对应，立得正数1a =．显然,由双曲线定义有122PF PF a -=，所以15PF =.

7.A. 将抛物线方程配方，得2

(2)1x y -=-．画图，知道a (2,1)=--． 8．C.显然双曲线的特征量5c =

21PF PF ⊥得，22

2124PF PF c +=.对于关系122PF PF a -=,

两边平方，得2

2

444c a -=,即2

2

14a c =-=，于是2

1b =．从而双曲线的方程是14

22

=-y x . 9.A.

1０.Ｃ.∵双曲线22

:

1916

x y C -=中,3,4,5a b c ===, ∴()()125,0,5,0F F - ∵212PF F F =,

∴12261016PF a PF =+=+=. 作1PF 边上的高2AF ,则18AF =．

∴26AF == ∴12PF F ?的面积为

1211

1664822

PF PF ?=??=. 11．A .将点Ｐ到抛物线焦点距离转化为点P 到准线距离，容易求得当PQ ∥x 轴时，P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小，令1y =-，得1

4

x =,故点Ｐ 为(

1

4

，-１),选A. 1２．Ｃ. 利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P 分别在左、右两支时,两圆相内切、外切. 二、填空题

13.2 ．由于x y 42

=的准线是1-=x ，所以点p 到1-=x 的距离等于P 到焦点F 的距离，故点P 到

点)1,0(-A 的距离与P 到x =1-的距离之和的最小值是2=FA . 14．2

1５．２． 由抛物线2

1y ax =-的焦点坐标为1(0,

1)4a -为坐标原点得，14a =,则21

14

y x =- 与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为1

4122

??=.

16．0<ｍ2+ｎ2<3, 2. ∵直线mx+n ｙ-3=0与圆x 2+y ２=3没有公共点,∴3＼ｒ(m 2+n 2

)>错误!，解得０

<３.

∴错误!,即点P(m ,ｎ)在椭圆内部,故过P 的直线必与椭圆有两个交点. 三、解答题

17.（I ）依题意,设椭圆的方程为,12

22=+y a

x 设右焦点为(c,０），则

32

2

2=+c ------－----4分

2=∴c a 2=b 2+ｃ2=３-------－--－-------－--－6分 ∴椭圆方程为13

22

=+y x .

(II ）设M(x 1,y 1),N(ｘ2,y 2）, 由 22

,1,3

y x m x y =+??

?+=?? 得４ｘ2+6m ｘ+3ｍ2-3=０. 当判别式△>0 时,

4

)

1(3,2322121-=?-=+∴m x x m x x

2

21m

y y =

+∴ ----－--－-----－-9分 AN AM = 222

2212

1)1()1(++=++∴y x y x

∴)22

(23+-=-

m

m , 故 m ＝2,但此时判别式0=?，

∴满足条件的m 不存在． -－－-----－------－--１2分 1８.解：(Ⅰ)过 A 、B 的直线方程为 12x y +=.?由题意得22

22

111

2

x y a b y x ?+=??+??=-+??有惟一解． ?即

2222221

()04

b a x a x a b +-+=有惟一解,

所以 22

2

2

(44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠ -－-－-----------－-－3分 故2

2

440a b +-=.

因为

2c =,即222

3

4

a b a -= , 所以224a b = 从而, 得 2

2

1

2,,2

a b ==?故所求的椭圆方程为22212x y +=. ---－-－－－---－－－--－-6分?（Ⅱ）由(Ⅰ)

得c =

, 所以

12(F F . 由 22

22

1112

x y a b y x ?+=??+??=-+?? 解得 121,x x ==, --－--－----------－-9分

因此1

(1,)2

T =． 从而 2

54

AT

=

，

因为1252AF AF ?=

， 所以2

1212

AT AF AF =?. -----------－--－---12分 19.解：(Ⅰ)由题意得直线BD 的方程为1y x =+.

因为四边形ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．

由2234x y y x n

?+=?=-+?，得22

46340x nx n -+-=.-－----－-----－-----2分 因为A C ，在椭圆上,

所以2

12640n ?=-+>,

解得n <<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，

，,则 1232

n

x x +=

,212344n x x -=,11y x n =-+,22y x n =-+. 所以 122

n

y y +=

. ---------------－--4分 所以AC 的中点坐标为344n n ??

???

，. 由四边形ABCD 为菱形可知,点344n n ??

??

?，在直线1y x =+上, 所以

3144

n n

=+，解得2n =-. 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． -－---－－-----－----7分 （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形,且60ABC ∠=,所以AB BC CA ==.

所以菱形ABCD

的面积2

S =

. ------------－-----9分 由(Ⅰ)可得22

2

2

1212316

()()2

n AC x x y y -+=-+-=，

所以2316)433S n n ?=

-+-<< ?

?. 所以当0n =时，菱形ABCD

的面积取得最大值－---－－---－-------1２分

２0．解:（I ）设OFQ θ∠=, 则

||||cos()1

||||sin 2

OF FQ m

OF FQ πθθ??-=?

???=?

?tan m θ?=- . -－－----------－-3分

6m ≤≤,

4tan 1θ∴-≤≤-. －----------－---－--５分

(II ）设所求的双曲线方程为22

1111221(

0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b

-= >> =-

则 ∴11

||||2

OFQ S OF y ?=?

= ∴1y c

=±

． 又∵OF FQ m ?

=,

∴2111(,0)(,)()(

14

OF FQ c x c y x c c c ?=?-=-?=- )． -－－--－----－----－-9

分

211,||x OQ x

∴= ∴

==

当且仅当4c =时，

||OQ 最小,此时Q 的坐标是或

2

222

226614

1216

a a

b b a b ??-==??∴ ???=???+=?

, 所求方程为

22

1.412

x y -= －-－－－－---－-－------12分 ２1.解:如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为ｘ轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设A 、B 、Ｃ分别是西、

东、北观测点，则A(-10２0,0）,B （1020，０)，C(０,1020). -－----－－-－-3分 设P （x ,y ）为巨响发生点，由A 、Ｃ同时听到巨响声，得｜PA|＝｜PC|,

故P 在AC 的垂直平分线P Ｏ上,P Ｏ的方程为y =-x ，因B 点比A 点晚4ｓ听到爆炸声,故 ｜PB|－｜P Ａ｜=３40×４＝13６0． ---－--------－--－-－6分

由双曲线定义知Ｐ点在以Ａ、Ｂ为焦点的双曲线22

221

x y a b

-=上,

依题意得a =6８０,ｃ

＝10２0,